Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции Вычислить площадь криволинейной трапеции
Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).
.
Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции
Как мы пытались ее решить:
Первый способ.
Разбили отрезок на одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили в пределе и
получили искомую площадь S. Ввели обозначение .
Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.
Затем мы получили точное
Часть выполненной работы
Рис. 2. Функция S (x)
Ввели функцию . Каждому площадь под соответствующей частью кривой . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:
Каждому соответствует единственное значение .
Мы доказали, что производная этой же функции и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функциии взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке и отнять первообразную в точке . И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.
….
Ввели функцию . Каждому площадь под соответствующей частью кривой . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:
Каждому соответствует единственное значение .
Мы доказали, что производная этой же функции и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функциии взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке и отнять первообразную в точке . И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.
….
Игра с природой платежная матрица Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы
Игра с природой, платежная матрица. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: максимаксный критерий, максиминный критерий Вальда.
На странице представлен фрагмент работы. Его можно использовать, как базу для подготовки.
Часть выполненной работы
В условиях отсутствия достаточно полной информации о действиях противоположной стороны возникает неопределённость в принятии решения. Так, в задачах, приводящих к игровым, эта неопределённость может быть вызвана разными причинами: отсутствием информации об условиях, в которых происходит действие; неоднозначным характером развития событий в будущем; невозможностью получения полной информации о рассматриваемых процессах.
Условия, в которых может происходить действие игры, зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективных факторов, которые принято называть “природой”. Такие игры называются играми с природой.
С целью уменьшения неблагоприятных последствий при принятии решения следует учитывать степень риска и имеющуюся информацию. Таким образом, лицо, принимающее решение (статистик), вступает в игровые отношения с природой. Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под “природой” будем понимать совокупность неопределённых факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.
Задачей экономиста или статистика является принятие наилучшего управленческого решения в каждой конкретной ситуации. Качество принимаемого решения зависит от информированности лица, принимающего решение (ЛПР), о ситуации, в которой принимается решение. В случае неопределённости ошибки в принятии решения наиболее вероятны. Умение использовать даже неполную информацию для обоснования принимаемых решений − это задача экономиста, а в решении её помогает математическая теория игры с природой.
От обычной матричной игры игру с природой отличает безразличие природы к результату игры и возможность получения статистиком дополнительной информации о состоянии природы.
Игры с природой дают математическую модель теории принятия решений в условиях частичной неопределённости. Для её описания используем обозначения матричных игр. Множество стратегий (состояний) природы обозначим В, отдельное состояние её − , . Множество стратегий (решений) статистика обозначим А, а его отдельную стратегию в игре с природой − , .
Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.
Природа действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как её состояния; например, условия погоды в данном районе, спрос на определённую продукцию, объём перевозок, сочетание производственных факторов и т. д. В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других − оно неизвестно.
Условия игры с природой задаются платёжной матрицей
Условия, в которых может происходить действие игры, зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективных факторов, которые принято называть “природой”. Такие игры называются играми с природой.
С целью уменьшения неблагоприятных последствий при принятии решения следует учитывать степень риска и имеющуюся информацию. Таким образом, лицо, принимающее решение (статистик), вступает в игровые отношения с природой. Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под “природой” будем понимать совокупность неопределённых факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.
Задачей экономиста или статистика является принятие наилучшего управленческого решения в каждой конкретной ситуации. Качество принимаемого решения зависит от информированности лица, принимающего решение (ЛПР), о ситуации, в которой принимается решение. В случае неопределённости ошибки в принятии решения наиболее вероятны. Умение использовать даже неполную информацию для обоснования принимаемых решений − это задача экономиста, а в решении её помогает математическая теория игры с природой.
От обычной матричной игры игру с природой отличает безразличие природы к результату игры и возможность получения статистиком дополнительной информации о состоянии природы.
Игры с природой дают математическую модель теории принятия решений в условиях частичной неопределённости. Для её описания используем обозначения матричных игр. Множество стратегий (состояний) природы обозначим В, отдельное состояние её − , . Множество стратегий (решений) статистика обозначим А, а его отдельную стратегию в игре с природой − , .
Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.
Природа действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как её состояния; например, условия погоды в данном районе, спрос на определённую продукцию, объём перевозок, сочетание производственных факторов и т. д. В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других − оно неизвестно.
Условия игры с природой задаются платёжной матрицей
Элемент называется выигрышем статистика А, если он использует стратегию , когда природа находится в состоянии . Фактически это может быть значение некоторой функции, характеризующей эффективность принятого статистиком решения.
При решении игры с природой допускается исключение доминируемых стратегий только для стратегий статистика. Стратегии природы исключать нельзя, поскольку она может реализовать состояния, заведомо невыгодные для неё.
Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность pj каждого состояния природы . При этом, если учтены все возможные состояния, то р1 + р2 + … + pj + … +рn = 1 .
Если игрок А выбирает чистую стратегию , то математическое ожидание выигрыша составит Наиболее выгодной будет та стратегия, при которой достигается
Если информация о состояниях природы мала, то можно применить принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которому можно считать, что все состояния природы равновероятностны:
т.е. стратегию, для которой среднее арифметическое элементов соответствующей строки максимальное.
Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии. Рассмотрим некоторые из них.
Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она выбирается из условия
и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека способом.
Критерий максимума. Он выбирается из условия
.
Критерий является оптимистическим, считается, что природа будет наиболее благоприятна для человека.
При принятии решений в условиях неопределенности следует оценивать различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.
Задача. Решить игру с нулевой суммой с платёжной матрицей: А= 898273645546372819
Решение.
Определим нижнюю цену игры – α
Стратегии “B”
Стратегии “A” B1 B2 B3 Минимумы строк
A1 89 82 73 73*
A2 64 55 46 46
A3 37 28 19 19
В нашем случае нижняя цена игры равна: α = 73, и для того чтобы гарантировать себе выигрыш не хуже чем 73 мы должны придерживаться стратегии A1Определим верхнюю цену игры – β
Стратегии “B”
Стратегии “A” B1 B2 B3 Минимумы строк
A1 89 82 73 73*
A2 64 55 46 46
A3 37 28 19 19
Максимумы столбцов 89 82 73+
В нашем случае верхняя цена игры равна: β = 73, и для того чтобы гарантировать себе проигрыш не хуже чем 73 противник ( игрок “B”) должен придерживаться стратегии B3Сравним нижнюю и верхнюю цены игры, в данной задаче они совпадают, т.е. α = β = 73 . Это значит, что игра имеет решение в так называемых “чистых”, минимаксных стратегиях. В нашем случае для игрока “A” оптимальной будет стратегия A1, а для игрока “В” – B3. Нетрудно заметить, что элемент платежной матрицы расположенный на пересечении чистых оптимальных стратегий (строка 1, столбец 3) является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце. Такие элементы называются седловыми точками, именно их наличие и определяет существование решения игры в чистых стратегиях, а его значение (в нашем случае 73) совпадает с чистой ценой игры или просто ценой игры – v. Пара оптимальных стратегий, в играх имеющих седловую точку, всегда проходит через последнюю.
Стратегии “B”
Стратегии “A” B1 B2 B3 Минимумы строк
A1 89 82 73*+ 73*
A2 64 55 46 46
A3 37 28 19 19
Максимумы столбцов 89 82 73+
Ответ:Нижняя цена игры, верхняя цена игры и чистая цена игры: α = β = v = 73;Пара оптимальных стратегий: A1B3
…
В таблице приведены результаты тестирования по математике учащихся 7-х классов Количество баллов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Число учащихся 3 4 6 1
В таблице приведены результаты тестирования по математике учащихся 7-х классов.
Количество баллов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Число учащихся 3 4 6 1 11 32 18 6 9 8 6 2
Найдите средний полученный балл, медиану и моду, дисперсию и стандартное отклонение результатов тестирования. Постройте полигон распределения.
На странице представлен фрагмент работы. Его можно использовать, как базу для подготовки.
Часть выполненной работы
Для нахождения среднего балла, дисперсии и стандартного отклонения заполним таблицу:
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑
ni
3 4 6 1 11 32 18 6 9 8 6 2 106
xini
3 8 18 4 55 192 126 48 81 80 66 24 705
xi2ni
3 16 54 16 275 1152 882 384 729 800 726 288 5325
Средний балл x равен математическому ожиданию MX:
x=MX=1ni=112xini=705106≈7.
Дисперсию найдем по формуле:
DX=1ni=112xi2ni-M2X=5325106-72≈1,24.
Стандартное (среднее квадратическое) отклонение:
σ=DX≈1,11.
По определению, мода – это величина признака (баллы), которая чаще всего встречается в данной совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту (количество учащихся. В данном больше всего учащихся (32 человека) получили 6 баллов, т.е. Mо=6.
Число учащихся 106 – четное, медианой будет 106/2=53 по номеру варианта. Для того, чтобы найти, какая варианта будет восьмой по номеру, будем накапливать частоты до тех пор, пока не получим сумму частот, равную или превышающую половину суммы всех частот. Соответствующая варианта и будет медианой: Mе=6.
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ni
3 4 6 1 11 32 18 6 9 8 6 2
Накопленная частота 3 7 13 14 25 57 75 81 90 98 104 106
При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака (баллы), а на вертикальной оси (ось ординат) – частоты (число учащихся).
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑
ni
3 4 6 1 11 32 18 6 9 8 6 2 106
xini
3 8 18 4 55 192 126 48 81 80 66 24 705
xi2ni
3 16 54 16 275 1152 882 384 729 800 726 288 5325
Средний балл x равен математическому ожиданию MX:
x=MX=1ni=112xini=705106≈7.
Дисперсию найдем по формуле:
DX=1ni=112xi2ni-M2X=5325106-72≈1,24.
Стандартное (среднее квадратическое) отклонение:
σ=DX≈1,11.
По определению, мода – это величина признака (баллы), которая чаще всего встречается в данной совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту (количество учащихся. В данном больше всего учащихся (32 человека) получили 6 баллов, т.е. Mо=6.
Число учащихся 106 – четное, медианой будет 106/2=53 по номеру варианта. Для того, чтобы найти, какая варианта будет восьмой по номеру, будем накапливать частоты до тех пор, пока не получим сумму частот, равную или превышающую половину суммы всех частот. Соответствующая варианта и будет медианой: Mе=6.
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ni
3 4 6 1 11 32 18 6 9 8 6 2
Накопленная частота 3 7 13 14 25 57 75 81 90 98 104 106
При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака (баллы), а на вертикальной оси (ось ординат) – частоты (число учащихся).
Ответ. x≈7; DX≈1,24; σ≈1,11; Mо=Mе=6.
…
Принципы математического моделирования конфликтных ситуаций в условиях неопределенности и риска
Принципы математического моделирования конфликтных ситуаций в условиях неопределенности и риска. Игра как математическая модель.
Часть выполненной работы
В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях — отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.
Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными.
Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой — стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.
Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр.
Теория игр занимается разработкой различного рода рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации. Такие игры называются антагонистическими. В математике конфликтные ситуации представляют упрощённой моделью как игру двух, трёх и более числа игроков.
Игра − это действительный или формальный конфликт, в котором имеется несколько участников, каждый из которых стремится к достижению собственных целей. Математическая модель конфликтной ситуации называется также игрой; стороны, участвующие в конфликте, − игроками, а исход конфликта − выигрышем. Для каждой формализованной игры вводят правила, которые устанавливают допустимые действия каждого игрока в процессе игры.
Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.
Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.
Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся на данный момент времени ситуации. Если число стратегий у каждого из игроков конечно, игра называется конечной, если число стратегий − бесконечно, то бесконечной.
Далее будем рассматривать парные конечные игры. Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует выбрать для каждого игрока стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности. Оптимальным называется такой результат игры, когда при многократном повторении игры один из игроков получает максимально возможный средний выигрыш, а второй придерживается любой своей стратегии.
Вместе с тем, при выполнении условия оптимальности игры второй игрок должен иметь при многократном повторении игры минимально возможный средний проигрыш, если первый игрок придерживается своей стратегии. Одновременно выиграть в антагонистической игре оба игрока не могут, поэтому в начале игры распределяют роли выигрывающего и проигрывающего игроков между участниками игры. Стратегии, обеспечивающие максимум выигрыша одного игрока или минимум проигрыша второго игрока, называются оптимальными.
Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должен быть не выгоден отказ от своей оптимальной стратегии в игре.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.
Рассмотрим парную конечную игру с нулевой суммой. При нулевой сумме игры разница между абсолютными значениями выигрыша одного игрока и проигрыша другого полагается равной нулю. Пусть игрок располагает m личными стратегиями, которые обозначим , ,…, , а игрок имеет n личных стратегий − , ,…, . Причём выигрыш игрока полагается равным проигрышу игрока и наоборот. Такая игра имеет размерность .
В результате выбора игроками пары стратегий из всех возможных для них стратегий, а именно
и , ,
однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш игрока и проигрыш игрока .
Если значения выигрышей известны для любой пары стратегий , то матрица , составленная из этих выигрышей, называется платёжной матрицей, или матрицей игры:
Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными.
Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой — стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.
Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр.
Теория игр занимается разработкой различного рода рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации. Такие игры называются антагонистическими. В математике конфликтные ситуации представляют упрощённой моделью как игру двух, трёх и более числа игроков.
Игра − это действительный или формальный конфликт, в котором имеется несколько участников, каждый из которых стремится к достижению собственных целей. Математическая модель конфликтной ситуации называется также игрой; стороны, участвующие в конфликте, − игроками, а исход конфликта − выигрышем. Для каждой формализованной игры вводят правила, которые устанавливают допустимые действия каждого игрока в процессе игры.
Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.
Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.
Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся на данный момент времени ситуации. Если число стратегий у каждого из игроков конечно, игра называется конечной, если число стратегий − бесконечно, то бесконечной.
Далее будем рассматривать парные конечные игры. Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует выбрать для каждого игрока стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности. Оптимальным называется такой результат игры, когда при многократном повторении игры один из игроков получает максимально возможный средний выигрыш, а второй придерживается любой своей стратегии.
Вместе с тем, при выполнении условия оптимальности игры второй игрок должен иметь при многократном повторении игры минимально возможный средний проигрыш, если первый игрок придерживается своей стратегии. Одновременно выиграть в антагонистической игре оба игрока не могут, поэтому в начале игры распределяют роли выигрывающего и проигрывающего игроков между участниками игры. Стратегии, обеспечивающие максимум выигрыша одного игрока или минимум проигрыша второго игрока, называются оптимальными.
Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должен быть не выгоден отказ от своей оптимальной стратегии в игре.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.
Рассмотрим парную конечную игру с нулевой суммой. При нулевой сумме игры разница между абсолютными значениями выигрыша одного игрока и проигрыша другого полагается равной нулю. Пусть игрок располагает m личными стратегиями, которые обозначим , ,…, , а игрок имеет n личных стратегий − , ,…, . Причём выигрыш игрока полагается равным проигрышу игрока и наоборот. Такая игра имеет размерность .
В результате выбора игроками пары стратегий из всех возможных для них стратегий, а именно
и , ,
однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш игрока и проигрыш игрока .
Если значения выигрышей известны для любой пары стратегий , то матрица , составленная из этих выигрышей, называется платёжной матрицей, или матрицей игры:
Строки матрицы P соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы − стратегиям второго. Игру, определяемую матрицей P , имеющей m строк и n столбцов, называют конечной игрой размерности .
Игра, для которой можно составить матрицу игры, называется матричной….
сетевого планирования является одной из важнейших задач решаемых в условиях производства
сетевого планирования является одной из важнейших задач, решаемых в условиях производства. Графический метод планирования применяется для визуализации организационно-управленческих процессов. С помощью сетевых графиков моделируются процессы реализации проектов. Сетевой график представляет собой множество вершин, соединённых между собой дугами. Каждая вершина представляет собой факт наступления определённого события, дуга символизирует выполнение работы. Каждой работе приписывают количественные характеристики (например время), необходимые для выполнения работы.
Основные понятия Определение
Работа Один из главных элементов сетевой модели, означающий протяженный во времени процесс, требующий затрат ресурсов, или ожидание, или зависимость (фиктивная работа)
Ожидание Протяженный во времени процесс не требующий затрат труда.
Зависимость Логическая связь между двумя или несколькими работами (событиями), не требующими затрат труда, материальных ресурсов или времени
Путь Любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работой.
Событие Момент завершения какого-либо процесса, отражающий отдельный этап выполнения проекта.
Полный путь Любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец – с завершающим.
Предшествующий путь Путь от начала события до данного события сети.
Следующий путь Путь, совершающий данное событие с завершающим событием сети.
Критический путь Наиболее продолжительный путь в сетевом графике.
Рассмотрим пример: необходимо построить сетевой график реализации проекта строительства здания и определить сроки реализации проекта. Перечень работ приведём в таблице.
Перечень работ по строительству здания
Работа Продолжительность выполнения, мес.
0-1 Проектирование здания 2
1-2 Оформление заказа на строительные материалы и их получение 2
1-3 Подготовка строительной техники и оборудования к работе 1
1-4 Подготовка строительной площадки 1
3-4 Рытьё траншей под фундамент 2
4-5 Строительство здания 4
3-7 Подведение коммуникаций 1
4-6 Планировка и оформление придворовой территории 1
7-8 Подключение коммуникаций 1
5-8 Внутренняя отделка помещений 2
6-8 Озеленение территории 1
Часть выполненной работы
Для построения сетевого графика определим перечень событий:
0 – начало работ;
1 – готов проект здания;
2 – оформлен заказ и получены строительные материалы;
3 – строительная техника подготовлена к работе;
4 – подготовлена строительная площадка и вырыты траншеи под фундамент;
5 – возведено здание;
6 – проведена планировка и оформлена придворовая территория;
7 – проведены коммуникации;
8 – здание готово к эксплуатации.
На основе перечня событий и работ построим сетевой график.
0 – начало работ;
1 – готов проект здания;
2 – оформлен заказ и получены строительные материалы;
3 – строительная техника подготовлена к работе;
4 – подготовлена строительная площадка и вырыты траншеи под фундамент;
5 – возведено здание;
6 – проведена планировка и оформлена придворовая территория;
7 – проведены коммуникации;
8 – здание готово к эксплуатации.
На основе перечня событий и работ построим сетевой график.
Рис. 1
Числа над работами указывают их продолжительность.
Используя метод Форда вычисляем длиннейший путь графа, который определяет самую длительную технологическую цепочку, а следовательно кратчайший срок выполнения …
Даны два числовых множества A26 39 5 58 17 81и B17 26 58 34 Найдите их объединение
Даны два числовых множества A26, 39, 5, 58, 17, 81и B17,26, 58, 34. Найдите их объединение, пересечение, разность и декартово произведение. Напишите 2 любых подмножества множества A.
На странице представлен фрагмент работы. Его можно использовать, как базу для подготовки.
Часть выполненной работы
A∪B=26, 39, 5, 58, 17, 81,34-объединение, содержащее в себе все элементы исходных множеств; обладает свойством коммутативности, т.е. A∪B=B∪A;
A∩B=26, 39, 5, 58, 17-пересечение, множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и B, A∩B=B∩A;
AB=39, 5, 81-разность, не коммутативное, поэтому найдем еще и BA:
BA=34-разность (по определению разности множеств, из множества В необходимо исключить элементы множества А, останется один элемент 14).
AхB=26;17, 26;26,26;58,26;34,39;17, 39;26,39;58,
39;34,5;17, 5;26,5;58,5;34,58;17, 58;26,58;58,58;34,
17;17, 17;26,17;58,17;34,81;17, 81;26,81;58,81;34-
декартово произведение; являются упорядоченные пары, составленные из элементов исходных множеств. В этих парах первый элемент (компонента) всегда принадлежит первому множеству, а второй элемент (компонента) втором;. не коммутативное, поэтому найдем еще и BхA:
BхA=17;26, 17;39,17;5,17;58,17;17, 17;81,26;26,
26;39,26;5,26;58,26;17, 26;81,58;26, 58;39,58;5,58;58,
58;17, 58;81,34;26, 34;39,34;5,34;58,34;17, 34;81-
декартово произведение.
Запишем два подмножества множества A:
A126, 39, 17, 81и ∅- пустое множество, которое является подмножеством любого множества….
A∩B=26, 39, 5, 58, 17-пересечение, множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и B, A∩B=B∩A;
AB=39, 5, 81-разность, не коммутативное, поэтому найдем еще и BA:
BA=34-разность (по определению разности множеств, из множества В необходимо исключить элементы множества А, останется один элемент 14).
AхB=26;17, 26;26,26;58,26;34,39;17, 39;26,39;58,
39;34,5;17, 5;26,5;58,5;34,58;17, 58;26,58;58,58;34,
17;17, 17;26,17;58,17;34,81;17, 81;26,81;58,81;34-
декартово произведение; являются упорядоченные пары, составленные из элементов исходных множеств. В этих парах первый элемент (компонента) всегда принадлежит первому множеству, а второй элемент (компонента) втором;. не коммутативное, поэтому найдем еще и BхA:
BхA=17;26, 17;39,17;5,17;58,17;17, 17;81,26;26,
26;39,26;5,26;58,26;17, 26;81,58;26, 58;39,58;5,58;58,
58;17, 58;81,34;26, 34;39,34;5,34;58,34;17, 34;81-
декартово произведение.
Запишем два подмножества множества A:
A126, 39, 17, 81и ∅- пустое множество, которое является подмножеством любого множества….
Cформулируйте теорему о почленном дифференцировании cтепенного ряда Иcпользуя эту теорему
Cформулируйте теорему о почленном дифференцировании cтепенного ряда. Иcпользуя эту теорему, найдите cумму рядаn=1∞(n*xn) при |x |<1.
Если функция f(x) на области сходимости (-R;R) разлагается в ряд, то она дифференцируема на области сходимости и её производная находится почленным дифференцированием членов ряда.
f’x=n=0∞an*xn’= n=0∞(an*xn)’= n=0∞an*n*xn-1
(n=0∞n*xn)’=n=0∞xn+n2xn-1=xn(1+n2/x)=2
55. Cформулируйте теорему о почленном интегрировании cтепенного ряда. Иcпользуя эту теорему, найдите cумму ряда n=1∞xnn при |x|<1.
Если функция f(x) на области сходимости раcкладывается в ряд, то интеграл от нее находится почленным интегрированием членов ряда.
abfxdx=abn=0∞anxndx= n=0∞abanxndx=n=0∞anxn+1n+1ab, где [a;b]ϵ(-R;R).
X+x2/2+x3/3….
n=1∞xnn =abX+x22+x3dx3=x2+x36+x412=b2+b36+b412-a2-a36-a412=[-1;1]
57. Дайте определения частного, общего и особого решений дифференциального уравнения y’=f(x;y). Для уравнения y′ = y-3 укажите решения каждого из этих видов.
Решением дифференциального уравнения y’=f(x;y) называется функция y=φ x, которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.
Общее решение дифференциального уравнения зависит от некоторой произвольной константы const C, т.е. оно может быть записано в виде y=φ x;C и представляет собой семейство однопараметрических решений.
Частное решение дифференциального уравнения – этот решение, полученное из общего при некотором фиксированном значении С=С0, т.е. y=φx;С0
y′ = y-3
dyy-3=dx
y-30.5=x+C
2y-3=x+C
y-3=((x+C)/2)2
y=x+C22-общее решение
при с=2
y=x+222-частное
Часть выполненной работы
. Дайте определение линейного дифференциального уравнения. Докажите, что если y1(x) и y2(x) — решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, то их разность y1(x)− y2(x) является решением соответствующего однородного уравнения.
Дифференциальное уравнение вида
y′+a(x)y=f(x),
где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пусть функции y1(x) и y2(x) − решения неоднородного уравнения, а φ(х) − решение соответствующего однородного уравнения, т. е.
Ln[y1(x)] = f(x), Ln[y2(x)] = f(x), Ln[φ(х)] = 0.
Тогда
Ln[y1(x)− y2(x)] = 0, Ln[y1(x)+ φ(х)] = f(x).
Дифференциальное уравнение вида
y′+a(x)y=f(x),
где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пусть функции y1(x) и y2(x) − решения неоднородного уравнения, а φ(х) − решение соответствующего однородного уравнения, т. е.
Ln[y1(x)] = f(x), Ln[y2(x)] = f(x), Ln[φ(х)] = 0.
Тогда
Ln[y1(x)− y2(x)] = 0, Ln[y1(x)+ φ(х)] = f(x).
…
Вектор коллинеарные и равные векторы длина вектора Вектор – это направленный отрезок
Вектор, коллинеарные и равные векторы, длина вектора.
Вектор – это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины.
Вектор началом которого есть точка А, а концом – точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.
Длиной вектора называется длина направленного отрезка, определяющего вектор. Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.
Виды векторов.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.
У такого вектора конец и начало совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.
Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.
А) Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора а и b называются сонаправленными векторами только тогда, когда их направления соответствуют друг другу: а ↑↑ b.
Б) Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора а и b называются противоположно направленными векторами, только когда они направлены в разные стороны: а↑↓ b .
В) Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.
В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.
Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.
То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место плоскости.
Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют одинаковые длины:
2 . Сложение векторов (определение и свойства).
Сложение векторов (сумма векторов) a + b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b.
При сложении векторов и получаем:
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Умножение вектора на число (определение, свойства).
Произведением вектора a⃗ на число λ∈R называется такой вектор b⃗ =λa⃗ , что |b⃗ |=|λ|⋅|a⃗ |.
Формулы умножения вектора на число
Формула умножения вектора на число для плоских задач
В случае плоской задачи произведение вектора а = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · а = {k · ax; k · ay}
Формула умножения вектора на число для пространственных задач
В случае пространственной задачи произведение вектора а = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · а = {k · ax ; k · ay ; k · az}
Свойства вектора умноженного на число
Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:
b || a – вектора b и a параллельны
а↑↑b, если k > 0 – вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 – вектора b и b противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| – модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k
Пример умножения вектора на число
Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.
Часть выполненной работы
(-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.
Линейная зависимость векторов. Координаты вектора.
Линейная зависимость векторов.
Линейной комбинацией векторов а1,…, аn с коэффициентами x1, …, xn называется вектор
x1a1 + … + xnan
Линейная комбинация х1а1+… хnаn называется тривиальной, если все коэффициенты х1, …, хn равны нулю.
Линейная комбинация х1а1+… хnаn называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов х1, …, хn не равен нулю.
Вектора а1,…, аn называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору.
Тоесть вектора а1, …, аn линейно независимы если x1а1 + … + xnаn = 0 тогда и только тогда, когда x1 = 0, …, xn = 0.
Вектора а1, …, аn называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору.
Свойства линейно зависимых векторов:
Для 2-х и 3-х мерных векторов.
Два линейно зависимые векторы – коллинеарные. (Коллинеарные вектора – линейно зависимы.) .
Для 3-х мерных векторов.
Три линейно зависимые векторы – компланарные. (Три компланарные вектора – линейно зависимы.)
Для n -мерных векторов.
n + 1 вектор всегда линейно зависимы.
Координаты вектора
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
Чтобы найти координаты вектора АВ, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.
Формулы определения координат вектора …
Линейная зависимость векторов. Координаты вектора.
Линейная зависимость векторов.
Линейной комбинацией векторов а1,…, аn с коэффициентами x1, …, xn называется вектор
x1a1 + … + xnan
Линейная комбинация х1а1+… хnаn называется тривиальной, если все коэффициенты х1, …, хn равны нулю.
Линейная комбинация х1а1+… хnаn называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов х1, …, хn не равен нулю.
Вектора а1,…, аn называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору.
Тоесть вектора а1, …, аn линейно независимы если x1а1 + … + xnаn = 0 тогда и только тогда, когда x1 = 0, …, xn = 0.
Вектора а1, …, аn называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору.
Свойства линейно зависимых векторов:
Для 2-х и 3-х мерных векторов.
Два линейно зависимые векторы – коллинеарные. (Коллинеарные вектора – линейно зависимы.) .
Для 3-х мерных векторов.
Три линейно зависимые векторы – компланарные. (Три компланарные вектора – линейно зависимы.)
Для n -мерных векторов.
n + 1 вектор всегда линейно зависимы.
Координаты вектора
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
Чтобы найти координаты вектора АВ, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.
Формулы определения координат вектора …
В классе 30 человек каждый из которых поёт или танцует Известно что поют 17 человек
В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?
Часть выполненной работы
Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 – 17 = 13 человек.
Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.
№2 Понятия функций способы …
Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии если частное от деления 5-го на 3-й член прогрессии равно 4
Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если частное от деления 5-го на 3-й член прогрессии равно 4, а сумма первых 4-х членов равна 45.
Часть выполненной работы
Запишем формулы -го члена и суммы первых членов геометрической прогрессии:
,.
Найдем частное от деления 5-го на 3-й член прогрессии:
,.
Найдем сумму первых 4-х членов прогрессии:
,.
Найдем частное от деления 5-го на 3-й член прогрессии:
,.
Найдем сумму первых 4-х членов прогрессии:
.
Тогда получаем:
,….
7 2 Задан закон распределения ДСВ Х -2 -1 0 1 2 3 р 0 1 0 2 0 3 0 25 0 1 0 05 Найти закон распределения случайных величин
7.2.
Задан закон распределения ДСВ:
Х -2 -1 0 1 2 3
р
0,1 0,2 0,3 0,25 0,1 0,05
Найти закон распределения случайных величин: а) 2×2-3 б) sin(*x/*3) в) 3x 3
Найти числовые характеристики.
Часть выполненной работы
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = (-2)*0.1 + (-1)*0.2 + 0*0.3 + 1*0.25 + 2*0.1 + 3*0.05 = 0.2
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi – M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 22*0.1 + 12*0.2 + 02*0.3 + 12*0.25 + 22*0.1 + 32*0.05 – 0.22 = 1.66
Х -2 -1 0 1 2 3
р
0,1 0,2 0,3 0,25 0,1 0,05
а) 5 -1 -3 -1 5 15
б) -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,05
в) -9 -6 -3 0 3 6
Законы распределения:
а) -3 -1 5 15
Математическое ожидание M[X].
M[x] = (-2)*0.1 + (-1)*0.2 + 0*0.3 + 1*0.25 + 2*0.1 + 3*0.05 = 0.2
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi – M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 22*0.1 + 12*0.2 + 02*0.3 + 12*0.25 + 22*0.1 + 32*0.05 – 0.22 = 1.66
Х -2 -1 0 1 2 3
р
0,1 0,2 0,3 0,25 0,1 0,05
а) 5 -1 -3 -1 5 15
б) -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,05
в) -9 -6 -3 0 3 6
Законы распределения:
а) -3 -1 5 15
р
0,3 0,45 0,2 0,05
б) -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,05
р
0,1 0,2 0,3 0,25 0,1 0,05
в) -9 -6 -3 0 3 6
р
0,1 0,2 0,3 0,25 0,1 0,05
а) Математическое ожидание M[X].
M[x] = (-3)*0.3 + (-1)*0.45 + 5*0.2 + 15*0.05 = 0.4
Дисперсия D[X].
D[X] = 32*0.3 + 12*0.45 + 52*0.2 + 152*0.05 – 0.42 = 19.24
б) Математическое ожидание M[X].
M[x] = (-0.04)*0.1 + (-0.02)*0.2 + 0*0.3 + 0.02*0.25 + 0.04*0.1 + 0.05*0.05 = 0.0035
Дисперсия D[X].
D[X] = 0.042*0.1 + 0.022*0.2 + 02*0.3 + 0.022*0.25 + 0.042*0.1 + 0.052*0.05 – 0.00352 = 0.000545
в) Математическое ожидание M[X].
M[x] = (-9)*0.1 + (-6)*0.2 + (-3)*0.3 + 0*0.25 + 3*0.1 + 6*0.05 = -2.4
Дисперсия D[X].
D[X] = 92*0.1 + 62*0.2 + 32*0.3 + 02*0.25 + 32*0.1 + 62*0.05 – 2.42 = 14.94…
Теннисист на хорошем поле выигрывает с вероятностью а на плохом – с вероятностью
Теннисист на хорошем поле выигрывает с вероятностью , а на плохом – с вероятностью . Какова вероятность выиграть, если только турниров проводится на хорошем поле?
Часть выполненной работы
Пусть событие – теннисист выиграл. Введем гипотезы – турнир проводился на хорошем поле, – турнир проводился на плохом поле. Их вероятности равны , . Соответствующие условные вероятности равны , . Тогда по формуле полной вероятности искомая вероятность равна:
.
…
7 4 Случайная величина X равномерно распределена от 0 до 1 Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y =X – 0
7.4.
Случайная величина X равномерно распределена от 0 до 1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y =X – 0,2.
Часть выполненной работы
Плотность распределения функции f(x)=1 при х принадлежащем отрезку от 0 до 1.
Fx=0, x<0x, x∈0;11, x>1
Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):
0, x ≤ 0
x+0.2, 0 < x < 1
0, x ≥ 1
Функция распределения.
Fx=0, x<0x, x∈0;11, x>1
Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):
0, x ≤ 0
x+0.2, 0 < x < 1
0, x ≥ 1
Функция распределения.
Математическое ожидание.
M[x]=∫01x⋅x+0.2dx=(0.3333⋅x3+0.1⋅x2)|10=0.3333⋅13+0.1⋅12−(0.3333⋅03+0.1⋅02)=0.4333M[x]=∫01x⋅x+0.2dx=(0.3333⋅x3+0.1⋅x2)|01=0.3333⋅13+0.1⋅12−(0.3333⋅03+0.1⋅02)=0.4333
Дисперсия.
= 0.25 • 14+0.0667 • 13 – (0.25 • 04+0.0667 • 03) – (0.4333)2 = 0.1289…
) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0 то решая получим Подставляя эти выражения в уравнение (1)
) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пример.(1) Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.
Пример.(2) Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Решение. Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .
Часть выполненной работы
3 x + 2 y – 34 = 0.
22. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
Условие параллельности прямой и плоскости эквивалентно условию перпендикулярности векторов (m;n;p) и (A;B;C), и выражается равенством нулю скалярного произведения этих векторов:
Am+Bn+Cp=0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно условию параллельности векторов (m;n;p) и (A;B;C), и выражается пропорциональностью координат этих векторов:
23. Кривые второго порядка. Окружность.
Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени относительно переменных x и y ,т.е. уравнениями вида
Ax2+2By2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 (A2+B2+C2 0) (3.1)
Называются кривыми второго порядка.
Окружность
Окружностью называется множество всех точек плоскости, удалённых от заданной точки А этой же плоскости на одно и тоже расстояние R>0.
Точка А называется центром , а R- радиусом окружности.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид
(x-a)2+(y-b)2=R2 (3.2)
Где (a;b)- координаты её центра, (рис. 31). Уравнение (3.2) называется каноническим уравнением окружности. В частности, если a=0; b=0 (т.е. центр окружности совпадает с началом координат ), то уравнение (3.2) имеет вид
X2+y2=r2. (3.3)
left0Общее уравнение второй степени (3.1) определяет окружность , если A=C0 и B=0.
Пример.(1) Найти координаты центра и радиус окружности :
x2+y2-4x+8y-16=0;
выделяя полные квадраты в левой части данного уравнения , приведём его к виду (3.2):
x2-4x+4-4+y2+8y+16-16-16=0,
т.е. (x-2)2+(y+4)2=62. Центр окружности находится в точке (2;-4), а радиус равен 6.
Пример.(2)Написать уравнения касательных к окружности точке Примера(1). Написать уравнения касательных к окружности точки
x2+y2-6x+4y-12=0, проведённых из точки М(0;3).
Уравнения касательных будем искать в виде уравнения прямых с угловыми коэффициентами : y=kx+3. Уравнение окружности приведём к каноническому виду (3.2) : (x-3)2+(y+2)2=25. Для нахождения общих точек прямой и окружности решим систему уравнений
Имеем (x-3)2+(kx+3+2)2=25, т. е. x2-6x+9+k2x2+10kx+25=25, поэтому (k2+1)x2+(10k-6)x+9=0. Так как прямая касается окружности , то это уравнение имеет единственное решение .Следовательно , его дискриминант равен нулю ,т.е. (5k-3)2-9(k2+1)=0, или 16k2-30k=0, откуда k1=0 , k2=. Значит , y=3 и y= x+3-искомые уравнения.
24. Кривые второго порядка. Эллипс.
Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.
Пусть точка М(х,у) – некоторая точка плоскости. Обозначим через r1 и r2 расстояния от точки М до точек F1 и F2 соответственно. Согласно определению эллипса равенство:
r1+r2=2a
является необходимым и достаточным условием расположения точки М(х,у) на данном эллипсе.
– каноническое уравнение эллипса.
Свойства эллипса.
1) Эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу и точки О(0;0) – центра эллипса.
Точки пересечения эллипса с осями координат А1(а;0) и А2(-а;0), В1(0;b) и B2(0;-b) называются вершинами эллипса.
Отрезки А1А2=2а и В1B2=2b называются соответственно большойи малойосями эллипса.
2) Эллипс содержится внутри прямоугольника |x|£a, |y|£b. В самом деле, из канонического уравнения вытекает, что . Эти неравенства эквивалентны неравенствам |x|£a, |y|£b.
Отношение расстояния между фокусами к длине большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса:
е=с/а.
Учитывая, что b2=a2-c2, получим:
.
Из этой формулы видно, что эксцентриситет эллипса меньше единицы.
Чем больше эксцентриситет эллипса, тем меньше отношение малой полуоси эллипса b к его большой полуоси а, и значит, тем более сплющенным будет эллипс.
Пример.
Проверить, является ли линия, …
распадается на две Нахождение кратчайшего пути в графе с ребрами единичной длины (или с ребрами равной длины)
распадается на две:
Нахождение кратчайшего пути в графе с ребрами единичной длины (или с ребрами равной длины).
Нахождение кратчайшего пути в графе с ребрами произвольной длины.
А) Приписываем конечной вершине индекс 0.
Б) Помечаем 1 все смежные вершины.
В) Находим все вершины, смежные вершинам, имеющим индекс 1, и
приписываем им индекс 2.
Г) И т.д., пока не будут помечены все вершины. Значение индекса начальной вершины будет длиной пути.
Нахождение кратчайшего пути в графе с ребрами произвольной длины.
Каждая вершина xi помечается индексом . Конечной вершине приписываем
индекс 0 =0. Для остальных вершин предварительно полагаем i = (i ).
Ищем такую дугу (xi, xj), для которой i – j >l(uij), и заменяем индекс j индексом j’ = i + l(uij) < j. Продолжаем этот процесс замены индексов до тех пор, пока остается хотя бы одна дуга, для которой можно уменьшить j.
Если какую –то вершину можно пометить несколькими способами, то выбирается наименьшее значение.
Сформулируем правило для нахождения кратчайшего пути:
Пусть xn =a – начальная вершина с индексом n. Ищем вершину xp1, такую, что n – p1 = l(un,p1). Далее ищем вершину xp2, такую, что p1 – p2 = l(up1,p2) и т.д. до тех пор, пока не дойдем до конечной вершины.
Пример:
Найти кратчайший путь из вершины 6 в вершину 1.
Вершине 1 присваиваем индекс «0». Для остальных вершин полагаем i = .
Ищем дугу, для которой j – 1> l(xj,x1). Это дуги (x1, x2) и (x1, x3).
Приписываем вершинам 2 и 3 индексы 2’ = 1+ l(x0,x2) = 0 + 2 = 2; 3’=1+l(x0,x3)=0+9=9.
Далее ищем дуги, для которых j – 2 >l(xj, x2); j – 3 > l(xj, x3).
Вершинам 4, 5 приписываем индекс 4’ = 2 + l(x2, x4) = 2 + 3 = 5, 5’=2+l(x2, x5)=2 + 3 = 5. Вершине 6 приписываем индекс 6’=3+l(x3,x6)=9+7=16.
Вершину 6 можно пометить из вершины 4, так как 6 – 4 > l(x4, x6);
16–5 > 6 ; 6’ = 4 + l(x4, x6) = 5 + 6 = 11.
Находим кратчайший путь. Индекс вершины 6 равен 11, значит, длина кратчайшего пути равна 11. Ищем вершину, для которой 6 – j = l(x6, xj). Это вершина 4: 11-6=5. Значит, первой промежуточной вершиной на пути 6 – 1 является вершина 4. Далее ищем вершину, для которой 4 – j = l(x4, xj). Это вершина 2: 5 – 2 = 3. И так далее, пока не дойдем до вершины 1. Получаем кратчайший путь из вершины 6 в вершину 1: 6 – 4 – 2 – 1, длина которого равна индексу вершины 6, т.е. равна 11.
Алгоритм Флойда.
Он работает следующим образом. Первоначально за длину dik кратчайшей цепи между двумя произвольными узлами i и k (между которыми могут быть и промежуточные узлы) принимают длину дуги (i,k), соединяющей эти узлы. Затем последовательно проверяют всевозможные промежуточные узлы, расположенные между i и k . Если длина цепи, проходящей через некоторый промежуточный узел, меньше текущего значения dik , то переменной dik присваивают новое значение ; если
dik > dij + djk , то значение dik заменяют значением (dij + djk). Такую процедуру повторяют для всевозможных пар узлов, пока не будут получены все значения d*ik.
В алгоритме Флойда начальным значением переменной dik является величина Cik, а затем данная оценка последовательно улучшается до тех пор, пока не будет найдена кратчайшая цепь между узлами i и k .
Алгоритм Флойда позволяет решать задачу о многополюсной кратчайшей цепи (пути) для сети из n узлов за n итераций. Обозначим символом djik оценку длины кратчайшей цепи из узла i в узел k , полученную на j-той итерации, и рассмотрим следующую задачу.
ЗАДАЧА: Необходимо соединить восемь объектов многополосной цепью, причем один из объектов (№8) может быть только направляющим информацию, а остальные могут и направлять, и получать информацию без каких-либо ограничений.
На рисунке каждый объект представлен узлом, а каждая линия дугой.
Ориентированные дуги соответствуют распределительным звеньям, которые могут быть использованы для передачи информации только в указанном направлении. Числа, приписанные дугам, соответствуют расстоянию между объектами.
Требуется найти для каждого объекта кратчайшие пути, связывающие его с другими объектами.
Часть выполненной работы
Воспользуемся алгоритмом Флойда. Поскольку n=8, то число итераций в алгоритме будет 8. На каждой итерации строит матрицу длин кратчайших путей, которые содержат текущие оценки длин кратчайших цепей Dj = ||djik||, где D0=||Cik||, и маршрутов Rj, служащую для нахождения промежуточных узлов ( если таковые имеются ) кратчайших цепей. На j-той итерации Rj=||rjik||, где rjik -первый промежуточный узел кратчайшей цепи из i в k, выбираемый среди множества { 1 , 2 , … , j }, i = j = k, R0=||r0ik||, где r0ik = k.
Узел rjik может быть получен из следующего соотношения:
Узел rjik может быть получен из следующего соотношения:
Строим матрицу длин кратчайших цепей D и матрицу маршрутов R , отсутствие связи помечаем знаком .
left0left0left0left01 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 9 31 1 2 3 4 5 6 7 8
2 9 0 2 72 1 2 3 4 5 6 7 8
3 2 0 2 4 8 63 1 2 3 4 5 6 7 8
4 3 2 054 1 2 3 4 5 6 7 8
5 7 40 105 1 2 3 4 5 6 7 8
6 810 0 76 1 2 3 4 5 6 7 8
7 6 57 07 1 2 3 4 5 6 7 8
8 9 12 10 0 8 1 2 3 4 5 6 7 8
Итерация 1:
Выбираем базовый узел j = 1. В матрице D0 вычеркиваем j – ю строку (базовую) строку и j – ый (базовый) столбец. Чтобы определить, приведет ли использование узла 1 к более коротким цепям, необходимо исследовать элементы матрицы D0 с помощью трехместной операции:
djik = min[dj-1ik;dj-1ij+dj-1jk],.
Если dj-1ij = , т.е. j – ый элемент базового столбца равен , то djik=dj-1ik.
Если dj-1jk=, т.е. j – ый элемент базовой строки равен , то djik=dj-1ik.
Если dj-1ik и одно из двух значений dj-1ij или dj-1jk превосходит dj-1ik, то замену также производить не следует.
Столбцы 3, 5, 6, 7, 8 содержат элементы, равные и принадлежащие базовой строке, а строки 3, 5 – 8 содержат элементы, равные и принадлежащие базовому столбцу, т.е. исследовать надо элементы (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4). Поскольку диагональные элементы можно не рассматривать, необходимо исследовать лишь оценки d024 и d042:
d124= min[d024;d021+d014]= min[;9+3]=12;
d142 = min[d042;d041+d012]= min[;3+9]=12.
Оценки d124 и d142 лучше оценок d024 и d042, поэтому они должны быть внесены в матрицу D1, а в матрице маршрутов R1 надо положить r124=1;r142 = 1.
Итерация 2.
Выбираем узел 2 как базовый, т.е. проверяем, приведет ли его использование к более коротким цепям. Вычеркиваем в матрице D1 вторую строку и второй столбец. Вычеркиваем также столбцы 6,7,8, так как они содержат элементы, равные , принадлежащие базовой строке, и строки 6,7,8, так как они содержат элементы, равные , принадлежащие базовому столбцу. Исключаем также диагональные элементы. Остается исследовать элементы (1,3); (1,4); (1,5); (3,1); (3,4); (3,5); (4,1); (4,3); (4,5); (5,1); (5,3); (5,4). Здесь улучшены могут быть только оценки d113, d115, d131, d145, d151, d154, равные .
d213=min[d113; d112+d123]=min[;9+2]=11;
d231=min[d131; d132+d121]=min[;2+9]=11;
d215=min[d115; d112+d125]=min[;9+7]=16;
. . .
Таким образом, r213 = r231 = r215 = r245 = r251 = r254 =2; остальные элементы r2ij остаются без изменений. Новые матрицы имеют вид:
Аналогично получаем матрицы Dj и Rj, j = 3,…,8. Матрицы Dj и Rj, j=5,6,7,8, остаются без изменений. Следовательно, оптимальное решение соответствует матрицам D5 и R5, определяющим и оптимальное расстояние для передачи между объектами, и последовательность передачи информации.
Алгоритм Дейкстра
Опишем метод решения задачи о кратчайшем пути на взвешенном графе. Пусть …
т 380 кг + 4 т 930 кг 10312 кг = 10 т 312 кг 20 Методика изучения времени Время– величина
т 380 кг + 4 т 930 кг; 10312 кг = 10 т 312 кг.
20 Методика изучения времени
Время– величина, характеризующая последовательную смену явлений и состояний материи, характеризующая длительность их бытия.
Тема «Время» наиболее трудная для восприятия учащимися, т.к. время – это процесс, который не воспринимается сенсорикой ребенка непосредственно. Этот процесс воспринимается человеком опосредованно, по сравнению с длительностью других процессов, оцениваемых и воспринимаемых сенсорикой.
План знакомства с понятием «время» и единицами его измерения:
· Осознание понятия «время» через примеры из жизни (наблюдения за течением времени, за продолжительностью событий «от вечера до сегодня»);
· Практическое применение изучаемой меры измерения (использование в рассказе, составление задач, определение времени по часам, определение промежутка времени между двумя событиями);
· Составление таблицы мер времени;
·
Часть выполненной работы
классе, на основе наблюдений. При изучении числа и цифры 1, учитель обращает внимание на рисунок циферблата часов, данного в учебнике, и на положение стрелок.
В третьем классе модель циферблата часов с подвижными стрелками используется для изучения таких единиц времени, как час, минута. Учащиеся усваивают устройство часов, названия стрелок (часовая, минутная). Конкретное представление о промежутке времени формируется через практическую деятельность (какой объем работы может быть выполнен в течение часа, минуты). В 4-ом классе изучаются век и секунда.
Программа предусматривает знакомство детей с названиями дней недели и их последовательностью, с месяцем и годом. В качестве наглядного пособия полезно иметь в классе отрывной календарь или модель настольного календаря, работать с которым, надо научить детей.
По календарю учащиеся определяют порядковый номер месяца, устанавливают день недели, если известно число и месяц, и наоборот, устанавливают, на какие числа месяца приходятся определенные дни недели (В какой день недели будет праздник 8 Марта в этом году? На какие числа приходятся воскресенья в марте? и т.п.).
Далее дети знакомятся с еще одной единицей измерения – век. 1 век=100 лет. Используется наглядное пособие «Лента времени». Это вертикальная или горизонтальная полоса с нанесенными на нее отметками, которым соответствуют временные промежутки – века.
Завершается изучение темы «Меры времени», составлением таблицы мер времени. Программой предусмотрено выполнение арифметических действий с величинами времени: 3 ч – 25 мин; 5 сут. 15 ч + 12 ч; 1 год 8 мес. + 6 мес..
В третьем классе модель циферблата часов с подвижными стрелками используется для изучения таких единиц времени, как час, минута. Учащиеся усваивают устройство часов, названия стрелок (часовая, минутная). Конкретное представление о промежутке времени формируется через практическую деятельность (какой объем работы может быть выполнен в течение часа, минуты). В 4-ом классе изучаются век и секунда.
Программа предусматривает знакомство детей с названиями дней недели и их последовательностью, с месяцем и годом. В качестве наглядного пособия полезно иметь в классе отрывной календарь или модель настольного календаря, работать с которым, надо научить детей.
По календарю учащиеся определяют порядковый номер месяца, устанавливают день недели, если известно число и месяц, и наоборот, устанавливают, на какие числа месяца приходятся определенные дни недели (В какой день недели будет праздник 8 Марта в этом году? На какие числа приходятся воскресенья в марте? и т.п.).
Далее дети знакомятся с еще одной единицей измерения – век. 1 век=100 лет. Используется наглядное пособие «Лента времени». Это вертикальная или горизонтальная полоса с нанесенными на нее отметками, которым соответствуют временные промежутки – века.
Завершается изучение темы «Меры времени», составлением таблицы мер времени. Программой предусмотрено выполнение арифметических действий с величинами времени: 3 ч – 25 мин; 5 сут. 15 ч + 12 ч; 1 год 8 мес. + 6 мес..
21 Методика формирования измерительных навыков при изучении величин
Изучение величин имеет большое значение, так как понятие величины является важнейшим понятием математики. Каждая изучаемая величина – это некоторое количество реальных объектов окружающего мира. Упражнения в измерениях развивают пространственные представления, вооружают учащихся важными практическими навыками, которые широко применяются в жизни.
С первых дней обучения в школе ставится задача уточнять пространственные представления детей. Этому помогают упражнения на сравнение предметов по протяженности, например: «Какая книга тоньше (книги прикладываются друг к другу)? Кто ниже: Саша или Оля (дети становятся рядом)? Что глубже: ручей или река (по представлению)?»
В процессе этих упражнений отрабатывается умение сравнивать предметы по длине, а также обобщается свойство, по которому происходит сравнение – линейная протяженность, длина.
Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямой линией и отрезком как «носителем» линейной протяженности, лишенным по существу других свойств. Сравнивая отрезки на глаз, дети получают представление об одинаковых и неодинаковых по длине отрезках.
На следующем этапе происходит знакомство с первой единицей измерения отрезков. Из множества отрезков выделяется отрезок, который принимают за единицу. Дети узнают его название и приступают к измерению с помощью этой единицы. Имеются различные точки зрения по вопросу о том, какую единицу измерения вводить первой. В жизненной практике дети наблюдают чаще всего измерения с помощь метра. Метр – основная единица длины, метр существует в виде отдельного эталона (мерки). С помощью его учителю легко показать процесс измерения (как откладывается мерка на отрезке, как происходит подсчёт единиц измерения).
Для формирования измерительных навыков выполняется система разнообразных упражнений. Это измерение и черчение отрезков.
Позднее при нумерации чисел в пределах 100, вводятся новые единицы измерения – дециметр, а затем метр. Работа происходит в таком же плане, как и при знакомстве с сантиметром. Затем устанавливают отношения между единицами измерения ( сколько сантиметров содержится в 1 дм. В 1м) Дети упражняются в измерении с помощью двух разных мерок ( например длина крышки парты 4 дм 5 см, длина доски 2м 8 дм.). С этого времени приступают к сравнению длин на основе сравнения соответствующих отрезков.
Затем рассматривают преобразования величин: замену крупных величин мелкими (3 дм 5 см = 35 см) и мелких единиц крупными (48 см = 4 дм 8 см). Постепенно учащиеся осознают, что числовое значение длины зависит от выбора единицы измерения (например, длина одного и того же отрезка может быть обозначена и как 3 дм и как 30 см.).
При знакомстве с километром полезно провести практические работы на местности, чтобы сформировать представление об этой единице измерения. Чаще всего дети вместе с учителем проходят расстояние, равное 1 км (полезно заметить время, за которое удалось пройти это расстояние). Измеряют пройденное расстояние либо шагами (2 шага примерно составляют 1 м) либо с помощью рулетки или мерной веревки. Попутно дети упражняются в определении некоторых расстояний на глаз. В 2 классе учащиеся составляют и заучивают таблицу всех изученных единиц длины и их отношений. Таблица усваивается в процессе многократных и систематических упражнений. Кроме того, продолжается работа по преобразованию и сравнению длин, выраженных в единицах двух наименований, изучаются письменные приемы вычисления над ними.
22 Общие …
отыскания решения y = y(x) уравнения F(x y y ‘ ) = 0 удовлетворяющего условию y(x0) = y0
отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ‘ ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x0) = y0, называется задачей Коши (или начальной задачей).
Условие y(x0) = y0 — начальное условие.
Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.
Например:
xdy+ydx=0, y(1)=2- это называется начальное условие, то для нахождения частного решения нужно найти чему равна С:
Т. е. интеграл для данного дифференциального уравнения будет выглядеть как:
y=2/x, которое удовлетворяет начальному условие и данному дифференциальному уравнению.
Уравнение называется однородным, если может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е. .Пример. Решить уравнение .
Решение. Уравнение однородное. Полагаем ..
Если , то . Отсюда .
– общий интеграл.
Может быть потеряно решение или .
Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно есть особое решение.
Линейные уравнения.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида: (1),
где – неизвестная функция аргумента.
Уравнение (1) линейно относительно и .
Если , то уравнение (1) примет вид: (2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.
Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).
А. Интегрирование линейного однородного уравнения
Рассмотрим линейное однородное уравнение (2)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть , тогда .(3)
Отсюда общий интеграл или
заменяем на
Но есть любое число, кроме нуля. Положим .
– произвольная постоянная (4). Это общее решение не содержит функции , которая является решением уравнения (2). Для того чтобы общее решение содержало бы все решения, его надо записать в виде: (5),
где С – произвольная постоянная, принимающая любые значения.
Пример. Написать общее решение уравнения .
Решение. Имеем . Поэтому (произвольную постоянную можно считать = 0). И – общее решение.
В. Интегрирование линейного неоднородного уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (1)
Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим (6)
Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция – новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное по (6), в (1).
или .
Отсюда
Следовательно, .(7)
Автономное и неавтономное дифференциальное равнение
Уравнение, в котором явно отсутствует независимая переменная:y’=f(y), называется автономным дифференциальным уравнением.Решением его является интеграл вида: , где С – некоторая постоянная.
Для автономного уравнения
Часть выполненной работы
имела координату x0, определяется равенством
При t → ∞ функция x(t) может быть ограниченной, может стремиться к конечному пределу, может ”уходить на бесконечность” (x(t) → ∞) или может быть неограниченной с каким-то более сложным поведением.
Все остальные дифференциальные уравнения неавтономные.
…
7 1 Задан закон распределения ДСВ Х -2 0 2 р 0 2 0 3 0 5 Найти M D если а) (x) x2 б) (x) 2x 5
7.1.
Задан закон распределения ДСВ:
Х -2 0 2
р
0,2 0,3 0,5
Найти M , D , если а) (x) x2 б) (x) 2x 5
Часть выполненной работы
а) СВ принимает значения
y1 (x1) (-2)2=4, y2 (x2) 0, y3 (x3) (2)2=4
M 4(0,2 0,5) 00,3 2,8
б) 1 способ: а) СВ принимает значения
y1 (x1) 2(2) -5 -9, y2 (x2) 20-5 -5 , y3 (x3) 22-5-1
M -90,2-50,3-10,5 -3,8
2 способ. Найдем математическое ожидание : ( ) .
М(ξ)=-0,4+0+1=0,6
Воспользуемся формулой M() M(axb) amb и тогда
M() M(2x -5) 2*0,6-5-3,8….
y1 (x1) (-2)2=4, y2 (x2) 0, y3 (x3) (2)2=4
M 4(0,2 0,5) 00,3 2,8
б) 1 способ: а) СВ принимает значения
y1 (x1) 2(2) -5 -9, y2 (x2) 20-5 -5 , y3 (x3) 22-5-1
M -90,2-50,3-10,5 -3,8
2 способ. Найдем математическое ожидание : ( ) .
М(ξ)=-0,4+0+1=0,6
Воспользуемся формулой M() M(axb) amb и тогда
M() M(2x -5) 2*0,6-5-3,8….
7 3 НСВ распределена равномерно при x1 5 Найти числовые характеристики СВ если
7.3.
НСВ распределена равномерно при x1;5 . Найти числовые характеристики СВ, если : а) (x) x2 б) (x) 2x 5.
Часть выполненной работы
Выписываем плотность распределения случайной величины Х
f (x) = 0,5 при x ∈ (1;5) ; иначе f ( x) = 0
а) Так как =x2, то x=()1/2. Значит, ψ () = ()1/2, ψ'() = 1/2()-1/2,
g () = f ((1/2)*0,5.
Математическое ожидание.
f (x) = 0,5 при x ∈ (1;5) ; иначе f ( x) = 0
а) Так как =x2, то x=()1/2. Значит, ψ () = ()1/2, ψ'() = 1/2()-1/2,
g () = f ((1/2)*0,5.
Математическое ожидание.
M=0.4*52.5-(0.4*12.5)=21.9607
Дисперсия.
D= 0.2857 • 53.5 – (0.2857 • 13.5) – (21.9607)2 = -402.6985
б) Так как =2x-5, то x=(+5)/2. Значит, ψ () = (+5)/2, ψ'() = 1/2,
g () = f ((+5)/2)*0,5.
Условие: (+5)/2 ∈ (1; 5) равносильно условию: ∈(-2,5; 2,5). Значит, f((+5)/2)= 0,5 при ∈ (-2; 2), иначе f((y+5)/2)= 0
g()= 1/4 при ∈ (-2,5; 2,5) иначе g(y)= 0.
Математическое ожидание.
M[x]=∫15xdx+52dx=536+5*524−(136+5*124)=1523
Дисперсия.
D= 54/8+5 • 53/6 – (14/8+5 • 13/6) – (152/3)2 = -21472/9…
Вариант 20 Решить методом Гаусса СЛАУ с точностью 0 000001 3×1+4×2+x3+2×4=3 6×1+8×2+2×3+5×4=7
Вариант 20
Решить методом Гаусса СЛАУ с точностью 0,000001.
3×1+4×2+x3+2×4=3,6×1+8×2+2×3+5×4=7,9×1+12×2+3×3+10×4=13.
При помощи элементарных преобразований строк расширенной матрицы AB последовательно исключаем неизвестные в уравнениях системы и приводим ее к треугольному виду.
AB=341268259123103713~2c-2×1c3c-3×1c ~ 341200010004314 ~ 3c-4×2с ~341200010000310~
~3412000131
Полученная матрица соответствует системе уравнений:
3×1+4×2+x3+2×4=3,×4=1.
3×1+4×2+x3+2=3,×4=1.
3×1+4×2+x3=1,×4=1.
x1=13-43×2-13×3
Сситема уравнений имеет множество решений (13-43×2-13×3, x2,x3, 1)
Например, одним из решений с точностью 0,000001 являтся такое решение:
x4=1=1,000000
x3=1,000000
x2=6,000000
x1=13-43×2-13×3=13-43∙6-13∙1=13-8-13=-8,000000
Часть выполненной работы
13-43×2-13×3, x2,x3, 1
(-8,000000;6,000000;1,000000;1,000000)
ПРОВЕРКА:
3∙-8+4∙6+1+2∙1=3,6∙-8+8∙6+2∙1+5∙1=7,9∙-8+12∙6+3∙1+10∙1=13.
(-8,000000;6,000000;1,000000;1,000000)
ПРОВЕРКА:
3∙-8+4∙6+1+2∙1=3,6∙-8+8∙6+2∙1+5∙1=7,9∙-8+12∙6+3∙1+10∙1=13.
313-43×2-13×3+4×2+x3+2∙1=3,613-43×2-13×3+8×2+2×3+5∙1=7,913-43×2-13×3+12×2+3×3+10∙1=13.
1-4×2-x3+4×2+x3+2∙1=3,2-8×2-2×3+8×2+2×3+5∙1=7,3-12×2-3×3+12×2+3×3+10∙1=13.
1+2=3,2+5=7,3+10=13.
3=3,7=7,13=13.
Верно.
…
7 9 Даны две независимые дискретные случайные величины X и Y Х 1 2 р 0 2 0 8 Х 3 5 q 0
7.9.
Даны две независимые дискретные случайные величины X и Y :
Х 1 2
р
0,2 0.8
Х 3 5
q 0.4 0.6
Составить закон распределения вероятностей суммы Z=X+Y . Найти числовые характеристики Z.
На странице представлен фрагмент работы. Его можно использовать, как базу для подготовки.
Часть выполненной работы
M (X) = 1 *0,2 + 2 * 0,8 = 1,8 ,
*M (Y) = 3*0,4 + 5*0,6 = 4,2 .
Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание
M (X+Y) = M (X) + M (Y) = 1,8+4,2 = 6.
D(X + Y) = D (X) + D (Y)=0,16+0,96=1,12…
*M (Y) = 3*0,4 + 5*0,6 = 4,2 .
Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание
M (X+Y) = M (X) + M (Y) = 1,8+4,2 = 6.
D(X + Y) = D (X) + D (Y)=0,16+0,96=1,12…
этого типа-первые задачи с которыми встречаются школьники в первом классе Любой новый тип задач изучается предметным способом( н-р
этого типа-первые задачи, с которыми встречаются школьники в первом классе. Любой новый тип задач изучается предметным способом( н-р, в вазе лежало 3 яблока и 2 груши. Сколько фруктов лежало в вазе?)
арифметический способ: 3 яблока + 2 груши получаем 5=>2+3=5(ф.)
Часть выполненной работы
в вазе 5 фруктов.
Вычитание:
Эта задача вводится одновременно с первым типом(было…..убрали…..сколько осталось……)н-р, на катке было 7 детей, 3 ушло. Сколько детей осталось на катке?Ответ: 4 ребенка осталось на катке. Затем мы делаем краткую запись.
Было-7
ушло-3
7
осталось-?
3
?
Чтобы у учащихся не сложилось ошибочного мнения о том, что выбор действия зависит от ключевого слова, необходимо предлагать им задачи следующего вида: Утром из гаража выехало 8 машин, а после обеда выехало 5 машин. Сколько машин выехало из гаража?
МО решения задач на нахождение неизвестного слагаемого.
Введение начинается с решения задач предметным способом.
1 этап:(н-р, у Сережи было 3 марки. На день рождения ему подарили еще несколько марок. Стало 8 марок. Сколько марок подарили всего сереже?)
Выкладываем 3 марки
8 раскладываем на 2 кучки( сколько было и сколько подарили?)Сколько было?Сколько стало? 8-3=5 Ответ:5 марок.
2 этап: Далее решаем задачу без предметных действий
было-3
подарили-?
Стало-8 8-3=5
3 этап: Дети могут решать с помощью составления уравнения
было-3
подарили-X
стало-8 3+x=8,x-неизвестное слагаемое. Как найти неизвестное слагаемое?(нужно из суммы вычесть известное слагаемое)8-3=5(м.)Ответ:5 марок подарили Сереже.
Методика обучения решению простых задач, раскрывающих связь между компонентами и результатами арифметических действий.
Правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий изучается по традиционной программе в 3 классе.
2 слагаемое
сумма
1 слагаемое
7 + 2 = 9
Если из суммы вычесть 1 слагаемое= 2 слагаемое и т. д.
уменьшаемое
вычитаемое
разность
10 – 8 = 2
Если к разности + вычитаемое = уменьшаемое и т. д.
Методика обучения решению простых задач, раскрывающих отношение «меньше на», «больше на».
1)на увеличение числа на несколько единиц в прямой форме. Для решения задач необходимо, чтобы учащиеся четко осознали понятия = > < .Понимание этих понятий идет с первых уроков мат-ки. Полезны следующие упражнения:
отсчитайте 5 красных кружков и 3 синих кружка. Разложи их так, что бы под кружком одного цвета лежал кружок другого цвета. Какие кружки остались без пары? Каких кружков не хватает? Каких больше? Меньше? Сколько красных кружков остались без пары? Красных на ск-ко больше, чем синих
положите 6 красных кружка, под каждый из них положите по синему кружку. Сколько синих кружков положили?
2)задачи на разностное сравнение. Основная сложность: объяснить уч-ся почему задача, в котором спрашивается на сколько больше решается вычитанием?(выставляются 3 красных кружка и 5 синих.)Каких кружков больше? Каких меньше? На ск-ко синих больше, чем красных? На ск-ко красных меньше, чем синих? На ск-ко 1 число больше, чем другое?=>нужно от большего вычесть меньшее.(н-р: Маша нашла 8 грибов, а Миша-6 грибов)8-6=2 (г.) Маша на 2 гриба собрала больше, чем Миша.
Вычитание:
Эта задача вводится одновременно с первым типом(было…..убрали…..сколько осталось……)н-р, на катке было 7 детей, 3 ушло. Сколько детей осталось на катке?Ответ: 4 ребенка осталось на катке. Затем мы делаем краткую запись.
Было-7
ушло-3
7
осталось-?
3
?
Чтобы у учащихся не сложилось ошибочного мнения о том, что выбор действия зависит от ключевого слова, необходимо предлагать им задачи следующего вида: Утром из гаража выехало 8 машин, а после обеда выехало 5 машин. Сколько машин выехало из гаража?
МО решения задач на нахождение неизвестного слагаемого.
Введение начинается с решения задач предметным способом.
1 этап:(н-р, у Сережи было 3 марки. На день рождения ему подарили еще несколько марок. Стало 8 марок. Сколько марок подарили всего сереже?)
Выкладываем 3 марки
8 раскладываем на 2 кучки( сколько было и сколько подарили?)Сколько было?Сколько стало? 8-3=5 Ответ:5 марок.
2 этап: Далее решаем задачу без предметных действий
было-3
подарили-?
Стало-8 8-3=5
3 этап: Дети могут решать с помощью составления уравнения
было-3
подарили-X
стало-8 3+x=8,x-неизвестное слагаемое. Как найти неизвестное слагаемое?(нужно из суммы вычесть известное слагаемое)8-3=5(м.)Ответ:5 марок подарили Сереже.
Методика обучения решению простых задач, раскрывающих связь между компонентами и результатами арифметических действий.
Правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий изучается по традиционной программе в 3 классе.
2 слагаемое
сумма
1 слагаемое
7 + 2 = 9
Если из суммы вычесть 1 слагаемое= 2 слагаемое и т. д.
уменьшаемое
вычитаемое
разность
10 – 8 = 2
Если к разности + вычитаемое = уменьшаемое и т. д.
Методика обучения решению простых задач, раскрывающих отношение «меньше на», «больше на».
1)на увеличение числа на несколько единиц в прямой форме. Для решения задач необходимо, чтобы учащиеся четко осознали понятия = > < .Понимание этих понятий идет с первых уроков мат-ки. Полезны следующие упражнения:
отсчитайте 5 красных кружков и 3 синих кружка. Разложи их так, что бы под кружком одного цвета лежал кружок другого цвета. Какие кружки остались без пары? Каких кружков не хватает? Каких больше? Меньше? Сколько красных кружков остались без пары? Красных на ск-ко больше, чем синих
положите 6 красных кружка, под каждый из них положите по синему кружку. Сколько синих кружков положили?
2)задачи на разностное сравнение. Основная сложность: объяснить уч-ся почему задача, в котором спрашивается на сколько больше решается вычитанием?(выставляются 3 красных кружка и 5 синих.)Каких кружков больше? Каких меньше? На ск-ко синих больше, чем красных? На ск-ко красных меньше, чем синих? На ск-ко 1 число больше, чем другое?=>нужно от большего вычесть меньшее.(н-р: Маша нашла 8 грибов, а Миша-6 грибов)8-6=2 (г.) Маша на 2 гриба собрала больше, чем Миша.
15 Методика ознакомления с составной задачей
Знакомство с составной задачей происходит после изучения нумерации в концентре «сотня». Цель: уяснить основное отличие составной задачи от простой (нельзя решить в одно действие). Существуют задачи, решающиеся в 2 действия, но не являющиеся составными.
Подготовка:
1) Дети должны уметь решать простые задачи, которые служат частями составной задачи.
2) Дети меньше заняты практической работой с предметными множествами, а шире используются таблицы, чертежи, рисунки.
3) Решение задач с недостающими данными.
4) Решение цепочки простых задач, когда искомое первой задачи является данным следующей задачи. (В коробке было 5 цветных и 2 простых карандаша. Сколько карандашей было в коробке?) (В коробке было 7 карандашей, 3 карандаша взяли. Сколько карандашей осталось?)
5) Составление задач на один и тот же сюжет.
В 1, 2 классах решаются составные задачи, которые состоят из двух простых:
1. – на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц.
– на нахождение суммы.
2. на нахождение суммы и остатка.
3. на нахождение суммы 3-х чисел.
4. на увеличение числа на несколько единиц и на нахождение остатка.
В 3 классе решаются задачи всех видов на сложение и вычитание. После введения умножения / деления впервые вводятся составные задачи в 3 действия.
16 Методика обучения решению задачи на нахождение четвертого
Методика обучения решению задач на нахождение четвертого пропорционального. Данные задачи представляют для уч-ся особую сложность, т.к. понятие пропорц-ая зависимость не вводиться. Эти задачи яв-ся первыми задачами , дающими знания о функциональной зависимости .В задачу входят три зависимые величины: скорость/время/расстояние. При этом для одной величины даны два значения, для второй- одно, а другую надо найти. Значение третье величины не дается, но указывается, что она постоянна.
Методика обучения решению задач на пропорциональное деление.
Эти задачи включают 2 переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, одну или больше постоянных, при чем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемое этой суммы является искомым.
Методика обучения решению задач на нахождение числа по 2-м разностям. Задачи данного типа вкл-ют одно или несколько постоянных величин и 2 переменные величины, причём для одной переменной даны 2 значения, а для другой перем. Величины разность соотв-их значений, а сами значения явл-ся искомыми. При решении задач такого типа проверяется сопоставление 2-х разностей. Знакомство уч-ся с задачами такого типа начинают с простейших подготовит-х задач: Маша и Миша купили листы бумаги по одной цене. Маша заплатила на 12р. Больше,т.к. купила на 4 листа больше, чем Миша. Найти цену листа бумаги. 12_4=3….
