Принципы математического моделирования конфликтных ситуаций в условиях неопределенности и риска

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях — отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.
Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными.
Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой — стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.
Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр.
Теория игр занимается разработкой различного рода рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации. Такие игры называются антагонистическими. В математике конфликтные ситуации представляют упрощённой моделью как игру двух, трёх и более числа игроков.
Игра − это действительный или формальный конфликт, в котором имеется несколько участников, каждый из которых стремится к достижению собственных целей. Математическая модель конфликтной ситуации называется также игрой; стороны, участвующие в конфликте, − игроками, а исход конфликта − выигрышем. Для каждой формализованной игры вводят правила, которые устанавливают допустимые действия каждого игрока в процессе игры.
Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.
Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.
Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся на данный момент времени ситуации. Если число стратегий у каждого из игроков конечно, игра называется конечной, если число стратегий − бесконечно, то бесконечной.
Далее будем рассматривать парные конечные игры. Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует выбрать для каждого игрока стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности. Оптимальным называется такой результат игры, когда при многократном повторении игры один из игроков получает максимально возможный средний выигрыш, а второй придерживается любой своей стратегии.
Вместе с тем, при выполнении условия оптимальности игры второй игрок должен иметь при многократном повторении игры минимально возможный средний проигрыш, если первый игрок придерживается своей стратегии. Одновременно выиграть в антагонистической игре оба игрока не могут, поэтому в начале игры распределяют роли выигрывающего и проигрывающего игроков между участниками игры. Стратегии, обеспечивающие максимум выигрыша одного игрока или минимум проигрыша второго игрока, называются оптимальными.
Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должен быть не выгоден отказ от своей оптимальной стратегии в игре.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.
Рассмотрим парную конечную игру с нулевой суммой. При нулевой сумме игры разница между абсолютными значениями выигрыша одного игрока и проигрыша другого полагается равной нулю. Пусть игрок располагает m личными стратегиями, которые обозначим , ,…, , а игрок имеет n личных стратегий − , ,…, . Причём выигрыш игрока полагается равным проигрышу игрока и наоборот. Такая игра имеет размерность .
В результате выбора игроками пары стратегий из всех возможных для них стратегий, а именно
и , ,
однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш игрока и проигрыш игрока .
Если значения выигрышей известны для любой пары стратегий , то матрица , составленная из этих выигрышей, называется платёжной матрицей, или матрицей игры:

Строки матрицы P соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы − стратегиям второго. Игру, определяемую матрицей P , имеющей m строк и n столбцов, называют конечной игрой размерности .
Игра, для которой можно составить матрицу игры, называется матричной….