отыскания решения y = y(x) уравнения F(x y y ‘ ) = 0 удовлетворяющего условию y(x0) = y0

отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ‘ ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x0) = y0, называется задачей Коши (или начальной задачей).
Условие y(x0) = y0 — начальное условие.
Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.
Например:
xdy+ydx=0, y(1)=2- это называется начальное условие, то для нахождения частного решения нужно найти чему равна С:

Т. е. интеграл для данного дифференциального уравнения будет выглядеть как:
y=2/x, которое удовлетворяет начальному условие и данному дифференциальному уравнению.

Уравнение называется однородным, если может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е. .Пример. Решить уравнение .
Решение. Уравнение однородное. Полагаем ..
Если , то . Отсюда .
– общий интеграл.
Может быть потеряно решение или .
Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно есть особое решение.

Линейные уравнения.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида: (1),
где – неизвестная функция аргумента.
Уравнение (1) линейно относительно и .
Если , то уравнение (1) примет вид: (2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.
Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).

А. Интегрирование линейного однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное уравнение (2)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть , тогда .(3)
Отсюда общий интеграл или
заменяем на
Но есть любое число, кроме нуля. Положим .
– произвольная постоянная (4). Это общее решение не содержит функции , которая является решением уравнения (2). Для того чтобы общее решение содержало бы все решения, его надо записать в виде: (5),
где С – произвольная постоянная, принимающая любые значения.

Пример. Написать общее решение уравнения .
Решение. Имеем . Поэтому (произвольную постоянную можно считать = 0). И – общее решение.

В. Интегрирование линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (1)
Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим (6)
Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция – новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное по (6), в (1).
или .

Отсюда
Следовательно, .(7)
Автономное и неавтономное дифференциальное равнение
Уравнение, в котором явно отсутствует независимая переменная:y’=f(y), называется автономным дифференциальным уравнением.Решением его является интеграл вида: , где С – некоторая постоянная. 
Для автономного уравнения

user688286 4.0

Основные сферы: социология, менеджмент, философия, политология и др. Опыт - 4 года. Уровень английского - Upper Intermediate, поэтому готов также брать переводческую работу или написание работ на иностранных языках.

Нанять автора

Готовые работы на продажу

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Нажимая "Купить" вы будете перенаправлены на страницу карточки работы.

Гарантия на работу 10 дней.

Определить решение уравнения f(x) = 0 точностью ε =10 4 Выбор начального приближения подтвердить гра

140₽

• Контрольная работа
• Информатика
• Выполнил: vladmozdok

Купить

6 1 Для аналитической модели с найденными в методе наименьших квадратов значениями параметров x 1 =

90₽

• Решение задач
• Теория вероятностей
• Выполнил: vladmozdok

Купить