Вольтметром точность которого характеризуется средним квадратичным отклонением 0

Вариант 1

Вольтметром, точность которого характеризуется средним квадратичным отклонением 0,2В, проведено 10 измерений напряжения аккумулятора. Найти интервальную оценку истинного значения напряжения, если его среднее значение оказалось 12,8 В.
Взять коэффициент доверия γ=0,95;
Взять коэффициент доверия γ=0,98;

РЕШЕНИЕ

Коэффициент доверия γ=0,95 t=1,96
Предельная ошибка выборки
∆x=tσ2n=1,960,2210=0,12 В
Определим пределы, в которых ожидается средний срок работы электроламп:
x=x±∆x=12,8±0,12 В12,68≤x≤12,92 В
Коэффициент доверия γ=0,98 t=2,34
Предельная ошибка выборки
∆x=tσ2n=2,340,2210=0,15 В
Определим пределы, в которых ожидается средний срок работы электроламп:
x=x±∆x=12,8±0,15 В.12,65≤x≤12,95 В

Исследовать тип регрессии между случайными переменными x и y.
X 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8
Y 6,265 7,607 9,096 9,932 11,280 12,318 13,707 15,102 16,004 17,209
Если известно, что она отвечает одному из следующих типов:
Линейная функция: y=a+bx;
Нелинейные функции: y= a+b/x (гипербола);
y=a+bx+cx2 ( парабола).

РЕШЕНИЕ

Линейная функция: y=b0+b1x
Рабочая таблица.
N х Y x2 Xy
y2
1 1 6,265 1 6,265 39,2502 6,407 -0,142 0,020 2,259
2 1,2 7,607 1,44 9,1284 57,8664 7,617 -0,010 0,000 0,126
3 1,4 9,096 1,96 12,7344 82,7372 8,827 0,269 0,073 2,960
4 1,6 9,932 2,56 15,8912 98,6446 10,037 -0,105 0,011 1,056
5 1,8 11,28 3,24 20,304 127,238 11,247 0,033 0,001 0,293
6 2 12,318 4 24,636 151,733 12,457 -0,139 0,019 1,129
7 2,2 13,707 4,84 30,1554 187,882 13,667 0,040 0,002 0,291
8 2,4 15,102 5,76 36,2448 228,07 14,877 0,225 0,051 1,488
9 2,6 16,004 6,76 41,6104 256,128 16,087 -0,083 0,007 0,521
10 2,8 17,209 7,84 48,1852 296,15 17,297 -0,088 0,008 0,514
Сумма 19 118,52 39,4 245,1548 1525,7 118,520 0,000 0,191 10,637
Ср.знач
1,900 11,852 3,940 24,515 152,570 11,852 0,000 0,019 1,064

.
Получено уравнение регрессии:.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Значение коэффициента корреляции больше 0,7 и отрицательно, это говорит о сильной и прямой связи.
Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5,32.
Fфакт=5062,3>Fтабл=5,32, наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии не принимается на уровне 0,05, т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели можно оценить хорошее, так как не превышает 8-10%.
Нелинейные функции: y= a+b/x (гипербола)
Представим в виде

Для расчета параметров уравнения строим расчетную таблицу 4.
№ 1/х y 1/х2
y2 у/х
1 1,000 6,265 1,000 39,250 6,265 4,880 1,385 22,107 1,918 72,846
2 0,833 7,607 0,694 57,866 6,339 7,675 -0,068 0,894 0,005 51,739
3 0,714 9,096 0,510 82,737 6,497 9,671 -0,575 6,326 0,331 32,536
4 0,625 9,932 0,391 98,645 6,208 11,169 -1,237 12,452 1,530 23,697
5 0,556 11,280 0,309 127,238 6,267 12,333 -1,053 9,338 1,110 12,390
6 0,500 12,318 0,250 151,733 6,159 13,265 -0,947 7,688 0,897 6,160
7 0,455 13,707 0,207 187,882 6,230 14,027 -0,320 2,337 0,103 1,450
8 0,417 15,102 0,174 228,070 6,293 14,663 0,440 2,910 0,193 5,803
9 0,385 16,004 0,148 256,128 6,155 15,200 0,804 5,024 0,646 1,450
10 0,357 17,209 0,128 296,150 6,146 15,661 1,548 8,997 2,397 5,803
Итого 0,053 118,520 3,810 1525,70 62,559 118,544 -0,024 78,073 9,129 213,875
Среднее значение 0,005 11,852 0,381 152,570 6,256 – – 7,807 – 21,388
σ

0,617 3,479 – – – – – – – –
σ2

0,381 12,100 – – – – – – – –
Все расчеты в таблице велись по формулам
.
Тогда

Получено уравнение регрессии:.
индекс корреляции
Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной, так как R>0,7,
Рассчитаем F-критерий Фишера:

для α=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=8.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5,32.
Fфакт=98,04>Fтабл=5,32, наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии не принимается на уровне 0,05, т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений у на 7,807%. Качество построенной модели можно оценить как хорошее, так как не превышает 8-10%.
y=a+bx+cx2 ( парабола).
По приведенным исходным данным определим оценки коэффициентов квадратичной регрессии. Применение к ней метода наименьших квадратов приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений a, b, c
ax4+bx3+cx2=x2yax3+bx2+cx=xyax2+bx+cn=y
Решение находим методом Крамера

№ х у ху
х2
у2
х3 х4
х2у
1 1 6,265 6,265 1,000 39,250 1,000 1,000 6,265 6,342 -0,077 1,229 72,846
2 1,2 7,607 9,128 1,440 57,866 1,728 2,074 10,954 7,596 0,011 0,143 51,739
3 1,4 9,096 12,734 1,960 82,737 2,744 3,842 17,828 8,839 0,257 2,821 32,536
4 1,6 9,932 15,891 2,560 98,645 4,096 6,554 25,426 10,072 -0,140 1,408 23,697
5 1,8 11,28 20,304 3,240 127,238 5,832 10,498 36,547 11,293 -0,013 0,118 12,390
6 2 12,318 24,636 4,000 151,733 8,000 16,000 49,272 12,504 -0,186 1,510 6,160
7 2,2 13,707 30,155 4,840 187,882 10,648 23,426 66,342 13,704 0,003 0,024 1,195
8 2,4 15,102 36,245 5,760 228,070 13,824 33,178 86,988 14,893 0,209 1,386 0,091

2,6 16,004 41,610 6,760 256,128 17,576 45,698 108,18 16,071 -0,067 0,416 1,450

2,8 17,209 48,185 7,840 296,150 21,952 61,466 134,92 17,238 -0,029 0,167 5,803
Σ 19,000 118,52 245,15 39,40 1525,70 87,400 203,73 542,73 118,552 -0,032 9,222 207,908

Метод Крамера

203,733 87,400 39,400

542,727 87,400 39,400

А= 87,400 39,400 19,000
В= 245,155 39,400 19,000

39,400 19,000 10,000

118,520 19,000 10,000

203,733 542,727 39,400

203,733 87,400 542,727

С= 87,400 245,155 19,000
Д= 87,400 39,400 245,155

39,400 118,520 10,000

39,400 19,000 118,520

ΔА= 27,878
ΔВ= -3,804
ΔС= 183,136
ΔД= -2,554

a=ΔВ/ΔА= -0,136
b= 6,569
с= -0,092

y=-0,136×2+6,569x-0,092
Рассчитаем теоретические значения у и занесем в таблицу, также определим отклонения

индекс корреляции
Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной, так как R>0,7,
Индекс детерминации: детерминации
Рассчитаем F-критерий Фишера:

для α=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=8.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5,32.
Fфакт=413,05>Fтабл=5,32, наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии не принимается на уровне 0,05, т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений у на 1,153%. Качество построенной модели можно оценить как хорошее, так как не превышает 8-10%.
Наилучшей является линейная модель или параболическая модель.

Построить аддитивную модель временного ряда, описывающего потребление электроэнергии за 4 года:
№
квартала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
млн Квч
8 6 4,5 5,1 9,3 7,4 4,4 6 10 8 5,6 6,4 11 8,7 6,5 10,9
Анализ провести, используя Excel;
Выделить тренд;
Графически оценить циклическую составляющую и ее период
РЕШЕНИЕ

Анализ провести, используя Excel

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,44

R-квадрат 0,19

Нормированный R-квадрат 0,13

Стандартная ошибка 2,00

Наблюдения 16

Дисперсионный анализ

  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 1 13,36 13,36 3,32 0,09
Остаток 14 56,28 4,02

Итого 15 69,64      

  Коэффи
циенты
Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 5,68 1,05 5,40 0,00 3,42 7,93
t 0,20 0,11 1,82 0,09 -0,03 0,43

Выделить тренд
Уравнение тренда
у=5,68+0,2t

Графически оценить циклическую составляющую и ее период
Циклическая составляющая
 

   
Наблюдение
У Предсказанное У
Циклическая составляющая
1 1 год 8 5,88 2,12
2
6 6,07 -0,07
3
4,5 6,27 -1,77
4
5,1 6,47 -1,37
5 2 год 9,3 6,67 2,63
6
7,4 6,87 0,53
7
4,4 7,07 -2,67
8
6 7,26 -1,26
9 3 год 10 7,46 2,54
10
8 7,66 0,34
11
5,6 7,86 -2,26
12
6,4 8,06 -1,66
13 4 год 11 8,25 2,75
14
8,7 8,45 0,25
15
6,5 8,65 -2,15
16
10,9 8,85 2,05
 Σ
117,8 117,8  0
Проверим выполнимость требований к сезонным составляющим для аддитивной модели: сумма всех сезонных компонент должна быть равна нулю. Условие выполняется.

Все отклонения находятся внутри горизонтальной полосы постоянной ширины, это говорит о независимости дисперсий от значений объясняющей переменной и выполнимости условия гомоскедастичности.

Ририша 4.1

аккуратность, исполнительность, надежность! Образование высшее - менеджмент, история, экономика. Большой опыт работы в образовании, в том числе деятельность проректора по науке, за плечами более 10 лет написания курсовых, дипломных работ!

Нанять автора