5 Задачи по теме «Классическое определение вероятности» 5 5 Рассматривается карточная колода

5 Задачи по теме «Классическое определение вероятности»
5.5 Рассматривается карточная колода, в которой собраны карты каждой масти достоинством «валет» и «дама» (всего 8 карт). Построить пространство событий для испытания «из колоды вытаскивают последовательно две карты». Определить вероятности случайных событий А, В и С:
А – вытащены две карты пиковой масти;
В – вытащена «дама» и «валет»;
С – вытащены две «дамы».

Решение:
Построим пространство событий для испытания «из колоды вытаскивают последовательно две карты». Пространство элементарных событий состоит из 28 исходов, так как число всех случаев отбора 2 карт из общего числа 8 карт равно числу сочетаний из 8 по 2, т.е.

Пространство элементарных событий = где например: – вытащена дама пики, валет пики;- вытащена дама пики, валет черви;- вытащена дама пики, валет крести, – вытащена дама пики, валет бубновой масти, – вытащена дама черви, валет пики, …. и т.д
Рассчитаем вероятности, используя формулу классической вероятности , где m – число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события, общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов
Событию А соответствует всего один элементарный исход -, поэтому
P(А)=P(вытащены две карты пиковой масти)= P(вытащены дама пиковой масти и валет пиковой масти)=1/28
Событию В соответствуют всего 16 исходов из 28, так как каждый из четырех вальтов может сочетаться с каждой дамой, всего таких пар 4*4=16, поэтому P(В)=P(вытащена «дама» и «валет»)=16/28
Событие С состоит в том, что из 8 карт будут выбраны или дама пики и дама черви, или дама пики и дама буби, или дама пики и дама крести, или дама черви и дама буби, или дама черви и дама крести, дама крести и дама буби. Всего 6 благоприятных исходов.
P(С)=P(вытащены две «дамы»)=6/28=3/14

Ответ: P(А) =1/28, P(В)=16/28, P(С)=3/14
6 Задачи по теме «Основные теоремы теории вероятностей»
6.15 На фондовом рынке появились акции только что образованного холдинга, которые можно приобрести с вероятностью 15%. Финансовый аналитик считает, что когда акции удается приобрести, вероятность их высокой доходности составляет 35%, а когда приобрести акции не удается, они с вероятностью 80% окажутся высоко доходными.
а) Найдите вероятность того, что акции удастся приобрести и они окажутся высоко доходными.
б) Найдите условную вероятность того, что акции удается приобрести, если они имеют высокую доходность.

Решение
Обозначим события:
А –акции имеют высокую доходность;
Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез
Н1 – удалось приобрести акции;
Н2 – не удалось приобрести акции.
События H1, H2 образуют полную группу событий .
По условию известны вероятности гипотез и условные вероятности P(А/H1), P(А/H2)
Р(Н1) = 15% = 0,15 – вероятность того, что акции будут приобретены;
Р(Н2) =100%-15%=85% = 0,85 – вероятность того, что акции не будут приобретены
Р(А|Н1) = 35% = 0,35 – условная вероятность того, что акции будут доходными при условии, что их удастся приобрести;
Р(А|Н2) = 80% = 0,8 – условная вероятность того, что акции будут доходными при условии, что их не удастся приобрести
а) Найдем вероятность того, что акции удастся приобрести, и они окажутся высоко доходными.
Событие «акции удастся приобрести и они окажутся высоко доходными» представляет собой одновременное выполнение событий Н1 и А, т.е. произведение этих событий:Н1 * А.
События Н1 и А являются зависимыми, так как по условию задачи вероятность высокой доходности различна в зависимости от того, были ли они приобретены или нет. Поскольку эти события являются зависимыми, для расчета вероятности их произведения применим теорему о вероятности произведения событий:
Р(Н1*А) = Р(Н1) * Р(А|Н1).
Условная вероятность события А при условии, что наступило событие Н1 (т.е. Р(А|Н1) известна из условий задачи. Тогда: Р(Н1*А) = 0,15 * 0,35 = 0,053.
б) Найдем условную вероятность того, что акции удается приобрести, если они имеют высокую доходность, т.е нужно найти Р(Н1/А)
Требуется найти уточненную (послеопытную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность того, что акции удается приобрести при условии, что они имеют высокую доходность.
Используя формулу Байеса подставим заданные значения вероятностей:

Ответ: а) вероятность того, что акции удастся приобрести, и они окажутся высоко доходными, составляет 0,053 или 5,3%. б) вероятность того, что акции удается приобрести, если они имеют высокую доходность 0,072

7 Задачи по теме «Построение закона распределения дискретной случайной величины»
7.14 Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 2000 опечаток.
а) Построить ряд распределения количества опечаток на одной странице (случайная величина Х) по закону Пуассона. Использовать 8 первых значений случайной величины.
б) Построить многоугольник распределения.
в) Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х. Сделать выводы.
г) Записать функцию распределения случайной величины Х, построить график функции.
д) Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит не менее двух опечаток.

Решение:
Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 2000 опечаток, следовательно, в среднем на одной странице содержится 2 опечатки. Т.е. математическое ожидание (среднее число опечаток) равно 2.
а) Построим ряд распределения количества опечаток на одной странице (случайная величина Х) по закону Пуассона.
Дискретная случайная величина Х – число опечаток на одной странице. Определим ее возможные значения.
Число опечаток на одной странице может быть 0,1,2,3….
По условию n =1000 =np=2
Так как данная случайная величина Х подчинена закону Пуассона, то расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Пуассона:
Найдем по этой формуле вероятность того, что на странице будет 0 опечаток

Однако расчет вероятностей легче осуществить, пользуясь специальными таблицами вероятностей распределения Пуассона, где содержатся значения при заданных значениях m и .

Данных для =2 и m≥10 в таблице нет, что указывает на то, что эти вероятности практически равны нулю.
Занесем полученные результаты в таблицу

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pi 0,135 0,27 0,27 0,18 0,09 0,036 0,012 0,0034 0,0009 0,0002

б) Построим многоугольник распределения

в) Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру , который определяет этот закон, т.е. МХ=DХ==2

Среднее квадратическое отклонение равно =√2=1,414

г) Запишем функцию распределения случайной величины Х и построим ее график

Функция распределения случайной величины X определяется равенством F(x)=P(X<x). Пользуясь рядом распределения, найдем F(x)

График функции распределения F(x) имеет вид:

д) Найдем вероятность того, что наудачу взятая страница содержит не менее двух опечаток, т.е от двух до 2000.

Искомую вероятность найдем, используя вероятность противоположного события – «наудачу взятая страница содержит менее двух опечаток», т.е. 0 или 1 опечатку:

P(наудачу взятая страница содержит не менее двух опечаток)=1-P(наудачу взятая страница содержит менее двух опечаток)= =
1-(0,1353+0,2707)=1-0,406=0,594

Ответ: МХ=DХ==2 , =√2=1,414 ,
P(наудачу взятая страница содержит не менее двух опечаток)=0,594

Вариант 9

julianikolaevna696 5.0

Опыт написания студенческих работ - 9 лет. Призер научных конкурсов в отрасли менеджмента, рекламы, политологии, управления персоналом, планирования, информационных технологий предприятия.Выполняю научные работы любой сложности.

Нанять автора