Меню Закрыть

Событие А — хотя бы одно из 3-х изделий бракованное В — бракованных изделий среди них не менее 2-х

1. Событие А — хотя бы одно из 3-х изделий бракованное, В — бракованных изделий среди них не менее 2-х. Что означают события А + В, А · В, A, B ?
РЕШЕНИЕ
А+В=А — хотя бы одно из 3-х изделий бракованное
А · В=В — бракованных изделий среди них не менее 2-х
А – бракованные 1,2 или 3 изделия
В — бракованные 2 или 3 изделия

2. Из колоды в 36 карт вынимаются наугад 2 карты. Найти вероятность того, что вынуты туз и одна десятка.
РЕШЕНИЕ
Пусть А – событие, состоящее в том, что вынуты туз и одна десятка
Для определения вероятностей воспользуемся формулой , где m -число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n — число всех возможных исходов.
Число всех исходов — число способов вынуть две карты из 36: n= 630
Число благоприятных исходов: число способов вынуть один туз из четырех и одну десятку из четырех
m= =16
=0.025
ОТВЕТ: 0.025

3. Два действительных числа х и у выбирают наугад независимо друг от друга так, что сумма их квадратов меньше 64. Какова вероятность того, что сумма положительных х и у окажется меньше восьми ?

РЕШЕНИЕ
Построим множества х2+у2<64 и х+у<8, x>0, y>0

=0.159
ОТВЕТ: 0,159

4. Найти вероятность того, что наудачу выбранное целое положительное число делится на два или на три.
РЕШЕНИЕ
Из каждых шести взятых подряд чисел, начиная с 1 делится на 2 или на 3 четыре числа. Так в первой шестерке чисел это 2,3,4,6, во второй шестерке это числа 8,9,10,12. Вероятность того, что произвольное положительное целое число делится на 6 равна
ОТВЕТ: 0,667

5. В партии из 10 изделий 4 бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6 изделий ровно два окажутся бракованными.
РЕШЕНИЕ
Пусть А – событие, состоящее в том, что из 6-ти выбранных изделий будет два бракованных
Для определения вероятностей воспользуемся формулой ,
Число всех исходов — число способов выбрать 6 изделий из 10:
n= 210
Число благоприятных исходов: число способов выбрать два бракованных изделия из четырех и 4 изделия из 6-ти небракованных
m= =90
=0.429
ОТВЕТ: 0.429

6. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одном залпе из всех орудий.
РЕШЕНИЕ
Пусть А – событие состоящее в том, что было хотя бы одно попадание.
Найдем вероятность того, что не было ни одного попадания – это событие, противоположное А:
=(1-р1)(1-р2)(1-р3)=0,20,30,1=0,006
Тогда Р(А)=1-Р()=1-0,006=0,994
ОТВЕТ: 0,994
7. В урне 30 шаров, из них 5 черных и остальные белые. Вынимаются один за другим три шара подряд. Какова вероятность того, что будет вынуто два белых и один черный шар?
РЕШЕНИЕ
Пусть А – событие, состоящее в том, что вынуты два белых и один черный шар
Для определения вероятностей воспользуемся формулой ,
Число всех исходов — число способов выбрать 3 шара из 30:
n= 4060
Число благоприятных исходов: число способов выбрать два белых шара из 25-ти и 1 шар из 5-ти черных
m= = 1500
=0.369
ОТВЕТ: 0.369

8. Радиолампа может принадлежать к одной из 3-х партий с вероятностями p1 = 0,25; p2 = 0,5; p3 = 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов равны для этих партий соответственно 0,1 — для первой, 0,2 — для второй, 0,4 — для третьей. Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
РЕШЕНИЕ
Обозначит А – наудачу выбранная лампа проработает заданное число часов
Пусть Н1 – событие, состоящее в том, что наудачу выбранная лампа принадлежит первой партии
Н2 – лампа принадлежит второй партии
Н3 – лампа принадлежит третьей партии

По условию Р(Н1) =0,25 Р(Н2) =0,5 Р(Н3) =0,25
Соответствующие условные вероятности по условию равны
Р(А/Н1) = 0,1
Р(А/Н2) =0,2
Р(А/Н3) =0,4
Найдем вероятность события А по формуле полной вероятности:
Р(А)= Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) + Р(Н3)Р(А/Н3) =0,25 0,1 + 0,50,2+0,250,4 = 0,225
ОТВЕТ: 0,225

9. На склад поступает продукция с 2-х фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 60%, а второй — 40%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй — 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
РЕШЕНИЕ
Обозначит А – наудачу взятое изделие нестандартное
Пусть Н1 – событие, состоящее в том, что наудачу выбранное изделие изготовлено на первой фабрике
Н2 – наудачу выбранное изделие изготовлено на второй фабрике
По условию Р(Н1) =0,6 Р(Н2) =0,4
Соответствующие условные вероятности по условию равны
Р(А/Н1) = 0,03
Р(А/Н2) =0,02
Найдем вероятность события А по формуле полной вероятности:
Р(А)= Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) =0,6 0,03 + 0,40,02 = 0,026
По формуле Байерса:
Р(Н1/А)==0,692
ОТВЕТ: 0,692
1. Случайная величина Х имеет следующее распределение
Х 0 1 2
р
0,1
0,6
Для этой СВ построить многоугольник распределения, найти и изобразить графически функцию распределения, найти М(Х), D(X), (X)
РЕШЕНИЕ
Найдем недостающую вероятность p2=1-0.1-0.6=0.3
Построим многоугольник распределения

Построим функцию распределения:

Построим график функции распределения:

Найдем математическое ожидание:
М(Х) = 00,1 + 10,3 + 20,6 = 1,5
Найдем дисперсию случайной величины D(Х)
D(X)= M(X2)-(M(X))2=020.1+120.3+220,5-1,52= 0.45
Найдем среднее квадратическое отклонение
(X)==0,671
ОТВЕТ: М(Х) =1,5 D(Х) =0,45 (X)=0,671

2. Пользуясь свойствами M(X) и D(X) вычислить М(3Y+2X-1) D(3Y+2X-1)
если
Х 3 4
р
0,3 0,7

Y 0 1 2
р
0,1
0,6

РЕШЕНИЕ
Вычислим числовые характеристики случайных величин
М(Х) = 30,3 + 40,7 = 3,7
D(X)= M(X2)-(M(X))2=320.3+420.7-3,72= 0,21
Числовые характеристики случайной величины Y вычислены ранее
М(Y) = 1,5 D(Y)= 0.45
Тогда
М(3Y+2X-1)=3M(Y)+2M(X)-1=31.5+23.7-1= 10,9
D(3Y+2X-1)=32D(Y)+22D(X)-0=90.45+40.21= 4,89
ОТВЕТ: М(3Y+2X-1)= 10,9 D(3Y+2X-1)= 4,89

3. Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется стандартной равна 0,9. Х – число стандартных деталей среди четырех проверяемых. Для этой случайной величины построить ряд распределения
РЕШЕНИЕ
Число стандартных деталей среди четырех проверяемых может быть 0,1,2,3 или 4
Воспользуемся формулой Бернулли:
Рn(k)= — вероятность наступления события k раз в n испытаниях, р =0,9– вероятность наступления события в одном испытании, q=1-р=0,1 – вероятность ненаступления события
Найдем вероятность события Р4(0) – ни одной стандартной детали:
Р4(0)= 0,0001
Вероятность того, что из четырех деталей будет только одна стандартаная:
Р4(1)= 0,0036
Аналогично:
Р4(2)= 0,0486
Р4(3)= 0,2916
Р4(4)= 0,6561
Получаем закон распределения
Х 0 1 2 3 4
p
0,0001 0,0036 0,0486 0,2916 0,6561

4. Непрерывная СВ задана дифференциальной функцией

Найти: коэффициент С, интегральную функцию распределения, построить F(X) и f(X); М(х), D(x), (x), P(0<x<1)
РЕШЕНИЕ
1)Для нахождения коэффициента С воспользуемся следующим свойством:
2) Найдем интегральную функцию распределения, воспользовавшись формулой: F(x) =

Построим графики:

Найдем математическое ожидание:

Найдем дисперсию случайной величины:
D(x) = M(x2) — M2(x)

D(x)=
(x)==0,671
Определить вероятность того, что P(0<x<1):
P(0<x<1)=F(1)-F(0)= =0,259
ОТВЕТ: M(x)=1,5, D(X)=0,45 (x)=0,671 P(1<x<2)=0,259

1. Построить интервальный вариационный ряд. Гистограмму
2. Перейти от интервального вариационного ряда к дискретному, заменив частичные интервалы их серединами. Построить полигон, кумуляту частот, частостей
3. Найти эмпирическую функцию распределения.
4. Найти числовые характеристики выборки: моду, медиану, выборочное среднее, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс.
5. Сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины.
Имеются данные об объеме продаж бытовой техники в неделю (тыс. руб.)
78 90 90 86 81 77 83 85 92 86
73 75 83 73 73 84 85 83 68 76
87 85 87 89 83 76 77 84 83 89
87 76 82 78 89 74 89 82 87 71
85 84 81 83 88 81 82 83 80 79
86 74 91 78 93 84 81 76 74 81
93 83 92 91 83 79 84 90 80 84
81 78 76 90 88 86 85 86 74 82
84 84 96 79 81 76 83 88 81 78
89 78 92 75 80 92 82 86 84 83
1. Определим число интервалов (формула Стерджесса):
групп
Длина группового интервала:

Разобьем вариационный ряд на частичные интервалы и подсчитаем количество значений хi в каждом интервале.
Получаем ряд, представленный в таблице 1
Таблица 1- Интервальное распределение
Интервал 68-71,5 71,5-75 75-78,5 78,5-82 82-85,5 85,5-89 89-92,5 92,5-96
Частоты интервала ni 2 9 14 19 25 18 10 3
ni/h 0,571 2,571 4,000 5,429 7,143 5,143 2,857 0,857
Построим гистограмму частот. Она состоит из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны ni/h

Рисунок 1- Гистограмма распределения

2. Перейдем от интервального вариационного ряда к дискретному, заменив частичные интервалы их серединами.
Середина интервала 69,75 73,25 76,75 80,25 83,75 87,25 90,75 94,25
Частоты ni 2 9 14 19 25 18 10 3
Частость w=ni/100 0,02 0,09 0,14 0,19 0,25 0,18 0,1 0,03
Накопленные частоты 2 11 25 44 69 87 97 100
Накопленные частости
0,02 0,11 0,25 0,44 0,69 0,87 0,97 1

Построить полигон

Построим кумуляту частот

Построим кумуляту частостей

3. Найдем эмпирическую функцию распределения.

4. Найдем числовые характеристики выборки:
Составим расчетную таблицу
Таблица 2 – Расчет характеристик распределения
№ п/п
xi ni
xini
(xi-)2ni (xi-)3ni
(xi-)4ni
1 69,75 2 139,5 326,40 -4169,78 53268,89
2 73,25 9 659,25 774,23 -7180,99 66603,67
3 76,75 14 1074,5 466,91 -2696,40 15571,70
4 80,25 19 1524,75 98,34 -223,72 508,95
5 83,75 25 2093,75 37,52 45,96 56,30
6 87,25 18 1570,5 401,86 1898,79 8971,80
7 90,75 10 907,5 676,51 5564,26 45766,07
8 69,75 2 282,75 412,43 4835,71 56698,64
ИТОГО
100 8252,5 3194,19 -1926,16 247446,03

Выборочная средняя:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение: 5,652
Коэффициент вариации v==0.07
Коэффициент асимметрии:
=-0,107
Коэффициент эксцесса:
-0,575
Таким образом, распределение имеет левостороннюю асимметрию и является плосковершинным (по сравнению с нормальным)
Мода:
— нижняя граница модального интервала
hMo — длина модального интервала
nMo – частота модального интервала
nMo+1 – частота интервала следующего за модальным
Модальный интервал – интервал с наибольшей частотой (82-85,5)
хМо=82; hMo =3,5; nMo =25; nMo-1 =19; nMo+1 =18;

Медиана:
хМе – нижняя граница медианного интервала;
hMe – длина медианного интервала
— накопленная частота интервала предшествующая медианному.
— частота медианного интервала
Медианный интервал – первый интервал накопленная частота которого превышает половину от общей суммы частот (82-85,5).
хМе=82; hMе =3,5; nMе =25; =44

5. По виду гистограммы можно предположить нормальный закон распределения