Меню Закрыть

В группе из 10 студентов 3 отличника По списку выбраны наудачу 4 студента

8. В группе из 10 студентов 3 отличника. По списку выбраны наудачу 4 студента. Найти вероятность того, что среди них:
а) три отличника;
б) хотя бы один отличник;
в) отличников и не отличников поровну.

Решение:

а) Пусть событие А состоит в том, что среди выбранных наудачу студентов будет ровно 3 отличника.
Число всевозможных исходов равно количеству комбинаций из 10 студентов по 4 человека, т.к. порядок значения не имеет, то
n=C104.
Благоприятствующий исход состоит в выборе ровно 3 отличников из 3 и совместном выборе 1 не отличника из 7. По правилу произведения:
m=C33∙C71.
Следовательно, вероятность того, что среди выбранных наудачу студентов будет ровно три отличника по определению классической вероятности:
PA=mn=C33∙C71C104=3!3!∙0!∙7!1!∙6!10!4!∙6!=1∙77∙8∙9∙102∙3∙4=1∙7∙2∙3∙47∙8∙9∙10=13∙10=130≈3,3%;
б) Пусть событие В состоит в том, что среди выбранных наудачу студентов будет хотя бы один отличник.
Благоприятствующий исход состоит в выборе хотя бы одного отличника. Событие В противоположно событию В = (не выбрано ни одного отличника, т.е. выбраны только не отличники),
PA=1-P В.
Благоприятствующий исход, соответствующий событию А состоит в выборе ровно 4 не отличников из 7:
m=C74.
Тогда искомая вероятность выбора хотя бы одного отличника:
PA=1-C74C104=1-7!4!∙3!10!4!∙6!=4∙5∙6∙77∙8∙9∙10=16≈16,7%.
в) Пусть событие С состоит в том, что среди выбранных наудачу студентов будет два отличника и два не отличника.
Благоприятствующий исход, соответствующий этому событию:
m=C32∙C72.
Искомая вероятность:
PС=mn=C32∙C72C104=3!2!∙1!∙7!2!∙5!10!4!∙6!=310=30%.
Ответ: а) 3,3%, б) 16,7 %, в) 30%.

18. Рассчитать надёжность цепи.

Решение:

Разобьём цепь на четыре последовательно соединённых блока и вычислим надёжность каждого блока отдельно.
Надёжность первого блока равна p1.
Надёжность второго блока равна p2.
Третий блок пропускает электрический ток в трёх случаях: если исправен третий элемент и неисправен четвёртый; если неисправен третий элемент и исправен четвёртый; если исправны оба элемента.
Таким образом, надёжность этого блока может быть представлена суммой:
p31-p4+p41-p3+p3p4.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
p3+p4-p3p4.
Аналогично находим надёжность четвертого блока:
p5+p6-p5p6.
Теперь, зная надёжность четырёх последовательно соединенных блоков, вычислим надёжность цепи в целом. Схема пропускает ток, только если все четыре блока исправны, то есть надёжность схемы:
p1∙p2∙p3+p4-p3p4∙p5+p6-p5p6.
Ответ: p1∙p2∙p3+p4-p3p4∙p5+p6-p5p6.

28. Радиоаппаратура работает при нормальном напряжении в сети в 95% времени, а в 5% времени – при повышенном напряжении. Вероятность отказа радиоаппаратуры при нормальном напряжении равна 0,04, а при повышенном – 0,4.
а) какова полная вероятность отказа аппаратуры?
б) произошел отказ аппаратуры. Какова вероятность, что в этот момент напряжение в сети было повышенным:

Решение:
а) Пусть А – событие, заключающееся в том, произошёл отказ аппаратуры.
Рассмотрим две гипотезы:
Н1 –напряжение в сети было нормальным,
Н2 –напряжение в сети было повышенным.

Из условия задачи, что
РН1=0,95, РН2=0,05.
Условная вероятность того, что радиоаппаратура откажет при нормальном напряжении
РАН1=0,04,
Условная вероятность того, что радиоаппаратура откажет при повышенном напряжении
РАН2=0,4.
Полную вероятность отказа аппаратуры найдем по формуле полной вероятности:
РА=РН1∙РАН1+РН2∙РАН2=0,95∙0,04+0,05∙0,4=0,058=5,8%.
Вероятность того, что в момент отключения радиоаппаратуры напряжение в сети было повышенным, найдем по формуле Байеса:
РН2А=РН2∙РАН2РА=0,05∙0,40,058≈0,34=34%.
Ответ: а) 5,8%; б) 34%.

38. В результате проведения опыта событие А появляется с вероятностью 0,001. Опыт повторяется 2000 раз.
а) какова вероятность, что событие А появится от 2 до 4 раз?
б) какова вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз?

Решение:

По условию n = 2000, p=0,001. Так как события независимы, число n велико, а вероятность p мала, воспользуемся распределением Пуассона:
Pnk=λk∙e-λk!.
Где λ=n∙p=2000∙0,001=2.
а) Вероятность того, что событие А появится от 2 до 4 раз:
Р=P20002+P20003+P20004=22∙e-22!+23∙e-23!+24∙e-24!=42+82∙3+162∙3∙4∙1e2=4e2≈0,54=54%/.
б) событие «событие А появится хотя бы один раз», противоположно событию «событие А не появится ни разу», поэтому
Р1=1-P20000=1-20∙e-20!=1-e-2≈0,86=86%.
Ответ: а) 54%; б) 86%.

48. Дискретная случайная величина задана рядом распределения.

xi -1 x2
2
pi
0,2 0,1 p3

Известно, что MX = 1,3.
Найти: p3, x2, DX, P(X < 1,5), Fx. Начертить график Fx.

Решение:

Неизвестную вероятность p3 найдем из условия
pi=1,0,2+0,1+p3=1,p3=1-0,3=0,7.

Математическое ожидание можно найти по формуле:
MX=xipi=x1∙p1+x2∙p2+x3∙p3.
Так как MX известно из условия задачи, найдем значение x2:
x2=MX-x1∙p1-x3∙p3p2=1,3—1∙0,2-2∙0,70,1=1.

Найдем дисперсию по формуле:
DX=MX2-MX2=-12∙0,2+12∙0,1+22∙0,7-1,32=1,41.
Вероятность того, что дискретная случайная величина будет принимать значения в промежутке (–1; 1,5) при заданном математическом ожидании a=1,3 и среднем квадратическом отклонении
σ=DX=1,41=1,19,
найдем по формуле:
Pα<X<β=Фβ-aσ-Фα-aσ.
Подставив числовые значения, находим:
P-1<X<1,5=Ф1,5-1,31,19-Ф-1-1,31,19=Ф0,17-Ф-1,93=Ф0,17+Ф1,93,
по таблице значений функции Лапласа находим:
Ф0,17=0,0675, Ф1,93=0,4732.
Тогда искомая вероятность:
P-1<X<1,5=0,0675+0,4732≈0,54
Построим функцию распределения:
Fx=0, x≤-1,0,2, -1<x≤1,0,2+0,1=0,3, 1<x≤2,0,3+0,7=1, x>2.
Строим график функции распределения Fx:

5.8. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения Fx.
Fx=0;x≤1,ax-12;1<x≤3,1; x>3.
Найти: a, f(x), MX, DX, P2<X<4, Начертить графики f(x), Fx.

Решение:
Найдем функцию плотности распределения как производную от функции распределения:
fx=0;x≤1,ax-12′;1<x≤3,0; x>3.
Находим:
ax-12’=2ax-1,
тогда
fx=0;x≤1,2ax-1; 1<x≤3,0;x>3.
Найдем параметр a из условия нормировки:
-∞+∞fxdx=1,
получаем:
132ax-1dx=ax-1213=a3-12-a1-12=4a=1,
значит, a=14.
Тогда плотность распределения:
fx=0;x≤1,12x-1; 1<x≤3,0;x>3;
и функция распределения
Fx=0;x≤1,14x-12;1<x≤3,1; x>3.

Строим графики:

Найдем математическое ожидание по формуле:
MX=-∞+∞fx∙xdx=1312x-1xdx=1213×2-xdx=12∙x33-x2213=12333-322-133-122=12273-92-13+12=73.
Найдем дисперсию по формуле:
DX=-∞+∞fx∙x2dx-MX2=1312x-1x2dx-732=1213×3-x2dx-499=12∙x44-x3313-499=12344-333-144-133-499=12814-273-14+13-499=29.
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал:
P2<X<4=P2<X<3+P3<X<4=F3-F2+0=143-12-142-12+0=44-14=34.