Определение опорных реакций Согласно схеме решения задач статики определяем
№1
Определение опорных реакций
1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.ΣFx = 0: HB = 0ΣMA = 0: Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке A: – M1 + q1*1.5*(1 – 1.5/2) + P1*0.5 – P2*1.5 + RB*2 + M2 = 0ΣMB = 0: Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке B: – M1 + q1*1.5*(3 – 1.5/2) – RA*2 – P1*1.5 + P2*0.5 + M2 = 02. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные : HB = 0 (кН)3. Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке BRB = ( M1 – q1*1.5*(1 – 1.5/2) – P1*0.5 + P2*1.5 – M2) / 2 = ( 2 – 3*1.5*(1 – 1.5/2) – 7*0.5 + 4*1.5 – 6) / 2 = -1.31 (кН)4. Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке ARA = ( – M1 + q1*1.5*(3 – 1.5/2) – P1*1.5 + P2*0.5 + M2) / 2 = ( – 2 + 3*1.5*(3 – 1.5/2) – 7*1.5 + 4*0.5 + 6) / 2 = 2.81 (кН)5. Выполним проверку ΣFy = 0: – q1*1.5 + RA + P1 – P2 – RB = – 3*1.5 + 2.81 + 7 – 4 – 1.31 = 0
Построение эпюр
Рассмотрим 1-й участок 0 ≤ x1 < 1
Поперечная сила Q:Q(x1) = – q1*(x1 – 0)Значения Q на краях участка:Q1(0) = – 3*(0 – 0) = 0Q1(1) = – 3*(1 – 0) = -3Изгибающий момент M:M(x1) = M1 – q1*(x1)2/2Значения M на краях участка:M1(0) = 2 – 3*(0 – 0)2/2 = 2M1(1) = 2 – 3*(1 – 0)2/2 = 0.50
Рассмотрим 2-й участок 1 ≤ x2 < 1.5
Поперечная сила Q:Q(x2) = – q1*(x2 – 0) + RAЗначения Q на краях участка:Q2(1) = – 3*(1 – 0) + 2.81 = -0.19Q2(1.50) = – 3*(1.5 – 0) + 2.81 = -1.69Изгибающий момент M:M(x2) = M1 – q1*(x2)2/2 + RA*(x2 – 1)Значения M на краях участка:M2(1) = 2 – 3*(1 – 0)2/2 + 2.81*(1 – 1) = 0.50M2(1.50) = 2 – 3*(1.50 – 0)2/2 + 2.81*(1.50 – 1) = 0.03
Рассмотрим 3-й участок 1.5 ≤ x3 < 2.5
Поперечная сила Q:Q(x3) = – q1*(1.5 – 0) + RA + P1Значения Q на краях участка:Q3(1.50) = – 3*(1.5 – 0) + 2.81 + 7 = 5.31Q3(2.50) = – 3*(1.5 – 0) + 2.81 + 7 = 5.31Изгибающий момент M:M(x3) = M1 – q1*(1.5 – 0)*[(x3 – 1.50) + (1.50 – 0)/2] + RA*(x3 – 1) + P1*(x3 – 1.5)Значения M на краях участка:M3(1.50) = 2 – 3*1.5*(0 + 0.75) + 2.81*(1.50 – 1) + 7*(1.50 – 1.5) = 0.03M3(2.50) = 2 – 3*1.5*(1 + 0.75) + 2.81*(2.50 – 1) + 7*(2.50 – 1.5) = 5.34
Рассмотрим 4-й участок 2.5 ≤ x4 < 3
Поперечная сила Q:Q(x4) = – q1*(1.5 – 0) + RA + P1 – P2Значения Q на краях участка:Q4(2.50) = – 3*(1.5 – 0) + 2.81 + 7 – 4 = 1.31Q4(3) = – 3*(1.5 – 0) + 2.81 + 7 – 4 = 1.31Изгибающий момент M:M(x4) = M1 – q1*(1.5 – 0)*[(x4 – 1.50) + (1.50 – 0)/2] + RA*(x4 – 1) + P1*(x4 – 1.5) – P2*(x4 – 2.5)Значения M на краях участка:M4(2.50) = 2 – 3*1.5*(1 + 0.75) + 2.81*(2.50 – 1) + 7*(2.50 – 1.5) – 4*(2.50 – 2.5) = 5.34M4(3) = 2 – 3*1.5*(1.50 + 0.75) + 2.81*(3 – 1) + 7*(3 – 1.5) – 4*(3 – 2.5) = 6
№2
Определение опорных реакций
1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.ΣFx = 0: HA = 0ΣMA = 0: Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке A: – P1*1 + M1 + RA*3.5 = 0ΣMB = 0: Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке B: – RA*3.5 + P1*2.5 + M1 = 02. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные : HA = 0 (кН)3. Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке BRB = ( P1*1 – M1) / 3.5 = ( 25*1 – 10) / 3.5 = 4.29 (кН)4. Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке ARA = ( P1*2.5 + M1) / 3.5 = ( 25*2.5 + 10) / 3.5 = 20.71 (кН)5. Выполним проверку ΣFy = 0: RA – P1 + RA = 20.71 – 25 + 20.71 = 16
Построение эпюр
Рассмотрим 1-й участок 0 ≤ x1 < 1
Поперечная сила Q:Q(x1) = RAЗначения Q на краях участка:Q1(0) = 20.71 = 20.71Q1(1) = 20.71 = 20.71Изгибающий момент M:M(x1) = RA*(x1)Значения M на краях участка:M1(0) = 20.71*(0) = 0M1(1) = 20.71*(1) = 20.71
Рассмотрим 2-й участок 1 ≤ x2 < 3
Поперечная сила Q:Q(x2) = RA – P1Значения Q на краях участка:Q2(1) = 20.71 – 25 = -4.29Q2(3) = 20.71 – 25 = -4.29Изгибающий момент M:M(x2) = RA*(x2) – P1*(x2 – 1)Значения M на краях участка:M2(1) = 20.71*(1) – 25*(1 – 1) = 20.71M2(3) = 20.71*(3) – 25*(3 – 1) = 12.14
Рассмотрим 3-й участок 3 ≤ x3 < 3.5
Поперечная сила Q:Q(x3) = RA – P1Значения Q на краях участка:Q3(3) = 20.71 – 25 = -4.29Q3(3.50) = 20.71 – 25 = -4.29Изгибающий момент M:M(x3) = RA*(x3) – P1*(x3 – 1) – M1Значения M на краях участка:M3(3) = 20.71*(3) – 25*(3 – 1) – 10 = 2.14M3(3.50) = 20.71*(3.50) – 25*(3.50 – 1) – 10 = 0
№3
Определение опорных реакций
1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.ΣFx = 0: HA = 0ΣMA = 0: Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A: – P1*0.4 – q1*0.6*(0.6/2) + P2*0.6 + RB*1.6 = 0ΣMB = 0: Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B: – P1*2 – RA*1.6 + q1*0.6*(1.6 – 0.6/2) – P2*1 = 02. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные : HA = 0 (кН)3. Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке BRB = ( P1*0.4 + q1*0.6*(0.6/2) – P2*0.6) / 1.6 = ( 20*0.4 + 5*0.6*(0.6/2) – 15*0.6) / 1.6 = -0.06 (кН)4. Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке ARA = ( – P1*2 + q1*0.6*(1.6 – 0.6/2) – P2*1) / 1.6 = ( – 20*2 + 5*0.6*(1.6 – 0.6/2) – 15*1) / 1.6 = -31.94 (кН)5. Выполним проверку ΣFy = 0: P1 – RA – q1*0.6 + P2 – RB = 20 – 31.94 – 5*0.6 + 15 – 0.06 = 0
Построение эпюр
Рассмотрим 1-й участок 0 ≤ x1 < 0.4
Поперечная сила Q:Q(x1) = P1Значения Q на краях участка:Q1(0) = 20 = 20Q1(0.40) = 20 = 20Изгибающий момент M:M(x1) = P1*(x1)Значения M на краях участка:M1(0) = 20*(0) = 0M1(0.40) = 20*(0.40) = 8
Рассмотрим 2-й участок 0.4 ≤ x2 < 1
Поперечная сила Q:Q(x2) = P1 – RA – q1*(x2 – 0.4)Значения Q на краях участка:Q2(0.40) = 20 – 31.94 – 5*(0.4 – 0.4) = -11.94Q2(1) = 20 – 31.94 – 5*(1 – 0.4) = -14.94Изгибающий момент M:M(x2) = P1*(x2) – RA*(x2 – 0.4) – q1*(x2 – 0.4)2/2Значения M на краях участка:M2(0.40) = 20*(0.40) – 31.94*(0.40 – 0.4) – 5*(0.40 – 0.4)2/2 = 8M2(1) = 20*(1) – 31.94*(1 – 0.4) – 5*(1 – 0.4)2/2 = -0.06
Рассмотрим 3-й участок 1 ≤ x3 < 2
Поперечная сила Q:Q(x3) = P1 – RA – q1*(1 – 0.4) + P2Значения Q на краях участка:Q3(1) = 20 – 31.94 – 5*(1 – 0.4) + 15 = 0.06Q3(2) = 20 – 31.94 – 5*(1 – 0.4) + 15 = 0.06Изгибающий момент M:M(x3) = P1*(x3) – RA*(x3 – 0.4) – q1*(1 – 0.4)*[(x3 – 1) + (1 – 0.4)/2] + P2*(x3 – 1)Значения M на краях участка:M3(1) = 20*(1) – 31.94*(1 – 0.4) – 5*0.6*(0 + 0.30) + 15*(1 – 1) = -0.06M3(2) = 20*(2) – 31.94*(2 – 0.4) – 5*0.6*(1 + 0.30) + 15*(2 – 1) = 0
№4
Определение опорных реакций
1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.2. На балку наложена связь в точке A (слева) типа жесткая заделка, поэтому освобождаем балку, заменив действие связи реакциями (HA, RA, MA).3. Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки: ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMA = 0.ΣFx = 0: HA = 0ΣFy = 0: RA + P1 – q1*2.5 + P2 = 0;ΣMA = 0: MA + 0.5*P1 – q1*2.5*(0.5+2.5/2) + 3*P2 – M1 = 0;4. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные : HA = 0 (кН) RA = – P1 + q1*2.5 – P2 = – 15 + 10*2.5 – 20 = -10.00 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону. MA = – 0.5*P1 + q1*2.5*(0.5+2.5/2) – 3*P2 + M1 = – 0.5*15 + 10*2.5*(0.5 + 2.5/2) – 3*20 + 8 = -15.75 (кН*м), так как момент отрицателен, на расчетной схеме направим его в противоположную сторону.5. Сделаем проверку, составив дополнительное моментное уравнение отоносительно свободного конца балки: 3*RA – MA – 2.5*P1 + q1*2.5*(2.5/2) – 0*P2 – M1 = 3*10.00 – 15.75 – 2.5*15 + 10*2.5*(2.5/2) – 0*20 – 8.00 = 0
Построение эпюр
Рассмотрим 1-й участок 0 ≤ x1 < 0.5
Поперечная сила Q:Q(x1) = – RAЗначения Q на краях участка:Q1(0) = – 10 = -10Q1(0.50) = – 10 = -10Изгибающий момент M:M(x1) = – RA*(x1) + MAЗначения M на краях участка:M1(0) = – 10*(0) + 15.75 = 15.75M1(0.50) = – 10*(0.50) + 15.75 = 10.75
Рассмотрим 2-й участок 0.5 ≤ x2 < 3
Поперечная сила Q:Q(x2) = – RA + P1 – q1*(x2 – 0.5)Значения Q на краях участка:Q2(0.50) = – 10 + 15 – 10*(0.5 – 0.5) = 5Q2(3) = – 10 + 15 – 10*(3 – 0.5) = -20На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 0.50Изгибающий момент M:M(x2) = – RA*(x2) + MA + P1*(x2 – 0.5) – q1*(x2 – 0.5)2/2Значения M на краях участка:M2(0.50) = – 10*(0.50) + 15.75 + 15*(0.50 – 0.5) – 10*(0.50 – 0.5)2/2 = 10.75M2(3) = – 10*(3) + 15.75 + 15*(3 – 0.5) – 10*(3 – 0.5)2/2 = -8Локальный экстремум в точке x = 0.50:M2(1) = – 10*(1) + 15.75 + 15*(1 – 0.5) – 10*(1 – 0.5)2/2 = 12
Аналитические зависимости Q и М
На участке балки АВ, Q<0 момент убывает, так же Q на протяжении всего участка постоянна, следовательно момент изменяется линейно.
На участке балки ВЕ, Q изменяется по линейной траектории, плавно пересекая 0. Момент при этом имел вид параболы, с ветвями направленными вниз и экстремумом, в точке, когда Q пересекает 0. В точках В и D из-за влияния сосредоточенных сил, был скачок Q. В точке Е из-за влияния активного момента, был скачок М.
1 Рассчитать экономию цемента расходуемого на приготовление бетона М400 с ОК=6 см на рядовых заполнителях при удлинении марочного возраста бетона с
1 Рассчитать экономию цемента, расходуемого на приготовление бетона М400 с ОК=6 см на рядовых заполнителях при удлинении марочного возраста бетона с 28 до 90 и 180 суток.
Дано:
ОК=6 см
τ=28 сут
τ1=90 сут
τ2=180 сут
Найти:
Решение:
Определим расход цемента, воды и активность цемента для бетона М 400
Ц1=γоб.б.см1+X+Y+В/Ц=25001+2,1+4,3+0,5=316,4 кг
В1=Ц1∙В1Ц1=316,4 ∙0,5=158,2 л
Rц=Rб0,6Ц1В1-0,5=4000,62-0,5=444 кГ/см2
Марочная прочность бетона после 90 суток составит:
R90=400lg28lg90=4001,447161,95424=296 кГ/см2
Для нового бетона водоцементное соотношение составит:
В1Ц2=0,6RцR90+0,3Rц=0,6∙444296+0,3∙444=0,62
Тогда
Ц2=В1÷В1Ц2=158,2÷0,62=255,2 кг
Экономия цемента при этом составит
∆Ц=Ц1-Ц2=316,4-255,2=61,2 кг
Марочная прочность бетона после 180 суток составит:
R180=400lg28lg180=4001,447162,25527=257 кГ/см2
Для нового бетона водоцементное соотношение составит:
В1Ц2=0,6RцR180+0,3Rц=0,6∙444257+0,3∙444=0,68
Тогда
Ц2=В1÷В1Ц2=158,2÷0,68=232,6 кг
Экономия цемента при этом составит
∆Ц=Ц1-Ц2=316,4-232,6=83,8 кг
2. Какой пористостью в 28 и 180 суток будет обладать цементный камень, полученный из теста нормальной густоты на основе портландцемента (НГ-26,1%, ρц.п=3,1 г/см3) и пуццоланового портландцемента (НГ-36,5%, ρц.пуц=2,79 г/см3). При полной гидратации портландцемент связывает 19,5%, а пуццолановый – 17,1 % воды по массе. Степень гидратации в 28 и 180 суток портландцемента соответственно 43 и 60 %, пуццоланового – 40 и 57 %.
Дано:
ρц.п=3,1 г/см3
ρц.пуц=2,79 г/см3
Найти:
Решение:
Расчет ведем на 1 кг цемента. Объем цементного теста равен сумме абсолютных объемов цемента и воды затворения:
Vц.т.=Цρц+В/Ц∙Цρв
Тогда для портландцемента
ВЦ=0,261
Vц.т.п=10003,1+0,261∙10001=584 см3
Для пуццоланового портландцемента
Vц.т.пуц=10002,79+0,365∙10001=723 см3
Пористость в цементном камне (капиллярная пористость) получается за счет испарения не вступившей в химическое взаимодействие с цементным камнем воды, объем пор будет равен объему этой воды:
Vпор=В/Ц∙Цρв-В/Ц∙Цρв∙X
где
X-количество химически связанной воды после затвердевания
Пористость цементного камня
П=VпорVц.т.
Тогда для 28-дневного портландцемента
X=19,5∙0,43=8,4%
Vпор=0,261∙10001-0,261∙10001∙0,08=240 см3
П=240584∙100=41,1%
Для 180-суточного портландцемента
X=19,5∙0,60=11,8 %
Vпор=0,261∙10001-0,261∙10001∙0,118=230 см3
П=230584∙100=39,4%
Тогда для 28-дневного пуццоланового портландцемента
X=17,1∙0,40=6,8%
Vпор=0,365∙10001-0,365∙10001∙0,068=340 см3
П=340723∙100=47,0%
Для 180-суточного пуццоланового портландцемента
X=17,1∙0,57=9,8 %
Vпор=0,365∙10001-0,365∙10001∙0,098=329 см3
П=329723∙100=45,5%
3. Определить марку керамзита, если известно, что этот керамзит характеризуется межзерновой пустотностью 47,8 %, пористостью зерен – 59,7 % и истинной плотностью -2,61 г/см3
Дано:
П=59,7 %
Vпуст=47,8 %
ρ=2,61 г/см3
Найти:
Решение:
Марка керамзита определяется по ГОСТ 9757-90 по величине насыпной плотности материала
Пустотность – это объем пустот и открытых пор в объеме сыпучего материала
Vпуст=1-ρнρз
откуда насыпная плотность равна
ρн=1-Vпустρз
плотность зерен ρз найдем из определения пористости
П=1-ρзρ
откуда
ρз=1-Пρ=1-0,5972,61=1,05 г/см3
Тогда
ρн=1-0,4781,05=0,55гсм3=550кгм3
Тогда согласно табл. 3 ГОСТ 9757-90 марка керамзита – 600.
4. Рассчитать состав асфальтобетонной смеси, предназначенной для устройства покрытия повышенной шероховатости. Исходные материалы: дорожный битум, известняковый минеральный порошок, гранитный щебень со средней насыпной плотностью в уплотненном состоянии 1680кгм3 и истинной плотностью 2,69 гсм3; кварцевый песок со средней насыпной плотностью в уплотненном состоянии 1,72 гсм3. Экспериментально установленное соотношение битум:порошок составляет 0,88. Плотность асфальтового раствора принять равной 2,31 гсм3. При расчете учесть, что для покрытий с повышенной шероховатостью необходимо, чтобы мезщебеносное пространство было заполнено асфальтовым раствором без раздвижки зерен щебня.
Дано:
ρк=2,68 г/см3
ρг=2,69г/см3
ρМП=2,74 г/см3
Найти:
Решение:
Шероховатость поверхности покрытий из асфальтобетонов из смесей типа А создается за счет высокого содержания щебня марки по дробимости не ниже 1000 из труднополируемых горных пород, из щебеночных асфальтобетонов из смесей типов Б, Б, Б X , В и В X , а также песчаных типов Г и Г X – за счет применения дробленого песка или отсевов дробления из тех же горных пород.
Расчет количества щебня
В соответствии с ГОСТ 9128-84 содержание частиц щебня крупнее 5 мм в асфальтобетонной смеси типа Б составляет 35-50%. Для данного случая принимаем содержание щебня Щ=50 %. Поскольку зерен крупнее 5 мм в щебне содержится 95%, то щебня потребуется
Щ=5095100≈53%
Расчет количества минерального порошка
В соответствии с ГОСТ 9128-84 содержание частиц мельче 0,071 мм в минеральной части асфальтобетонной смеси типа Б должно быть в пределах 6-12%. Для расчета примем содержание частиц равным 7%. Если количество частиц этого размера составляет 74%, то содержание минерального порошка в смеси
МП=774100≈9%
Но, так как в песке и в материале из отсевов дробления гранита содержится некоторое количество частиц мельче 0,071 мм, то примем значение содержания минерального порошка 8%.
Расчет количества песка
Количество песка в смеси составит
П=100-Щ+МП=100-52-8=40%
Так как помимо песка имеется еще и материал из отсевов дробления гранита, то определим количество каждого из них в отдельности.
Соотношение между кварцевым песком Пк и материалом из отсева дробления гранита можно установить по содержанию в них зерен мельче 1,25 мм, которых согласно ГОСТ 9128-84 в асфальтобетонной смеси типа Б должно быть 28-39%. Примем 30% из которых 8% приходится на долю минерального порошка. Тогда на долю песка остается 30-8=22% зерен мельче 1,25 мм. Учитывая, что массовая доля таких зерен в кварцевом песке – 73%, а в материале из отсевов дробления гранита – 49%, то массовая доля песка в минеральной части асфальтобетонной смеси равна:
73Пк100+40-Пк49100=22%
Пк=2,40,24=10%
Тогда количество материала из отсева составит 40-10=30%
Щебень, песок, материал их отсевов дробления гранита и минеральный порошок смешивают с 6% битума. Такое количество битума является средним значением из рекомендуемых в прил. 1 ГОСТ 9128-84 для всех дорожно-климатических зон.
Зная истинную плотность всех материалов и выбрав по ГОСТ 9128-84 остаточную пористость асфальтобетона Vпор=4 % рассчитаем количество битума
истинная плотность минеральной части асфальтобетона
ρ0=100522,69+102,68+302,69+82,74=2,69 г/см3
средняя плотность минеральной части асфальтобетона
ρср0=2,31∙100100+6=2,18г/см3
Vпор0=1-2,182,69100=18,9 %
Б=18,9-41002,18=6,8%
