Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. ∑a = 181 + 155 + 126 = 462

3 4 Запасы
1 84 71 84 78 181
2 13 89 52 94 155
3 78 45 68 20 126
Потребности
146 156 126 70

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 181 + 155 + 126 = 462
∑b = 146 + 156 + 126 + 70 = 498
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 36 (498—462). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

1 2 3 4 Запасы
1 84 71 84 78 181
2 13 89 52 94 155
3 78 45 68 20 126
4 0 0 0 0 36
Потребности
146 156 126 70

Этап I. Поиск первого опорного плана.
1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.
План начинается заполняться с верхнего левого угла.
Искомый элемент равен 84
Для этого элемента запасы равны 181, потребности 146. Поскольку минимальным является 146, то вычитаем его.
x11 = min(181,146) = 146.

84 71 84 78 181 – 146 = 35
x 89 52 94 155
x 45 68 20 126
x 0 0 0 36
146 – 146 = 0 156 126 70 0

Искомый элемент равен 71
Для этого элемента запасы равны 35, потребности 156. Поскольку минимальным является 35, то вычитаем его.
x12 = min(35,156) = 35.

84 71 x x 35 – 35 = 0
x 89 52 94 155
x 45 68 20 126
x 0 0 0 36
0 156 – 35 = 121 126 70 0

Искомый элемент равен 89
Для этого элемента запасы равны 155, потребности 121. Поскольку минимальным является 121, то вычитаем его.
x22 = min(155,121) = 121.

84 71 x x 0
x 89 52 94 155 – 121 = 34
x x 68 20 126
x x 0 0 36
0 121 – 121 = 0 126 70 0

Искомый элемент равен 52
Для этого элемента запасы равны 34, потребности 126. Поскольку минимальным является 34, то вычитаем его.
x23 = min(34,126) = 34.

84 71 x x 0
x 89 52 x 34 – 34 = 0
x x 68 20 126
x x 0 0 36
0 0 126 – 34 = 92 70 0

Искомый элемент равен 68
Для этого элемента запасы равны 126, потребности 92. Поскольку минимальным является 92, то вычитаем его.
x33 = min(126,92) = 92.

84 71 x x 0
x 89 52 x 0
x x 68 20 126 – 92 = 34
x x x 0 36
0 0 92 – 92 = 0 70 0

Искомый элемент равен 20
Для этого элемента запасы равны 34, потребности 70. Поскольку минимальным является 34, то вычитаем его.
x34 = min(34,70) = 34.

84 71 x x 0
x 89 52 x 0
x x 68 20 34 – 34 = 0
x x x 0 36
0 0 0 70 – 34 = 36 0

Искомый элемент равен 0
Для этого элемента запасы равны 36, потребности 36. Поскольку минимальным является 36, то вычитаем его.
x44 = min(36,36) = 36.

84 71 x x 0
x 89 52 x 0
x x 68 20 0
x x x 0 36 – 36 = 0
0 0 0 36 – 36 = 0 0

1 2 3 4 Запасы
1 84[146] 71[35] 84 78 181
2 13 89[121] 52[34] 94 155
3 78 45 68[92] 20[34] 126
4 0 0 0 0[36] 36
Потребности
146 156 126 70
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n – 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 84*146 + 71*35 + 89*121 + 52*34 + 68*92 + 20*34 + 0*36 = 34222
Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 84; 0 + v1 = 84; v1 = 84
u1 + v2 = 71; 0 + v2 = 71; v2 = 71
u2 + v2 = 89; 71 + u2 = 89; u2 = 18
u2 + v3 = 52; 18 + v3 = 52; v3 = 34
u3 + v3 = 68; 34 + u3 = 68; u3 = 34
u3 + v4 = 20; 34 + v4 = 20; v4 = -14
u4 + v4 = 0; -14 + u4 = 0; u4 = 14

v1=84 v2=71 v3=34 v4=-14
u1=0 84[146] 71[35] 84 78
u2=18 13 89[121] 52[34] 94
u3=34 78 45 68[92] 20[34] u4=14 0 0 0 0[36]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(1;3): 0 + 34 < 84; ∆13 = 0 + 34 – 84 = -50
(1;4): 0 + -14 < 78; ∆14 = 0 + -14 – 78 = -92
(2;4): 18 + -14 < 94; ∆24 = 18 + -14 – 94 = -90
max(50,92,90) = -92
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 78
Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

1 2 3 4 Запасы
1 84[146] 71[35][-] 84 78[+] 181
2 13 89[121][+] 52[34][-] 94 155
3 78 45 68[92][+] 20[34][-] 126
4 0 0 0 0[36] 36
Потребности
146 156 126 70
Цикл приведен в таблице (1,4 → 1,2 → 2,2 → 2,3 → 3,3 → 3,4).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 4) = 34. Прибавляем 34 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 34 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 84[146] 71[1] 84 78[34] 181
2 13 89[155] 52[0] 94 155
3 78 45 68[126] 20 126
4 0 0 0 0[36] 36
Потребности
146 156 126 70
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 84; 0 + v1 = 84; v1 = 84
u1 + v2 = 71; 0 + v2 = 71; v2 = 71
u2 + v2 = 89; 71 + u2 = 89; u2 = 18
u2 + v3 = 52; 18 + v3 = 52; v3 = 34
u3 + v3 = 68; 34 + u3 = 68; u3 = 34
u1 + v4 = 78; 0 + v4 = 78; v4 = 78
u4 + v4 = 0; 78 + u4 = 0; u4 = -78

v1=84 v2=71 v3=34 v4=78
u1=0 84[146] 71[1] 84 78[34] u2=18 13 89[155] 52[0] 94
u3=34 78 45 68[126] 20
u4=-78 0 0 0 0[36] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(1;3): 0 + 34 < 84; ∆13 = 0 + 34 – 84 = -50
(4;2): -78 + 71 < 0; ∆42 = -78 + 71 – 0 = -7
(4;3): -78 + 34 < 0; ∆43 = -78 + 34 – 0 = -44
max(50,7,44) = -50
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 84
Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

1 2 3 4 Запасы
1 84[146] 71[1][-] 84[+] 78[34] 181
2 13 89[155][+] 52[0][-] 94 155
3 78 45 68[126] 20 126
4 0 0 0 0[36] 36
Потребности
146 156 126 70
Цикл приведен в таблице (1,3 → 1,2 → 2,2 → 2,3).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 0. Прибавляем 0 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 0 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 84[146] 71[1] 84[0] 78[34] 181
2 13 89[155] 52 94 155
3 78 45 68[126] 20 126
4 0 0 0 0[36] 36
Потребности
146 156 126 70
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 84; 0 + v1 = 84; v1 = 84
u1 + v2 = 71; 0 + v2 = 71; v2 = 71
u2 + v2 = 89; 71 + u2 = 89; u2 = 18
u1 + v3 = 84; 0 + v3 = 84; v3 = 84
u3 + v3 = 68; 84 + u3 = 68; u3 = -16
u1 + v4 = 78; 0 + v4 = 78; v4 = 78
u4 + v4 = 0; 78 + u4 = 0; u4 = -78

v1=84 v2=71 v3=84 v4=78
u1=0 84[146] 71[1] 84[0] 78[34] u2=18 13 89[155] 52 94
u3=-16 78 45 68[126] 20
u4=-78 0 0 0 0[36] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(3;1): -16 + 84 < 78; ∆31 = -16 + 84 – 78 = -10
(4;2): -78 + 71 < 0; ∆42 = -78 + 71 – 0 = -7
max(10,7) = -10
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 78
Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

1 2 3 4 Запасы
1 84[146][-] 71[1] 84[0][+] 78[34] 181
2 13 89[155] 52 94 155
3 78[+] 45 68[126][-] 20 126
4 0 0 0 0[36] 36
Потребности
146 156 126 70
Цикл приведен в таблице (3,1 → 3,3 → 1,3 → 1,1).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 126. Прибавляем 126 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 126 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 84[20] 71[1] 84[126] 78[34] 181
2 13 89[155] 52 94 155
3 78[126] 45 68 20 126
4 0 0 0 0[36] 36
Потребности
146 156 126 70
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 84; 0 + v1 = 84; v1 = 84
u3 + v1 = 78; 84 + u3 = 78; u3 = -6
u1 + v2 = 71; 0 + v2 = 71; v2 = 71
u2 + v2 = 89; 71 + u2 = 89; u2 = 18
u1 + v3 = 84; 0 + v3 = 84; v3 = 84
u1 + v4 = 78; 0 + v4 = 78; v4 = 78
u4 + v4 = 0; 78 + u4 = 0; u4 = -78

v1=84 v2=71 v3=84 v4=78
u1=0 84[20] 71[1] 84[126] 78[34] u2=18 13 89[155] 52 94
u3=-6 78[126] 45 68 20
u4=-78 0 0 0 0[36] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(4;2): -78 + 71 < 0; ∆42 = -78 + 71 – 0 = -7
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;2): 0
Для этого в перспективную клетку (4;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

1 2 3 4 Запасы
1 84[20] 71[1][-] 84[126] 78[34][+] 181
2 13 89[155] 52 94 155
3 78[126] 45 68 20 126
4 0 0[+] 0 0[36][-] 36
Потребности
146 156 126 70
Цикл приведен в таблице (4,2 → 4,4 → 1,4 → 1,2).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 1. Прибавляем 1 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 1 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 84[20] 71 84[126] 78[35] 181
2 13 89[155] 52 94 155
3 78[126] 45 68 20 126
4 0 0[1] 0 0[35] 36
Потребности
146 156 126 70
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 84; 0 + v1 = 84; v1 = 84
u3 + v1 = 78; 84 + u3 = 78; u3 = -6
u1 + v3 = 84; 0 + v3 = 84; v3 = 84
u1 + v4 = 78; 0 + v4 = 78; v4 = 78
u4 + v4 = 0; 78 + u4 = 0; u4 = -78
u4 + v2 = 0; -78 + v2 = 0; v2 = 78
u2 + v2 = 89; 78 + u2 = 89; u2 = 11

v1=84 v2=78 v3=84 v4=78
u1=0 84[20] 71 84[126] 78[35] u2=11 13 89[155] 52 94
u3=-6 78[126] 45 68 20
u4=-78 0 0[1] 0 0[35] Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(2;4): 11 + 78 < 94; ∆24 = 11 + 78 – 94 = -5
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;4): 94
Для этого в перспективную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

1 2 3 4 Запасы
1 84[20] 71 84[126] 78[35] 181
2 13 89[155][-] 52 94[+] 155
3 78[126] 45 68 20 126
4 0 0[1][+] 0 0[35][-] 36
Потребности
146 156 126 70
Цикл приведен в таблице (2,4 → 2,2 → 4,2 → 4,4).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (4, 4) = 35. Прибавляем 35 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 35 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 84[20] 71 84[126] 78[35] 181
2 13 89[120] 52 94[35] 155
3 78[126] 45 68 20 126
4 0 0[36] 0 0 36
Потребности
146 156 126 70
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 84; 0 + v1 = 84; v1 = 84
u3 + v1 = 78; 84 + u3 = 78; u3 = -6
u1 + v3 = 84; 0 + v3 = 84; v3 = 84
u1 + v4 = 78; 0 + v4 = 78; v4 = 78
u2 + v4 = 94; 78 + u2 = 94; u2 = 16
u2 + v2 = 89; 16 + v2 = 89; v2 = 73
u4 + v2 = 0; 73 + u4 = 0; u4 = -73

v1=84 v2=73 v3=84 v4=78
u1=0 84[20] 71 84[126] 78[35] u2=16 13 89[120] 52 94[35] u3=-6 78[126] 45 68 20
u4=-73 0 0[36] 0 0
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij.
Максимальная прибыль составит: F(x) = 84*20 + 84*126 + 78*35 + 89*120 + 94*35 + 78*126 + 0*36 = 38792
Анализ оптимального плана.
Из 1-й Фабрики необходимо груз направить 1-му Заказчику (20), в 3-й магазин (126), в 4-й магазин (35)
Из 2-й Фабрики необходимо груз направить 2-му Заказчику (120), в 4-й магазин (35)
Из 3-й Фабрики необходимо весь груз направить 1-му Заказчику.
Потребность 2-го Заказчика остается неудовлетворенной на 36 ед.
Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x42=0.

Jana2102 4.8

Имею большой опыт в написании работ по направлению Государственное и муниципальное управление, менеджмент, соц.работа.

Нанять автора