Найти линейную зависимость y=ax+b по методу наименьших квадратов.

10 15 21 29 36 51 68
Y 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 113,6 125,1
Найти линейную зависимость y=ax+b по методу наименьших квадратов.
Решение
Уравнение линейной регрессии имеет вид: y=ax+b
Оценку параметров a и b проведем при помощи метода наименьших квадратов.
Для этого составим систему нормальных уравнений:
a∙n+b∙x=ya∙x+b∙x2=x∙y
Составим вспомогательную таблицу с результатами промежуточных расчетов:

x y x2 x·y

0 66,7 0 0

4 71 16 284

10 76,3 100 763

15 80,6 225 1209

21 85,7 441 1799,7

29 92,9 841 2694,1

36 99,4 1296 3578,4

51 113,6 2601 5793,6

68 125,1 4624 8506,8
Σ 234 811,3 10144 24628,6
Подставим полученные данные в систему уравнений:
a∙9+b∙234=811,3a∙234+b∙10144=24628,6
Домножим уравнение (1) системы на (-26), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения:
a∙-234+b∙-6084=-21093,8a∙234+b∙10144=24628,6
Получим:
4060∙b=3534,8; b=0,871
Тогда коэффициент a будет равен:
a∙9+0,8706∙234=811,3; a=67,508
Таким образом, линейное уравнение зависимости будет иметь вид:
y=0,8706x+67,5078
Следует заметить, что рассчитанные эмпирические коэффициенты a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов, а само найденное линейное уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

5. По условию задачи 3 найти точечную оценку и доверительный интервал для среднего (среднего квадратического отклонения) роста студентов с вероятностью 0,95.
Решение
Среднее квадратическое отклонение заданной выборки рассчитаем по формуле:
s=(xi-x)2n
Среднее значение показателя определим так:
x=xin=503530=167,83
Составим таблицу с промежуточными расчетами:
x |x – xср| (x – xср)2 x |x – xср| (x – xср)2
153 14,83 220,03 169 1,17 1,36
154 13,83 191,36 170 2,17 4,69
155 12,83 164,69 171 3,17 10,03
155 12,83 164,69 171 3,17 10,03
156 11,83 140,03 172 4,17 17,36
157 10,83 117,36 173 5,17 26,69
158 9,83 96,69 173 5,17 26,69
159 8,83 78,03 175 7,17 51,36
160 7,83 61,36 175 7,17 51,36
163 4,83 23,36 178 10,17 103,36
164 3,83 14,69 179 11,17 124,69
165 2,83 8,03 179 11,17 124,69
166 1,83 3,36 182 14,17 200,69
167 0,83 0,69 183 15,17 230,03
167 0,83 0,69 186 18,17 330,03
Σ 5035 237 2598,17
Подставим полученные значения в формулу:
s=2598,1730=9,31
Найдем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с надежностью γ = 0,95 и объемом выборки n = 30.
По таблице функции Лапласа определяем параметр q(0.95;30) = 0,28
9,31∙(1-0,28)<s<9,31∙(1+0,28)
6,7<s<11.92
Таким образом, интервал (6,7; 11,92) покрывает параметр s с надежностью γ = 0,95.

6, Из большой партии по схеме случайной повторной выборки было проверено 150 изделий с целью определения процента влажности древесины, из которой изготовлены эти изделия, Полученные результаты представлены в таблице:
Процент влажности 11-13 13-15 15-17 17-19 19-21
Число изделий 8 42 51 37 12
На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения влажности древесины, используя критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
Решение
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона,
K=(ni-npi)2npi
pi – вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону,
Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа:
Fxi+1-xs-Fxi-xs
где x- средняя взвешенная;
s – средняя ошибка выборки,
x=x∙ff
s=(xi-x)2ff
Составим вспомогательную таблицу:
Группы Середина интервала, xi
Кол-во, fi
Накопленная частота xifi
(x – xср)2f
11 – 13 12 8 8 96 130,57
13 – 15 14 42 50 588 174,79
15 – 17 16 51 101 816 0,0816
17 – 19 18 37 138 666 142,14
19 – 21 20 12 150 240 188,18
Итого
150
2406 635,76
Подставим значения в вышеприведенные формулы:
x=2406150=16,04; s=635,76150=2,06
Теоретическая (ожидаемая) частота равна ni=npi, где n = 50,
Интервалы группировки Наблюдаемая частота ni
x1 = (xi – xср)/s x2 = (xi+1- xср)/s Ф(x1) Ф(x2) Вероятность
попадания в i-й интервал,
pi = Ф(x2) – Ф(x1) Ожидаемая частота, 150pi Слагаемые статистики Пирсона, Ki
11 – 13 8 -2,44 -1,47 -0,49 -0,43 0,0621 9,32 0,19
13 – 15 42 -1,47 -0,5 -0,43 -0,2 0,24 35,34 1,26
15 – 17 51 -0,5 0,46 -0,2 0,18 0,38 56,37 0,51
17 – 19 37 0,46 1,43 0,18 0,43 0,24 36,65 0,0034
19 – 21 12 1,43 2,4 0,43 0,49 0,0671 10,07 0,37

150

2,33
Определим границу критической области, Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы,
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞),
Ее границу Ккр=χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2,
Ккр=χ25-2-1;0,05=5,9915; Кнабл=2,33
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу, Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение,
Критерий Колмогорова основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами и частостями эмпирических и теоретических распределений:
λ=d∙N
где d –максимальная разность между накопленными частостями (f – f’),
N – число наблюдений.
Рассчитаем относительную частоту появления изделий с определенной влажностью:
ω=fif
Группы Кол-во, fi
Относительная частота
ω
Накопленная относительная частота
11 – 13 8 0,053 0,053
13 – 15 42 0,28 0,333
15 – 17 51 0,34 0,673
17 – 19 37 0,247 0,92
19 – 21 12 0,08 1
Итого 150 1
Выборочная средняя и среднее квадратическое отклонение были рассчитаны выше: x=2406150=16,04; s=635,76150=2,06
Найдем теоретическую функцию распределения:
Fai=Ф(ai-xs)
ai –концы интервалов.
Fa11=Ф11-16,042,06=Ф-2,45=0,5-0,4928=0,0072
Fa13=Ф13-16,042,06=Ф-1,48=0,5-0,4306=0,0694
Fa15=Ф15-16,042,06=Ф-0,5=0,5-0,1915=0,3085
Fa17=Ф17-16,042,06=Ф0,47=0,5+0,1808=0,6808
Fa19=Ф19-16,042,06=Ф1,44=0,5+0,4251=0,9251
Fa21=Ф21-16,042,06=Ф2,4=0,5+0,493≈1
Эмпирическая функция распределения представляет собой накопленные частоты:
Fnai=wi+wi-j
wi – частота попадания в интервал с максимальной границей ai;
wi-j – сумма частот предыдущих интервалов.
ai
Fai
Относительная частота
ω
Fnai
Fai-Fnai
11 0,0072 0,053 0 0,0072
13 0,0694 0,28 0,053 0,0164
15 0,3085 0,34 0,333 0,0245
17 0,6808
0,247 0,673 0,0078
19 0,9251
0,08 0,92 0,0051
21 1 1 1 0
Определим максимальное значение в последнем столбце. Оно равно 0,0245.
Вычислим λ-статистику Колмогорова:
λ=0,0245∙150=0,3
Для уровня доверия γ=0,95 по таблице критических значений критерия Колмогорова найдем: λкр0,95=1,36
Так как рассчитанное значение меньше критического, то гипотеза о нормальности распределения принимается.

Список литературы:

Битнер, Г.Г. Теория вероятностей: Учебное пособие / Г.Г. Битнер. – Рн/Д: Феникс, 2012. – 329 c.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. – М.: Юрайт, 2013. – 479 c.
Кочетков, Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. – М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. – 240 c.
Палий, И.А. Теория вероятностей: Учебное пособие / И.А. Палий. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 236 c.
Сидняев, Н.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для бакалавров / Н.И. Сидняев. – М.: Юрайт, ИД Юрайт, 2011. – 219 c.
Хуснутдинов, Р.Ш. Теория вероятностей: Учебник / Р.Ш. Хуснутдинов. – М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. – 175 c.

merch 4.6

Закончила ВУЗ по специальности маркетинг с красным дипломом, работаю мерчендайзером сети товаров повседневного спроса. В свободное время занимаюсь написанием учебных работ.

Нанять автора

Готовые работы на продажу

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Нажимая "Купить" вы будете перенаправлены на страницу карточки работы.

Гарантия на работу 10 дней.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов

660₽

• Курсовая работа
• Эконометрика
• Выполнил: EkaterinaKonstantinovna

Купить

Построение уравнений регрессий методом наименьших квадратов

200₽

• Решение задач
• Химия
• Выполнил: Oriral

Купить