Построить область определения следующих функций a) z=x-2y

1. Построить область определения следующих функций.
a) z=x-2y
Решение:
Так как функции y=x определена при x≥0,
то область определения функции z является множество Dz:
Dz=x,yx-2y≥0,x,y∈R – полуплоскость.

b) u=arccosx+2y
Решение:
Так как область определения функции y=arccosxявляется отрезок
-1≤x≤1,
то область определения функции z является множество Du:
Du=x,y-1≤x+2y≤1,x,y∈R

c) fx,y=lnx2+y2-16.
Решение:
Так как функции y=lnx определена при x>0,

то область определения функции z является множество Df:
Df=x,yx2+y2-16≥0,x,y∈R

2. Найти частные производные первого порядка.
a) z=4×5-3y4-2x2y-3y-4.
Решение:
Воспользуемся правилами дифференцирования:
u-v’=u’-v’,
Cu’=Cu’, C=const.
Частная производная первого порядка по x:
∂z∂x=∂∂x4x5-3y4-2x2y-3y-4=
=∂∂x4x5-∂∂x3y4-∂∂x2x2y-∂∂x3y-∂∂x4=
=20×4-0-2y∂∂xx2-0-0=20×4-4xy,
Частная производная первого порядка по y:
∂z∂y=∂∂y4x5-3y4-2x2y-3y-4=
=∂∂y4x5-∂∂y3y4-∂∂y2x2y-∂∂y3y-∂∂y4=
=0-12y3-2×2∂∂yy-3-0=-12y3-2×2-3,
таким образом,
∂z∂x=20×4-4xy,
∂z∂y=-12y3-2×2-3,
искомые частные производные первого порядка.
b)
fx,y=6x+3y2x-y
Решение:
Воспользуемся правилами дифференцирования:
uv’=u’v-v’uv2.
Частная производная первого порядка по x:
∂f∂x=∂∂x6x+3y2x-y=∂∂x6x+3y2x-y-∂∂x2x-y6x+3y2x-y2=
=∂∂x6x+∂∂x3y2x-y-∂∂x2x-∂∂xy6x+3y2x-y2=
=6+02x-y-2-06x+3y2x-y2=
=62x-y-26x+3y2x-y2=12x-6y-12x-6y2x-y2=-12y2x-y2 .
Частная производная первого порядка по y:
∂f∂y=∂∂y6x+3y2x-y=∂∂y6x+3y2x-y-∂∂y2x-y6x+3y2x-y2=
=∂∂y6x+∂∂y3y2x-y-∂∂y2x-∂∂yy6x+3y2x-y2=
=0+32x-y-0-16x+3y2x-y2=
=32x-y+6x+3y2x-y2=6x-3y+6x+3y2x-y2=-12x2x-y2 .
c)
gx,y=cosxy2.
Решение:
Частная производная первого порядка по x:
∂g∂x=∂∂xcosxy2=1y2∂∂xcosx=1y2-sinx=-sinxy2 .
Частная производная первого порядка по y:
∂g∂y=∂∂ycosxy2=cosx∂∂y1y2=cosx∂∂yy-2=cosx-2y-3==-2cosxy3 .
d)
hx,y=4x-3yarctg x.
Решение:
Воспользуемся правилами дифференцирования:
u∙v’=u’v+v’u.
Частная производная первого порядка по x:
∂h∂x=∂∂x4x-3yarctg x=∂∂x4x-3yarctg x+∂∂xarctg x4x-3y=
=∂∂x4x-∂∂x3yarctg x+∂∂xarctg x4x-3y=
=4-0arctg x+11+x24x-3y=41+x2arctg x+4x-3y1+x2.
Частная производная первого порядка по y:
∂h∂y=∂∂y4x-3yarctg x=arctg x∂∂y4x-3y=
=arctg x∂∂y4x-∂∂y3y=0-3arctg x=-3arctg x.

e)
Fx,y=sin2x-5y2.
Решение:
Воспользуемся правилами дифференцирования сложной функции:
f(ux)’=dfdu∙dudx .
Частная производная первого порядка по x:
∂F∂x=∂∂xsin2x-5y2=cos2x-5y2∂∂x2x-5y2=
=cos2x-5y2∂∂x2x-∂∂x5y2=2-0cos2x-5y2=2cos2x-5y2.
Частная производная первого порядка по y:
∂F∂y=∂∂ysin2x-5y2=cos2x-5y2∂∂y2x-5y2=
=cos2x-5y2∂∂y2x-∂∂y5y2=0-10ycos2x-5y2==-10ycos2x-5y2.
f) z=arctg x2y3 .
Решение:
Воспользуемся правилами дифференцирования сложной функции:
f(ux)’=dfdu∙dudx .
Частная производная первого порядка по x:
∂z∂x=∂∂xarctg x2y3=11+x2y32∂∂xx2y3=
=y6x4+y6∙1y3∂∂xx2=y3x4+y6∙2x=2xy3x4+y6.
Частная производная первого порядка по y:
∂z∂y=∂∂yarctg x2y3=11+x2y32∂∂yx2y3=
=y6x4+y6∙x2∂∂y1y3=x2y6x4+y6∙∂∂yy-3=x2y6x4+y6∙-3y-4=
=-3x2y2x4+y6.
3. Вычислить значения частных производных ∂u∂x , ∂u∂y и ∂u∂z для функции
u=lnx3+3y-z в точке M02;1;8.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка
∂u∂x=∂∂xlnx3+3y-z=1×3+3y-z∂∂xx3+3y-z=
=1×3+3y-z∂∂xx3+∂∂x3y-∂∂xz=
=1×3+3y-z3x2+0-0=3x2x3+3y-z ,
∂u∂y=∂∂ylnx3+3y-z=1×3+3y-z∂∂yx3+3y-z=
=1×3+3y-z∂∂yx3+∂∂y3y-∂∂yz=
=1×3+3y-z0+13y-23-0=1×3+3y-z∙133y2 ,
∂u∂z=∂∂zlnx3+3y-z=1×3+3y-z∂∂zx3+3y-z=
=1×3+3y-z∂∂zx3+∂∂z3y-∂∂zz=
=1×3+3y-z0+0-1=-1×3+3y-z .

Тогда найденные частные производные в точке M02;1;8 принимают значения:
∂u∂xM0=3x2x3+3y-zM0=3∙2223+31-8=121=12,
∂u∂yM0=1×3+3y-z∙133y2M0=123+31-8∙13312=13 ,
∂u∂zM0=-1×3+3y-zM0=-123+31-8=-11=-1.
4. Найти полный дифференциал первого порядка функции
z=3x4y3-5y+2×4-1.
Решение:
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных z=fx,y находится по формуле dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy .
Таким образом, получаем
dz=∂∂x3x4y3-5y+2×4-1dx+∂∂y3x4y3-5y+2×4-1dy=
=∂∂x3x4y3-∂∂x5y+∂∂x2x4-∂∂x1dx+∂∂y3x4y3-∂∂y5y+∂∂y2x4-∂∂y1dy=
=3y3∂∂xx4-0+8×3-0dx+3×4∂∂yy3-5+0-0dy=
=12x3y3+8x3dx+9x4y2-5dy.
Таким образом, полный дифференциал имеет вид:
dz=12x3y3+8x3dx+9x4y2-5dy.

5. Вычислить приближенно 2,0032∙3,9983. Найти относительную и абсолютную погрешность вычислений.
Решение:
Для решение задачи воспользуемся полным дифференциалом функции и
формулой для приближенных вычислений:
fx+∆x,y+∆y≈fx,y+∂f∂x∆x+∂f∂y∆y.
Пусть
a≈A,
где A-точное значение числа,a-его приближение.Тогда
ε=A-a- абсолютная погрешность приближения, а
δ=εa-относительная погрешность приближения.
Введем в рассмотрение функцию fx,y=x2y3 и применим приближенную формулу когда x=2, ∆x=0,003, y=4, ∆y=-0,002.Тогда
2,0032∙3,9983=f2,003, 3,998=f2+0,003, 4+(-0,002)≈
≈f2, 4+∂f(2, 4)∂x∙0,003+∂f(2, 4)∂y∙-0,002 .
Найдем все частные производные первого порядка :
∂f∂x=∂∂xx2y3=y3∂∂xx2=2xy3,
∂f∂y=∂∂yx2y3=x2∂∂yy3=3x2y2.
Тогда
f2, 4=2243=256,
∂f∂x2, 4=2∙2∙43=256,
∂f∂y2, 4=3∙2242=192.
A=256,3836=f2,003, 3,998≈256+256∙0,003+192∙-0,002=256,384=a,
тогда абсолютная погрешность
ε=A-a=256,3836-256,384=0,000384<0,001. Относительная погрешность приближения
δ=εa=0,000384256,384=0,000001499<0,00001.
6. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности z=2×2-5xy+3x-2 в точке E2;1; -1.
Решение:
Уравнение касательной плоскости к поверхности z=fx,y в точке M0x0, y0, z0 имеет вид
z-z0=∂f∂xx0, y0x-x0+∂f∂yx0, y0y-y0.
Уравнение нормали к поверхности, проходящей через точку имеет вид:
x-x0∂f∂xx0, y0=y-y0∂f∂yx0, y0=z-z0-1 .
Найдем частные производные первого порядка функции z=2×2-5xy+3x-2
∂z∂x=∂∂x2x2-5xy+3x-2=4x-5y+3,
∂z∂y=∂∂y2x2-5xy+3x-2=-5x,
тогда
∂z∂x2, 1=4∙2-5∙1+3=6,
∂z∂y2, 1=-5∙2=-10.
Таким образом, уравнение касательной плоскости имеет вид
z+1=6x-2-10y-1
или
6x-10y-z-3=0, а уравнение нормали имеет вид
x-26=y-1-10=z+1-1 .

ПРОДОЛЖЕНИЕ

1. Найти частные производные второго порядка функций.
a)
z=44xy8-4×5+3y-5.
Решение:
Частная производная первого порядка по x:
∂z∂x=∂∂x44xy8-4×5+3y-5=4∙14x-34y8-20×4=x-34y8-20×4.
Частная производная первого порядка по y:
∂z∂y=∂∂y44xy8-4×5+3y-5=4∙84xy7+3=324xy7+3.
Найдем частные производные второго порядка.
∂2z∂x2=∂∂x∂z∂x=∂∂xx-34y8-20×4=-34x-74y8-80×3=-3y84x4x3-80×3
∂2z∂y2=∂∂y∂z∂y=∂∂y324xy7+3=2244xy6,
∂2z∂x∂y=∂∂x∂z∂y=∂∂x324xy7+3=8y74x3 ,
∂2z∂y∂x=∂∂y∂z∂x=∂∂yx-34y8-20×4=8y74x3 ,
убеждаемся, что смешанные производные равны, т.е
∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x.
b) fx, y=e2y-3x.
Решение:
Частная производная первого порядка по x:
∂f∂x=∂∂xe2y-3x=-3e2y-3x.
Частная производная первого порядка по y:
∂f∂y=∂∂ye2y-3x=2e2y-3x.
Найдем частные производные второго порядка.
∂2f∂x2=∂∂x∂f∂x=∂∂x-3e2y-3x=9e2y-3x,
∂2f∂y2=∂∂y∂f∂y=∂∂y2e2y-3x=4e2y-3x,
∂2f∂x∂y=∂∂x∂f∂y=∂∂x2e2y-3x=-6e2y-3x ,
∂2f∂y∂x=∂∂y∂f∂x=∂∂y-3e2y-3x=-6e2y-3x .
c)
gx, y=cosy4x6 .
Решение:
Частная производная первого порядка по x:
∂g∂x=∂∂xcosy4x6=-y4siny4x6∂∂x1x6=6y4siny4x6x7.
Частная производная первого порядка по y:
∂g∂y=∂∂ycosy4x6=-1x6siny4x6∂∂yy4=-4y3siny4x6x6.
Найдем частные производные второго порядка.
∂2g∂x2=∂∂x∂g∂x=∂∂x6y4siny4x6x7=6y4∂∂xsiny4x6x7=
=6y4∂∂xsiny4x6x7-∂∂xx7siny4x6x72=6y4y4cosy4x6∂∂x1x6x7-7x6siny4x6x72=6y4-6x-7y4cosy4x6∙x7-7x6siny4x6x72==-6y46y4cosy4x6+7x6siny4x6x14.

∂2g∂y2=∂∂y∂g∂y=∂∂y-4y3siny4x6x6=-4×6∂∂yy3siny4x6=
=-4×6∂∂yy3siny4x6+y3∂∂ysiny4x6=
=-4x63y2siny4x6+y3x6cosy4x6∂∂yy4=
=-4x63y2siny4x6+4y6x6cosy4x6=-4y2x63siny4x6+4y4x6cosy4x6.
∂2g∂x∂y=∂∂x∂g∂y=∂∂x-4y3siny4x6x6=-4y3∂∂xsiny4x6x6=
-4y3∂∂xsiny4x6x6-∂∂xx6siny4x6x62=-4y3y4cosy4x6∂∂x1x6x6-6x5siny4x6x62=-4y3-6x-7y4cosy4x6∙x6-6x5siny4x6x62==24y3y4cosy4x6+x6siny4x6x13.
∂2g∂y∂x=∂∂y∂g∂x=∂∂y6y4siny4x6x7=6×7∂∂yy4siny4x6=6×7∂∂yy4siny4x6+∂∂ysiny4x6y4=
=6x74y3siny4x6+4y7x6cosy4x6=24y3x7siny4x6+y4x6cosy4x6=24y3y4cosy4x6+x6siny4x6x13.

d) hx, y=4xsin2x-y
Решение:
Частная производная первого порядка по x:
∂h∂x=∂∂x4xsin2x-y=∂∂x4xsin2x-y+4x∂∂xsin2x-y=
=4sin2x-y+2xcos2x-y.
Частная производная первого порядка по y:
∂h∂y=∂∂y4xsin2x-y=4x∂∂ysin2x-y=-4xcos2x-y.
Найдем частные производные второго порядка.
∂2h∂x2=∂∂x∂h∂x=∂∂x4sin2x-y+2xcos2x-y=
=4∂∂xsin2x-y+∂∂x2xcos2x-y=
=42cos2x-y+2cos2x-y-2xsin2x-y=
=16cos2x-y-xsin2x-y.
∂2h∂y2=∂∂y∂h∂y=∂∂y-4xcos2x-y=-4x∂∂ycos2x-y=
=-4xsin2x-y.
∂2h∂x∂y=∂∂x∂h∂y=∂∂x-4xcos2x-y=-4∂∂xxcos2x-y+x∂∂xcos2x-y=
=-4cos2x-y-2xsin2x-y.
∂2h∂y∂x=∂∂y∂h∂x=∂∂y4sin2x-y+2xcos2x-y=
=4-cos2x-y+2xsin2x-y.
e) vx,y=x-5y
Решение:
Частная производная первого порядка по x:
∂v∂x=∂∂xx-5y=-5yx-5y-1.
Частная производная первого порядка по y:
∂v∂y=∂∂yx-5y=-5x-5ylnx.
Найдем частные производные второго порядка.
∂2v∂x2=∂∂x∂v∂x=∂∂x-5yx-5y-1=5y5y+1x-5y-2.
∂2v∂y2=∂∂y∂v∂y=∂∂y-5x-5ylnx=25x-5yln2x.
∂2v∂x∂y=∂∂x∂v∂y=∂∂x-5x-5ylnx=-5∂∂xx-5ylnx+∂∂xlnxx-5y=
=-5∂∂xx-5ylnx+∂∂xlnxx-5y=-5-5yx-5y-1lnx+x-5y-1=
=-5x-5y-11-5ylnx.
∂2v∂y∂x=∂∂y∂v∂x=∂∂y-5yx-5y-1=-5x-5y-1-5yx-5y-1lnx=
=-5x-5y-11-5ylnx.
2. Показать, что для функции z=cos(xy+x) выполняется условие
∂2z∂y2=x∂z∂yctgxy+x.
Решение:
Найдем частные производные ∂z∂y и ∂2z∂y2 :
∂z∂y=∂∂ycosxy+x=-sinxy+x∂∂yxy+x=-xsinxy+x,
∂2z∂y2=∂∂y∂z∂y=∂∂y-xsinxy+x=-x∂∂ysinxy+x=
=-x∂∂ysinxy+x=-x2cosxy+x.
Перепишем исходное уравнение в виде:
∂2z∂y2-x∂z∂yctgxy+x=0,
и подставим найденные частные производные:
-x2cosxy+x-x∙-xsinxy+xctgxy+x=
=-x2cosxy+x-x∙-xsinxy+xcosxy+xsinxy+x=
=-x2cosxy+x+x2cosxy+x=0.
Следовательно, функции z=cos(xy+x) удовлетворяет уравнению.
3. Исследовать на экстремум функции
a) z=4xy-x2-2y2+4.
Решение:
Найдем стационарные точки функции, т.е. точки в которых выполняются условия (Это необходимые условия экстремума.)
∂z∂x=0,∂z∂y=0.
Для заданной функции условия принимают вид
∂z∂x=∂∂x4xy-x2-2y2+4=4y-2x=0,∂z∂y=∂∂y4xy-x2-2y2+4=4x-4y=0,
решая которую, находим, x=0,y=0.⇒M0, 0-стационарная точка.
Исследуем эту точку с помощью достаточного условия экстремума:
Если A=∂2z∂x2M, B=∂2z∂y2M,C=∂2z∂x∂yM, ∆=ACCB=AB-C2,
тогда , если
1) ∆<0⇒экстремума нет;
2) ∆>0 и A<0⇒M-точка максимум;
3) ∆>0 и A>0⇒M-точка минимума;
4) ∆=0-неопределенный случай.
Найдем частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=∂∂x∂z∂x=∂∂x4y-2x=-2,
∂2z∂y2=∂∂y∂z∂y=∂∂y4x-4y=-4,
∂2z∂x∂y=∂∂x∂z∂y=∂∂x4x-4y=4 ,
так как найденные производные не зависят от x и y то и в точке M они будут принимать постоянные значения, т.е. A=-2, B=-4, C=4. Тогда ∆=-2∙-4-42=-8<0, следовательно, в точке M0,0-экстремума нет.
b) z=x3+y3-6xy+1.
Решение:
Аналогичные исследования проведем и для данной функции.
Найдем стационарные точки функции:
∂z∂x=∂∂xx3+y3-6xy+1=3×2-6y=0,∂z∂y=∂∂yx3+y3-6xy+1=3y2-6x=0,
откуда следует, что y=x22 , x4=8x⇒xx-2×2+2x+4=0⇒x1=0,×2=2⇒y1=0,y2=2⇒M10,0, M22,2-стационарные точки.
Исследуем эти точки на экстремум.
Найдем частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=∂∂x∂z∂x=∂∂x3x2-6y=6x,
∂2z∂y2=∂∂y∂z∂y=∂∂y3y2-6x=6y,
∂2z∂x∂y=∂∂x∂z∂y=∂∂x3y2-6x=-6 .
A1=∂2z∂x2M1=6xM1=0, B1=∂2z∂y2M1=6yM1=0,C1=∂2z∂x∂yM1=-6,⇒ ∆1=A1B1-C12=0-36=-36<0⇒эктремума в точке M10,0 нет.
A2=∂2z∂x2M2=6xM2=12, B2=∂2z∂y2M2=6yM2=12,C2=∂2z∂x∂yM2=-6,⇒ ∆2=A2B2-C22=144-36=108>0.
Так как A2>0⇒M22,2- точка минимума.Минимум функции zmin=zM2=z2,2=23+23-6∙2∙2+1=-7.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z=x2+4y2+2x-y+2
в области D:x≥1,y≥-1,x+y≤2.
Решение:
Область D представлена на рисунке:

Наименьшее и наибольшее значение в ограниченной замкнутой области D непрерывная функция достигает либо во внутренних точках этой области, либо на границе этой области( согласно теореме Вейерштрасса).
Наибольшее и наименьшее значение данная функция может достигать в стационарных точках. Найдем эти точки и вычислим значения функции в этих точках (если они есть).
Найдем стационарные точки функции:
∂z∂x=∂∂xx2+4y2+2x-y+2=2x+2=0,∂z∂y=∂∂yx2+4y2+2x-y+2=8y-1=0,
откуда находим, что x=-1,y=18 ⇒M-1, 18-стационарная точка. Однако, эта точка не принадлежит области D, так как она не удовлеворяет всем неравенствам, определяющим эту область: -1<1. Таким образом, необходимо исследовать функцию на границе этой области: на отрезках AB,BC и AC.
AB_x=1,-1≤y≤1-отрезок прямой x=1.
zAB=x2+4y2+2x-y+2AB=12+4y2+2∙1-y+2=4y2-y+5=φ(y),
следовательно, задача свелась к нахождению наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной. Тогда φ’y=8y-1⇒
y=18∈[-1, 1]-
стационарная точка этой функции. Вычислим значения этой функции в этой точке и на концах отрезка:
φ18=4182-18+5=7916, φ-1=10,φ1=8.
BC_y=2-x,1≤x≤3.
zBC=x2+4y2+2x-y+2BC=x2+42-x2+2x-2-x+2=
=5×2-13x+16=ψ(x),⇒ψ’x=10x-13⇒ x=1310∈[1, 3]-
стационарная точка этой функции. Вычислим значения этой функции в этой точке и на концах отрезка: ψ1310=513102-13∙1310+16=755100=7,55 ,
ψ1=5-13+16=8,ψ3=5∙32-13∙3+16=22.
AC_y=-1, 1≤x≤3.
zAC=x2+4y2+2x-y+2AC=x2+4-12+2x–1+2=
=x2+2x+7=ψ1(x),⇒ψ1’x=2x+2⇒ x=-1∉[1, 3]-
стационарная точка этой функции, эту точку не рассматриваем. Вычислим значения этой функции только на концах отрезка:
ψ11=12+2∙1+7=10 ,ψ13=32+2∙3+7=22.
Из всех найденных значений находим наименьшее и наибольшее:
zнаим=z1, 18=7916,
zнаиб=z3, -1=22.
Ответ: zнаим=z1, 18=7916,zнаиб=z3, -1=22.
5. Найти градиент функции z=5×2+x3y-2y и вычислить его модуль в точке A2, -1.
Решение:
grad z=∂z∂x,∂z∂y , grad z=∂z∂x2+∂z∂y2 .
Таким образом, необходимо найти частные производные первого порядка.
∂z∂x=∂∂x5x2+x3y-2y=10x+3x2y,
∂z∂y=∂∂y5x2+x3y-2y=x3-2.
Тогда
grad z=10x+3x2y, x3-2 ⇒grad zA=10∙2+3∙22-1, 23-2 =8, 6⇒ grad zA=82+62=10.
6. Найти производную функции
z=5y-14x+5y
по направлению a=4, -3.Вычислить ее значение в точке B-1, 1.
Решение:
Производная по направлению вектора a найдем по формуле:
∂z∂a=∂z∂xcosα+∂z∂ysinα,
где e=cosα, sinα-это орт вектора a, т.е. e=1aa.
Таким образом, найдем частные производные первого порядка данной функции и вектор e.
∂z∂x=∂∂x5y-14x+5y=5y-1∂∂x14x+5y=41-5y4x+5y2,
∂z∂y=∂∂y5y-14x+5y=54x+5y-55y-14x+5y2=54x+14x+5y2.
e=1aa=142+-32a=15a=45,- 35⇒cosα=45,sinα=- 35.
Тогда
∂z∂a=41-5y4x+5y2∙45+54x+14x+5y2∙- 35=1-80y-60x54x+5y2⇒
∂z∂aB=1-80y-60x54x+5y2B=1-80∙1-60∙-154∙-1+5∙12=-195.
7. Вычислить:
a) производную функции u=3x2yz3 в точке M1-2;-3;1 по направлению вектора M1M2, если M25;-2;0.
Решение:
В пространстве производная по направлению находится по формуле
∂u∂a=∂u∂xcosα+∂u∂ycosβ+∂u∂zcosγ,
где e=cosα, cosβ,cosγ-это орт вектора a, т.е. e=1aa.
Таким образом, найдем частные производные первого порядка данной функции и вектор e для вектора M1M2.
∂u∂x=∂∂x3x2yz3=3yz3∂∂xx2=6xyz3,
∂u∂y=∂∂y3x2yz3=3x2z3∂∂yy=3x2z3,
∂u∂z=∂∂z3x2yz3=3x2y∂∂zz3=9x2yz2,
M1M2=5–2;-2–3;0-1=(7;1;-1)⇒
e=1M1M2M1M2=172+12+-127;1;-1=751;151;-151⇒
cosα=751, cosβ=151,cosγ= -151.
Тогда
∂u∂M1M2=6xyz3∙751+3x2z3∙151+9x2yz2∙-151=
=3xz251∙xz+14yz-3xy⇒
∂u∂M1M2M1=3xz251∙xz+14yz-3xyM1=3∙-2∙1251∙-2∙1+14∙-3∙1-3∙-2∙-3=
=-651∙-2-42-18=37251.
b) grad uM1.
Решение:
grad u=∂u∂x,∂u∂y ,∂u∂z⟹ grad uM1=∂u∂x,∂u∂y ,∂u∂zM1=
=∂u∂x,∂u∂y ,∂u∂zM1=6xyz3,3x2z3 ,9x2yz2M1=6∙-2∙-3∙13,3∙-22∙13 ,9∙-22∙-3∙12=
=-36;12 ,-108.

user315133 4.0

35 л., образование высшее психологическое; ученая степень: кандидат философских наук; проф. переподготовка по программам "Политический менеджмент", "Клиническая логопедия", член-корр. МАНПО, член РФО. Автор более 95 научных публикаций.

Нанять автора

Готовые работы на продажу

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Нажимая "Купить" вы будете перенаправлены на страницу карточки работы.

Гарантия на работу 10 дней.

Исследовать функцию и построить ее график y = 5x/(2x^2-4)

50₽

• Решение задач
• Высшая математика
• Выполнил: МарьянаИвановна

Купить

Исследовать функцию и построить график y=(3-4x)/(2+5x)

30₽

• Решение задач
• Высшая математика
• Выполнил: МарьянаИвановна

Купить