Из партии электроламп отобрано 200 штук для определения срока их работы

Вариант 2
Из партии электроламп отобрано 200 штук для определения срока их работы. Выборочное среднее значение этого параметра оказалось 1100 часов. Найти интервальную оценку этого параметра ламп, если среднее квадратичное отклонение их нормальной работы известно и равно 40 часов.
Взять коэффициент доверия γ=0,9;
Взять коэффициент доверия γ=0,98;
РЕШЕНИЕ
Коэффициент доверия γ=0,9 t=1,65
Предельная ошибка выборки
∆x=tσ2n=1,65402200=4,7 ч.
Определим пределы, в которых ожидается средний срок работы электроламп:
x=x±∆x=1100±4,7 ч.1095,3≤x≤1104,7 ч.
Коэффициент доверия γ=0,98 t=2,34
Предельная ошибка выборки
∆x=tσ2n=2,34402200=6,6 ч.
Определим пределы, в которых ожидается средний срок работы электроламп:
x=x±∆x=1100±6,6ч.1093,4≤x≤1106,6 ч.

Исследовать тип регрессии между случайными переменными x и y.
X 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8
Y 17,385 15,804 14,821 13,978 12,513 11,3 10,233 8,961 7,638 6,481
Если известно, что она отвечает одному из следующих типов:
Линейная функция: y=a+bx;
Нелинейные функции: y= a+b/x (гипербола);
y=a+bx+cx2 ( парабола).

РЕШЕНИЕ
Линейная функция: y=a+bx
Рабочая таблица.
N х Y x2 Xy
y2
1 1 17,385 1 17,385 302,238 17,285 0,100 0,010 0,575
2 1,2 15,804 1,44 18,9648 249,766 16,091 -0,287 0,082 1,815
3 1,4 14,821 1,96 20,7494 219,662 14,897 -0,076 0,006 0,510
4 1,6 13,978 2,56 22,3648 195,384 13,702 0,276 0,076 1,972
5 1,8 12,513 3,24 22,5234 156,575 12,508 0,005 0,000 0,038
6 2 11,3 4 22,6 127,69 11,314 -0,014 0,000 0,124
7 2,2 10,233 4,84 22,5126 104,714 10,120 0,113 0,013 1,106
8 2,4 8,961 5,76 21,5064 80,2995 8,926 0,035 0,001 0,395
9 2,6 7,638 6,76 19,8588 58,339 7,731 -0,093 0,009 1,223
10 2,8 6,481 7,84 18,1468 42,0034 6,537 -0,056 0,003 0,867
Сумма 19 119,114 39,4 206,612 1536,673 119,111 0,003 0,200 8,625
Ср.знач
1,900 11,911 3,940 20,661 153,667 11,911 0,000 0,020 0,863
;
.
Получено уравнение регрессии:.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
;.
Значение коэффициента корреляции больше 0,7 и отрицательно, это говорит о сильной и обратной связи.
Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5,32.
Fфакт=4704,143>Fтабл=5,99, наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии не принимается на уровне 0,05, т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели можно оценить хорошее, так как не превышает 8-10%.
Нелинейные функции: y= a+b/x (гипербола)
Представим в виде

Для расчета параметров уравнения строим расчетную таблицу 4.
№ 1/х y 1/х2
y2 у/х
1 1,000 17,385 1,000 302,238 17,385 18,751 -1,366 7,857 1,866 40,120
2 0,833 15,804 0,694 249,766 13,170 16,010 -0,206 1,305 0,043 32,070
3 0,714 14,821 0,510 219,662 10,586 14,052 0,769 5,186 0,591 23,088
4 0,625 13,978 0,391 195,384 8,736 12,584 1,394 9,972 1,943 15,062
5 0,556 12,513 0,309 156,575 6,952 11,442 1,071 8,558 1,147 8,248
6 0,500 11,300 0,250 127,690 5,650 10,529 0,772 6,827 0,595 2,465
7 0,455 10,233 0,207 104,714 4,651 9,781 0,452 4,417 0,204 7,717
8 0,417 8,961 0,174 80,300 3,734 9,158 -0,197 2,199 0,039 21,132
9 0,385 7,638 0,148 58,339 2,938 8,631 -0,993 13,001 0,986 7,717
10 0,357 6,481 0,128 42,003 2,315 8,179 -1,698 26,203 2,884 21,132
Итого 0,053 119,114 3,810 1536,67 76,117 119,118 -0,004 85,525 10,297 178,752
Среднее значение 0,005 11,911 0,381 153,67 7,612 – – 8,553 – 17,875
0000

0,617 3,433 – – – – – – – –
0000

0,381 11,786 – – – – – – – –
Все расчеты в таблице велись по формулам
.
Тогда

Получено уравнение регрессии:.
индекс корреляции
Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной, так как R>0,7,
Рассчитаем F-критерий Фишера:

для α=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=8.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5,32.
Fфакт=83,56>Fтабл=5,99, наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии не принимается на уровне 0,05, т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений у на 17,875%. Качество построенной модели можно оценить как неудовлетворительное, так как превышает 8-10%.
y=a+bx+cx2 ( парабола).
По приведенным исходным данным определим оценки коэффициентов квадратичной регрессии. Применение к ней метода наименьших квадратов приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений a, b, c
ax4+bx3+cx2=x2yax3+bx2+cx=xyax2+bx+cn=y
Решение находим методом Крамера
№ х у ху
х2
у2
х3 х4
х2у
1 1 17,385 17,385 1,000 302,238 1,000 1,000 17,385 17,214 0,171 0,984 6,175
2 1,2 15,804 18,965 1,440 249,766 1,728 2,074 22,758 16,068 -0,264 1,670 0,817
3 1,4 14,821 20,749 1,960 219,662 2,744 3,842 29,049 14,910 -0,089 0,600 0,006
4 1,6 13,978 22,365 2,560 195,384 4,096 6,554 35,784 13,740 0,238 1,703 0,850
5 1,8 12,513 22,523 3,240 156,575 5,832 10,498 40,542 12,558 -0,045 0,360 5,698
6 2 11,3 22,600 4,000 127,690 8,000 16,000 45,200 11,364 -0,064 0,566 12,960
7 2,2 10,233 22,513 4,840 104,714 10,648 23,426 49,528 10,158 0,075 0,733 21,781
8 2,4 8,961 21,506 5,760 80,300 13,824 33,178 51,615 8,940 0,021 0,234 35,272

2,6 7,638 19,859 6,760 58,339 17,576 45,698 51,633 7,710 -0,072 0,943 52,737

2,8 6,481 18,147 7,840 42,003 21,952 61,466 50,811 6,468 0,013 0,201 70,880
Σ 19,000 119,11 206,61 39,400 1536,67 87,400 203,73 394,30 119,130 -0,016 7,994 207,175

Метод Крамера

203,733 87,400 39,400

394,305 87,400 39,400

А= 87,400 39,400 19,000
В= 206,612 39,400 19,000
С=

39,400 19,000 10,000

119,114 19,000 10,000

203,733 394,305 39,400

203,733 87,400 394,305

С= 87,400 206,612 19,000
Д= 87,400 39,400 206,612

39,400 119,114 10,000

39,400 19,000 119,114

ΔА= 27,878
ΔВ= -4,190
ΔС= -150,544

634,611

a=ΔВ/ΔА= -0,150
b= -5,400
с= 22,764

y=-0,15×2-5,4x+22,764
Рассчитаем теоретические значения у и занесем в таблицу, также определим отклонения

индекс корреляции
Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной, так как R>0,7,
Индекс детерминации: детерминации
Рассчитаем F-критерий Фишера:

для α=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=8.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5,32.
Fфакт=7992Fтабл=5,99, наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии не принимается на уровне 0,05, т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений у на 7,994%. Качество построенной модели можно оценить как хорошее, так как не превышает 8-10%.
Наилучшей является линейная модель или параболическая модель.

Построить аддитивную модель временного ряда, описывающего потребление электроэнергии за 4 года:
№
квартала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
млн Квч
10,9 6,5 8,7 11 6,4 5,6 8 10 6 4,4 7,4 9,3 5,1 4,5 6 8
Анализ провести, используя Excel;
Выделить тренд;
Графически оценить циклическую составляющую и ее период

РЕШЕНИЕ

Анализ провести, используя Excel

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,438

R-квадрат 0,192

Нормированный R-квадрат 0,134

Стандартная ошибка 2,005

Наблюдения 16

Дисперсионный анализ

  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 1 13,361 13,361 3,324 0,090
Остаток 14 56,276 4,020

Итого 15 69,638      

  Коэффи
циенты
Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 9,048 1,051 8,605 0,000 6,792 11,303
t -0,198 0,109 -1,823 0,090 -0,431 0,035

Выделить тренд
Уравнение тренда
у=9,048-0,198t

Графически оценить циклическую составляющую и ее период
Циклическая составляющая
 

   
Наблюдение
У Предсказанное У
Циклическая составляющая
1 1 год 10,9 8,85 2,05
2
6,5 8,65 -2,15
3
8,7 8,45 0,25
4
11 8,25 2,75
5 2 год 6,4 8,06 -1,66
6
5,6 7,86 -2,26
7
8 7,66 0,34
8
10 7,46 2,54
9 3 год 6 7,26 -1,26
10
4,4 7,07 -2,67
11
7,4 6,87 0,53
12
9,3 6,67 2,63
13 4 год 5,1 6,47 -1,37
14
4,5 6,27 -1,77
15
6 6,07 -0,07
16
8 5,88 2,12
 Σ
117,8 117,8  
Проверим выполнимость требований к сезонным составляющим для аддитивной модели: сумма всех сезонных компонент должна быть равна нулю. Условие выполняется.

Все отклонения находятся внутри горизонтальной полосы постоянной ширины, это говорит о независимости дисперсий от значений объясняющей переменной и выполнимости условия гомоскедастичности.

isoler4 5.0

Являюсь выпускником Высшей школы экономики , по специальности Маркетинг и менеджмент. Средний балл по диплому - 4,87, работаю руководителем отдела аналитики в крупной международной компании. Увлекаюсь политикой, историей, языками.

Нанять автора