10
р 0,6 0,3 ?
Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Решение:
Найдем недостающую вероятность из свойства:
iPi=1
pξ=10=1-0,6-0,3=0,1
Распределение имеет вид:
ξ 7 8 10
р 0,6 0,3 0,1
Математическое ожидание:
Mξ=iξi*P(ξi)
Mξ=7*0,6+8*0,3+10*0,1=7,6
Дисперсия:
Dξ=iξi2*Pξi-Mξ2
Dξ=72*0,6+82*0,3+102*0,1-7,62=0,84
3. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a=4, σ=2. Найти P(5<ξ<8).
Решение:
Вероятность попасть в интервал для случайной величины, имеющей нормальное распределение равна:
Px1<x<x2=Фx2-aσ-Фx1-aσ, Фx-функция Лапласа
Имеем:
P5<x<8= Ф8-42-Ф5-42=Ф2-Ф0,5=0,4773-0,1915=0,2858
4. С.в.Х. распределена равномерно на [5;9]. Найти M(x)=2, D(x), P(x>=6).
Решение:
Математическое ожидание равномерной случайной величины:
Mx=b+a2=9+52=7
Дисперсия равномерной случайной величины:
Dx=(b-a)212=(9-5)212=43
Вероятность попасть в интервал для равномерной случайной величины:
Px1≤x≤x2=x2-x1b-a
Имеем:
Px≥6=9-69-5=34
5. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения бракованных деталей на первом автомате – 0,05, на втором – 0,06. Производительность второго автомата вдвое больше производительности первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь небракованная.
Решение:
Вычислим вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь произведена первым и вторым автоматом соответственно:
PH1=11+2=13; PH2=21+2=23
Вероятности получить небракованную деталь на автоматах равны, соответственно:
PAH1=1-0,05=0,95; PAH1=1-0,06=0,94
Искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности:
PA=iPHi*PAHi=13*0,95+23*0,94≈0,943
6. Партия изделий содержит 5% брака. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 4 – х изделий окажется две бракованных
Решение:
Вероятность того, что изделие – бракованное равна p=5/100=0,05
Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:
PA=C42p2(1-p)2=4!2!4-2!0,052(1-0,05)2≈0,0135
7. Случайная величина имеет распределение, вероятностей, представленное таблицей:
ξi
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Pi 0,3 – 0,2 0,15 0,25
Найти P2, функцию распределения F(x). Построить многоугольник распределения и график F(x).
Решение:
Найдем недостающую вероятность из свойства:
iPi=1
P2=1-0,3-…-0,25=0,1
Распределение имеет вид:
ξi
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Pi 0,3 0,1 0,2 0,15 0,25
Функция распределения выражает для каждого Х вероятность того, случайная величина примет значение, меньшее х:
Fx=P(X<x)
Поэтому имеем:
Fx≤0,1=0;F0,1<x≤0,2=0+0,3=0,3;
F0,2<x≤0,3=0,3+0,1=0,4;…;Fx>0,5=1
Fx=0;x≤0,10,3;0,1<x≤0,20,4;0,2<x≤0,30,6;0,3<x≤0,40,75;0,4<x≤0,51;x>0,5
Графически:
Многоугольник распределения строится по точкам с координатами (Х, р):
8 ξ- непрерывная случайная величина с плотностью распределения φ(x), заданной следующим образом:
φx=cosx;x∈0;π20;x∉0;π2
Найти функцию распределения F(x), P(0<ξ<π/6), M(ξ), D(ξ).
Решение:
Функция распределения связана с плотностью распределения соотношением:
Fx=-∞xfxdx
Подставляем:
Fx=0xcosxdx=sinx0x=sinx
Функция распределения имеет вид:
Fx=0;x≤0sinx;0<x≤π21
Вероятность принять значение из интервала равна:
Px1≤x≤x2=x1x2f(x)dx=Fx2-F(x1)
Подставляем:
P0<x<π6=Fπ6-F0=sinπ6-sin0=12
Математическое ожидание:
Mx=-∞∞xf(x)dx
В нашем случае:
Mx=0π2xcosxdx=xsinx+cosx0π2=π-22
Дисперсия:
Dx=-∞∞x2fxdx-M(x)2
В нашем случае:
Dx=0π/2x2cosxdx-π-222=x2sinx+2xcosx-2sinx0π2-π-222=π-3
9. С.в.Х. распределена по показательному закону, M(x)=1. Найти D(x), P(x>1). Записать функцию распределения С.в.Х.
Решение:
Функции плотности и распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеют вид:
fx=0;x≤0λe-λx;x>0
Fx=0;x≤01-e-λx;x>0
При этом:
Mx=1λ;1=1λ;λ=1
Dx=1λ2=1
Имеем следующую функцию распределения:
Fx=0;x≤01-e-x;x>0
Вероятность попасть в интервал:
Px>1=F∞-F1=1-1-e-1=1e≈0,368
10.Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.
Распределение
Xi -6 -2 3 6
ni
12 14 16 8
Решение:
Объем выборки:
n=12+14+16+8=50
Вычислим математическое ожидание:
Mx=1nixi*ni=150-6*12+…+6*8=-0,08
Вычислим дисперсию:
Dx=1nixi2*ni-Mx2=150-62*12+…+62*8–0,082=18,3936
Несмещенная выборочная дисперсия:
S2=nn-1Dx=5050-118,3936≈18,769
11. Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение a0 является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5%-м уровне значимости для двухсторонней критической области, если в результате обработки выборки объема n=10 получено выборочно среднее x, а выборочное среднее квадратичное отклонение равно s1.
a0=10;x=12;s1=1
Решение:
Для проверки гипотезы используем следующий статистический критерий:
U*=x-a0s1n
Подставляем наши данные:
U*=12-10110≈6,32
Границы критической области задаются величиной уровня значимости (альтернативной считаем гипотезу о неравенстве a0 математическому ожиданию):
ФU0,05=1-51002=0,475
По таблице значений функции Лапласа находим Ф(1,96)=0,475:
U0,05=1,96
Поскольку U*>U0,05 нулевую гипотезу следует отбросить.
12. При уровне значимости a=0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин X и Y на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе H1: σx2≠σy2
X Y
Xi ni
Yi mi
142 3 140 5
145 1 146 3
146 2 147 2
148 4 151 2
Решение:
Объемы выборок:
n=3+1+2+4=10
m=5+3+2+2=12
Вычислим числовые характеристики Х и Y.
Вычислим математические ожидания:
Mx=1nixi*ni=110142*3+…+148*4=145,5
My=1miyi*mi=112140*5+…+151*2=144,5
Вычислим дисперсии:
Dx=1nixi2*ni-Mx2=1101422*3+…+1482*4-145,52=6,25
Dy=1miyi2*mi-My2=1121402*5+…+1512*2-144,52≈17,08
Несмещенные выборочные дисперсии:
S2x=nn-1Dx=1010-16,25≈6,94
S2y=mm-1Dy=1212-117,08≈18,63
Критическая область при конкурирующей гипотезе H1 определяется критической точкой F(a/2, k1, k2), где число степеней свободы равно k1 = n – 1 и k2 = m – 1. В нашем случае a/2 = 0,05; k1 = 9 и k2 = 11 и требуемую критическую точку распределения Фишера – Снедекора можно найти по таблице: F(0,05; 9; 11) = 2,90.
Эмпирическое значение критерия есть отношение большей несмещенной выборочной дисперсии к меньшей:
F*=18,636,94≈2,68
Поскольку F*<F(0,05; 9; 11), то нулевую гипотезу о равенстве дисперсий можно принять.
julianikolaevna696
5.0
Опыт написания студенческих работ - 9 лет. Призер научных конкурсов в отрасли менеджмента, рекламы, политологии, управления персоналом, планирования, информационных технологий предприятия.Выполняю научные работы любой сложности.
