На шести карточках написаны буквы А М К С В О Наудачу вынимают одну карточку за другой и кладут в том порядке

1. На шести карточках написаны буквы А,М,К,С,В, О Наудачу вынимают одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком они были вынуты. Какова вероятность того, что получится слово «МОСКВА»?
РЕШЕНИЕ
Вероятность того, что первая взятая и выложенная в ряд буква является буквой «М» равна , так как из 6-ти букв одна является буквой «М».
Вероятность того, что вторая взятая буква является буквой «О» равна , так как осталось пять букв из них одна буква «О».
Вероятность того, что третья взятая буква является буквой «С» равна .
Вероятность того, что четвертая взятая буква является буквой «К» равна .
Вероятность того, что пятая взятая буква является буквой «В» равна .
Последняя взятая буква будет буквой «А», вероятность этого при условии наступлении остальных событий равна 1
Тогда вероятность выложить слово «МОСКВА»:
Р=
ОТВЕТ: 0,0014

2. Два студента договорились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами, и что, пришедший первым ждет другого в течении 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение часа может произойти в любой момент времени, а моменты прихода независимы.
РЕШЕНИЕ
Обозначим моменты прихода первого и второго человека х и у. По условию 0х1 и 0у1 (студенты приходят в течение часа).
Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОАВС.
Разность между временем прихода студентов не должная быть больше 1/4 часа (иначе они не встретятся).
Если первый человек пришел раньше, чем второй, то y>x и y-x<1/4
Если второй человек пришел раньше, чем первый, то х>у и х-у<1/4
YYC
Построим в прямоугольной системе координат эту область
K
D
B
E
F
X
O
C
A

Таким образом, искомая вероятность равна
SODEВFK=SOABC – 2SDAE=1-2=

ОТВЕТ: 0,4375

3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях нечетная, причем на гранях хотя бы одной кости выпала двойка
РЕШЕНИЕ
Для определения вероятностей воспользуемся формулой , где m -число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n – число всех возможных исходов.
Число всех возможных исходов 66=36 – всего комбинаций при бросании двух костей (у каждой 6 граней)
Перечислим благоприятные комбинации:
2 и 1
2 и 3
2 и 5
1 и 2
3 и 2
5 и 2
Всего получаем 6 комбинаций, то есть m=6
P(A)=
ОТВЕТ: 1/6

4. Цифровой замок имеет на общей оси четыре диска. Каждый диск разделен на шесть секторов, отмеченных цифрами. Замок можно открыть, если цифры на дисках совпадают с теми, что были набраны при закрывании замка, то есть с «секретом» замка. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию 4-х цифр?
РЕШЕНИЕ
Пусть А1 – на первом диске установлен правильный сектор,
А2 – на втором диске установлен правильный сектор,
А3 – на третьем диске установлен правильный сектор,
А4 – на четвертом диске установлен правильный сектор,
Тогда
Х = А1А2А3А4 – на всех дисках установлены нужные секторы (набраны нужные числа), в этом случае замок откроется.
Так как события А1, А2, А3, А4 – независимые, то
Р(Х) = Р(А1)Р(А2)Р(А3)Р(А4)
Вероятность набрать на каждом диске нужную цифру равна 1/6, так как из пяти секторов только один содержит нужную цифру, то есть вероятности всех событий А1, А2, А3, А4 равны 1/6, значит
Р(Х) ==0,00077
ОТВЕТ: 0,00077

5. В кошельке лежат три монеты достоинством по 5 рублей и 7 монет по одному рублю. Наудачу вынимаются две монеты. Какова вероятность того, что обе монеты будут одного достоинства?
РЕШЕНИЕ
Пусть Х – вынуты две монеты одного достоинства
Х1 – вынуты две монеты по 5 руб.
Х2 – вынуты две монеты по рублю.
Тогда Х=Х1+Х2
Найдем вероятности событий Х1 и Х2
Число возможны исходов – число способов выбрать 2 монеты из 10, то есть

Для события Х1 – число благоприятных исходов – число способов выбрать две монеты из трех по 5 рублей, то есть

Таким образом, вероятность того, что извлеченные монеты будут достоинством 5 рублей:
Для события Х2- число благоприятных исходов – число способов выбрать две монеты из семи по 1 рублю, то есть
,
Р(Х)=Р(Х1)+Р(Х2)= =0,533
ОТВЕТ: 0,5333

5. В урне 30 шаров, из них 5 черных и остальные белые. Вынимаются один за другим три шара подряд. Какова вероятность того, что будет вынуто 2 черных и один белый шар?
РЕШЕНИЕ
Пусть Х – будет вынуто 2 черных и один белый шар. Последовательное извлечение шаров без возвращения эквивалентно одновременному извлечению трех шаров.
Число возможных исходов – число способов выбрать 3 шара из 30, то есть

Число благоприятных исходов – число способов выбрать два черных шара из 5-ти при одновременном выборе одного шара из 25-ти белых

Таким образом, вероятность того, что будет вынуто 2 черных и один белый шар: 0,062
ОТВЕТ: 0,062

6. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет ровно два изделия высшего сорта.
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся формулой Бернулли:
Рn(k)= – вероятность наступления события k раз в n испытаниях, р – вероятность наступления события в одном испытании, q – вероятность ненаступления события
Найдем вероятность события Р3(2) – из из трех проверенных изделий будет ровно два изделия высшего сорта:
Р3(2)= 30,820,2= 0,384
ОТВЕТ:

7. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,4; для второго — 0,5 и для третьего — 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех стрелков по мишени в ней будет ровно одна пробоина.
РЕШЕНИЕ
Пусть Х1 – первый стрелок попал в мишень
Х2 – второй стрелок попал в мишень
Х3 – третий стрелок попал в мишень
Если в мишени одна пробоина, то попасть может первый, второй или третий стрелок, остальные должны промахнуться.
Если Х – событие, состоящее в том, что в мишени одна пробоина, то

Так как события Х1,Х2,Х3 независимые, то
Р(Х)=0,4(1-0,5)(1-0,7)+(1-0,4)0,5(1-0,7)+(1-0,4)(1-0,5)0,7=0,36
ОТВЕТ: 0,36
8. С первого автомата поступает на сборку 80%, со второго — 20% таких же деталей. На первом станке брак составляет 1%, на втором — 3%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором автомате.
РЕШЕНИЕ
Пусть Х – событие, состоящее в том, что наудачу выбранная деталь является бракованной.
Обозначим Н1 – наудачу выбранная деталь изготовлена первым автоматом
Н2 – наудачу выбранная деталь изготовлена вторым автоматом
Тогда Р(Н1)=0.8 Р(Н2)=0.2
Соответствующие условные вероятности
Р(Х/Н1)=0.01 – вероятность того, что деталь первого автомата бракованная
Р(Х/Н2)=0,03 -вероятность того, что деталь второго автомата бракованная
По формуле полной вероятности получаем:
Р(Х) = Р(Н1)∙ Р(Х/Н1) + Р(Н2)∙ Р(Х/Н2)=0,80,01+0,20,03= 0,014
Найдем вероятность того, что она изготовлена на втором автомате по формуле Байерса:
Р(Н1/Х) =
ОТВЕТ 0,429

9. Банк имеет шесть отделений. С вероятностью 0,2 независимо друг от друга отделение может заказать на завтра крупную сумму денег. В конце рабочего дня один из вице-президентов банка знакомится с поступившими заявками. Какова вероятность того, что будет а) ровно две заявки б) хотя бы одна заявка.
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся формулой Бернулли
а) Найдем вероятность события Р6(2) – из шести банков два подадут заявки:
Р6(2)= = 0,24576
б) Найдем вероятность того, что не будет подано ни одной заявки
Р6(0)= 0,2621
Тогда, событие, состоящее в том, что будет подана хотя бы одна заявка является противоположным, а значит Р6(k1)=1-P6(0)=1-0,2621=0,7379
ОТВЕТ: а) 0,24576 б) 0,2621

10. Вероятность приема каждого из 100 передаваемых сигналов равна 0,75. Найдите вероятность того, что будет принято а) ровно 70 сигналов б) от 71 до 80 сигналов
РЕШЕНИЕ
а) Вероятность приемки 70 сигналов вычисляется по локальной формуле Муавра-Лапласа: .
где n = 100 – число сигналов р = 0,75 – вероятность приема сигнала, q = 1- 0,75=0,25 k=70
Таким образом получим:

б) Для вычисления вероятностей воспользуемся теоремой Муавра-Лапласа:
Р(k1х k2) =Ф(х2)-Ф(х1)
где
В данном случае k1=71 k2=80

ОТВЕТ: 0,696

user1205359 3.9

Успешно закончила Ургэу-Синх по специальности маркетинг, на протяжении учебы занималась научными работами, писала статьи, участвовала в различных экономических форумах.

Нанять автора