2 Из десяти билетов выигрышными являются два Определить вероятность того

2. Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов окажется один выигрышный.

Решение:

Используем классическое определение вероятности:
PA=mn.
Количество всех равновозможных элементарных исходов равно количеству способов выбрать 5 билетов из 10:
n=C105=10!5!∙10-5!=10!5!∙5!=6∙7∙8∙9∙101∙2∙3∙4∙5=7∙2∙9∙2=252.
Пусть событие A- «среди взятых наудачу пяти билетов окажется один выигрышный». Найдем количество исходов, благоприятствующих появлению этого события. Выбрать 1 билет из 2 выигрышных можно 2 способами, при этом еще 4 билета должны быть выбраны из 8 невыигрышных, это можно сделать C84 способами. По правилу произведения:
m=2∙C105=2∙8!4!∙8-4!=2∙8!4!∙4!=2∙5∙6∙7∙81∙2∙3∙4=2∙5∙7∙2=140.
Тогда искомая вероятность:
PA=140252≈0,55.

3. Из колоды в 52 карты наугад берут одну. Какова вероятность, что попадется пиковая карта или любой король?

Решение:

Используем классическое определение вероятности:
PA=mn.
Количество всех равновозможных элементарных исходов равно числу карт:
n=52.
Пусть событие A1- «выбранная карта – пики». Количество благоприятствующих исходов равно количеству пики в колоде:
m=13.
Тогда
PA1=1352=14.
Пусть событие A2- «выбранная карта – король». Количество благоприятствующих исходов равно количеству королей в колоде:
m=4.
Тогда
PA2=452=113.
Пусть событие A- «выбранная карта или пики, или король». Используя теорему сложения находим:
PA=PA1+A2=PA1+PA2=14+113=13+452=1752.

6. В кармане первоначально находились 5 монет по 20 копеек и 4 монеты по 3 копейки. Три монеты выпали в дырку. Найти вероятность достать после этого из кармана наугад монету в 20 копеек.
Решение:
Введем полную группу гипотез:
H1- выпали 3 монеты по 20 копеек,
H2- выпали 2 монеты по 20 копеек и 1 по 3 копейки,
H3- выпали 1 монета по 20 копеек и 2 по 3копейки,
H4- выпали 3 монеты по 3 копейки.
Найдем вероятности этих гипотез, используя классическое определение вероятности.
Число всех равновозможных элементарных исходов равно количеству способов выбрать 3 монеты из 9:
n=C93=9!3!9-3!=9!3!6!=7∙8∙91∙2∙3=7∙4∙3=84.
1) число исходов, благоприятствующих событию H1- выпали 3 монеты по 20 копеек равно количеству способов выбрать 3 монеты из 5 20-коеечных:
m=C53=5!3!2!=4∙51∙2=10,
тогда
PH1=542.
2) определим число исходов, благоприятствующих событию H2- выпали 2 монеты по 20 копеек и 1 по 3 копейки. Количество способов выбрать 2 монеты из 5 20-копеечных равно C52 и еще одна монета должна быть выбрана из 4 3-копеечных монет, это можно сделать 4 способами. Тогда по правилу произведения:
m=C52∙4=5!2!3!∙4=4∙51∙2∙4=40,
тогда
PH1=2042.
3) определим число исходов, благоприятствующих событию H3- выпали 1 монета по 20 копеек и 2 по 3копейки.
Количество способов выбрать 1 монету из 5 20-копеечных равно 5 и еще 2 монеты должны быть выбрана из 4 3-копеечных монет, это можно сделать C42 способами. Тогда по правилу произведения:
m=5∙C42=5∙4!2!∙2!=30,
тогда
PH1=1542.
4) число исходов, благоприятствующих событию H4- выпали 3 монеты по 3 копейки равно количеству способов выбрать 3 монеты из 4 3-коеечных:
m=C43=4!3!1!=4,
тогда
PH4=242.
Пусть событие А – «из кармана вынули наугад 20-копеечную монету». Найдем условные вероятности этого события при сделанных гипотезах.
1) если выпало в дырку 3 20 копеечных монеты, то в кармане осталось 2 20-копеечных и 4 3-копеечных монеты. Тогда
PAH1=22+4=13.
2) если выпало в дырку 2 20 копеечных монеты и 1 3-копеечная, то в кармане осталось 3 20-копеечных и 3 3-копеечных монеты. Тогда
PAH2=32+4=12.
3) если выпало в дырку 1 20 копеечная монеты и 2 3-копеечных, то в кармане осталось 4 20-копеечных и 2 3-копеечных монеты. Тогда
PAH3=42+4=23.
4) если выпало в дырку 3 3-копеечных, то в кармане осталось 5 20-копеечных и 1 3-копеечная монеты. Тогда
PAH4=52+4=56.
По формуле полной вероятности находим:
PA=PH1∙PAH1+PH2∙PAH2+PH3∙PAH3+PH4∙PAH4=542∙13+2042∙12+1542∙23+242∙56≈0,555.

из 30.
2. Партия из 25 приборов содержит один неисправный прибор. Из этой партии для контроля выбраны случайным образом 6 приборов. Найти вероятность, что неисправный прибор попал в выборку.
Используем классическое определение вероятности:
PA=mn.
Количество всех равновозможных элементарных исходов равно количеству способов выбрать 6 приборов из 25:
n=C256=25!6!∙25-6!=25!6!∙19!=20∙21∙22∙23∙24∙251∙2∙3∙4∙5∙6=177100.
Пусть событие A- «среди взятых наудачу 6 приборов окажется один неисправный». Найдем количество исходов, благоприятствующих появлению этого события. Выбрать 1 прибор из 1 неисправного можно 1 способом, при этом еще 5 приборов должны быть выбраны из 24 исправных, это можно сделать C245 способами. По правилу произведения:
m=1∙C245=24!5!∙24-5!=24!5!∙19!=20∙21∙22∙23∙241∙2∙3∙4∙5=42504
Тогда искомая вероятность:
PA=42504177100=0,24.

ИЗ 30:
Брошены две кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 или 6 очков?
Решение:
Количество всех равновозможных элементарных исходов равно
n=62=36.
Пусть событие А- «хотя бы на одной из них выпадет 5 или 6 очков». Это событие противоположно событию А – «ни на одной кости не выпадет 5 и 6 очков». Количество исходов, благоприятствующих появлению этого события равно
m=42=16.
Тогда по классическому определению вероятности:
PA=mn=1636=49.
Так как события противоположны, то
PA+PA=1,
откуда
PA=1-PA=1-49=59.

ИЗ 30
Узлы поступают на конвейер с двух участков. Второй участок выпускает 5% брака и делает в 2 раза больше, чем первый. Брак в продукции первого участка составляет 10%. Найти вероятность того, что узел, случайно выбранный с конвейера окажется годным.
Решение:
Введем полную группу гипотез:
H1- узел поступил с первого участка,
H2- узел поступил со второго участка.
В условии сказано, что второй делает в 2 раза больше, это означает, что
PH2=2PH1.
Так как гипотезы образуют полную группу, то
PH1+PH2=1,
откуда
PH1=13; PH2=23.
Пусть событие А – «узел, случайно выбранный с конвейера окажется годным». Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах:
PAH1=1-0,1=0,9;PAH2=1-0,05=0,95.
Тогда по формуле полной вероятности находим:
PA=PH1∙PAH1+PH2∙PAH2=13∙0,9+23∙0,95=0,93.

из 30
В первой урне 7 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 5 черных. Из первой урны наудачу выбирают 3 шара и перекладывают во вторую, после чего из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот последний шар окажется белым.
Решение:
Введем полную группу гипотез:
H1- переложили 3 белых шара,
H2- переложили 2 белых и 1 черный,
H3- переложили 1 белый и 2 черных.
Найдем вероятности этих гипотез, используя классическое определение вероятности.
Число всех равновозможных элементарных исходов равно количеству способов выбрать 3 шара из 9:
n=C93=9!3!9-3!=9!3!6!=7∙8∙91∙2∙3=7∙4∙3=84.
1) число исходов, благоприятствующих событию H1- переложили 3 белых шара равно количеству способов выбрать 3 шара из 7 белых:
m=C73=7!3!4!=35,
тогда
PH1=3584.
2) определим число исходов, благоприятствующих событию H2- переложили 2 белых и 1 черный. Количество способов выбрать 2 шара из 7 белых равно C72 и еще один шар должен быть выбран из 2 черных, это можно сделать 2 способами. Тогда по правилу произведения:
m=C72∙2=7!2!5!∙2=4∙51∙2∙4=42,
тогда
PH2=4284.
3) определим число исходов, благоприятствующих событию H3- переложили 1 белый и 2 черных. Количество способов выбрать 1 шар из 7 белых равно 7 и еще 2 шара должны быть выбраны из 2 черных, это можно сделать 1 способом. Тогда по правилу произведения:
m=7∙1=7,
тогда
PH3=784.
Пусть событие А – «из второй урны выбран белый шар». Найдем условные вероятности этого события при сделанных гипотезах.

1) если переложили 3 белых шара, то во второй урне стало 7 белых и 5 черных шаров. Тогда вероятность вынуть белый шар
PAH1=712.
2) если переложили 2 белых и 1 черный, то во второй урне стало 6 белых и 6 черных. Тогда
PAH2=612.
3) если переложили 1 белый и 2 черных, то во второй урне стало 5 белых и 7 черных Тогда
PAH3=512.
По формуле полной вероятности находим:
PA=PH1∙PAH1+PH2∙PAH2+PH3∙PAH3=3584∙712+4284∙612+784∙512≈0,528.

Jana2102 4.8

Имею большой опыт в написании работ по направлению Государственное и муниципальное управление, менеджмент, соц.работа.

Нанять автора