Вычислитьприближенно с точностью 0 0001 Решение Для любогоимеет место формула

с точностью 0,0001 .
10. Понятие двойного интеграла, его свойства, геометрические и физические приложения двойного интеграла.
Двойной интеграл— обобщение ОИ на случай ф-ций 2-х переменных.
Пусть в замкнутой области D пл-ти Oxy задана непрер. z = f(x;y). Разобьем D на n частей Di, обозначим их площади через ∆Si, а диаметры — через di. В каждой Di выберем произв. т. Mi(xi;yi) и умножим значение f(xi;yi) в этой т. на ∆Si. Составимf(x1;y1)∆Si + f(x2;y2)∆Si + … + f(xn;yn)∆Sn = ∑ f(xi;yi)∆Si — интегральную сумму f(x;y). Рассм. lim, когда n → ∞, что maxdi → 0. Если этот lim Ǝ и не завис. от сп. разбиения D на части, ни от выбора точек в них, то он наз. «Двойным интегралом» и опред. равенством:

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ Ф-ЦИИ: если ф-ция z = f(x;y) непрер. в D, она интегрируема в этой области.
34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: двойной интеграл от неотрицательной функции равен объему цилиндрического тела.

Сверху тело ограничено поверхностью z = f(x;y), снизу  — замкнутой областью D пл-ти Оxy, с боков — цилиндрической пов-тью, ǁ Oz, направляющая — граница области D.
Найдем V: разобьем D на n областей Di, площади кот. = ∆Si. Рассм. столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y), обозначим их через ∆Vi. Получим V = ∑∆Vi. В каждой Di возьмем Mi(xi;yi) и заменим столбики прямыми цилиндрами, ∆Vi ≈ f(xi;yi)∆Si.

ФИЗИЧЕСКИЙ: масса плоской пластинки
35. Основные свойства двойного интеграла.
1. 
2. 

3. Если f(x;y)≥0, 
4. Еслиf(x;y)≥ φ(x;y), 
5. т. к.
6. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то , гдеm и M — соотв. наиб. и наим. значения подынтегральной ф-ции в D.
7. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то в этой обл-ти Ǝ такая т. (x0;y0), что . Величинаf(x0;y0) = … — среднее значение ф-ции f(x;y) в обл-ти D.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть требуется вычислить , где f(x;y)≥0, непрер. в D. Двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху z = f(x;y). Т. к. ,S(x) — площадь сечения пл-тью, ﬩оси Ox, a и b — ур-я пл-тей, огранич. данное тело. D — криволинейная трапеция, правильная относит. Oy, . Согласно методу параллельных сечений. Также объем цил. тела — двойной интеграл отf(x;y)≥0.

37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
x = rcosφ, y = rsinφ, dxdy = rdrdφ. 

Внутренний интеграл берется при постоянном φ.
Приложения двойного интеграла (объем тела, площадь плоской фигуры, масса плоской пластинки, статистические моменты, моменты инерции)
ОБЪЕМ ТЕЛА: 
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ: 
МАССА ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ: .γ = γ(x;y) — плотность
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ: и
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛ. ФИГУРЫ: и
МАССА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ: γ = γ(x;y) — поверхностная плотность — непрер. ф-ция координат т. (x;y). Разобьем пластинку D на n Di, обозначим их площади через ∆Si, возьмем Mi(xi;yi) и найдем плотность в ней. Плотность в каждой т. Diconst, найдем mi ≈ γ(x;y)∆Si. Т. к. m = ∑mi, m ≈ ∑γ(x;y)∆Si. n→∞ и maxdi→0. 
39-40.
х,y,z-const. Отметим, что поскольку разбивать рассм-ую обл.интег. можно произв. образом,то разбивая ее коорд.пов-ми в декарт.сист.коорд.
Тр.интег.f(x,y,z)dxdydz
DcR
D простая в пространстве будем считать простой в направлении z,если она:
1)проец.на пл-ть Оxy
2)ограничена сверху z=z2 (x,y),снизу z=z1(x,y),(x,y)€D
По аналогии с предыд.пол-ем случай правильной обл.D(и по x,y,z прав),получим сведение к 1-му из 6 интег.
тр.интег.f(x,y,z)dxdydz=
41.Замена переменных в тройном интеграле
Пусть совершена подстановка x= ,y= ,z= . Если эти ф-ции имеют в некоторой областиV* пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от 0 определитель
,
Приложения тройного интеграла (объем, масса тела, статические моменты, моменты инерции тела).
1. Объем тела
—в декартовых координатах
2. Масса тела
, при заданной плотности 
3.Статические моменты (относительно координатных плоскостей)

4. Моменты инерции тела

43.кри 1-го рода,их выч-е и св-ва(неориентированная)
В нек.окр.дуги L задано нек.скаляр.поле u=u(M)(1)
u=(M)-лин.пл-ть (поле масс)…