В мартеновском цехе завода произведены испытания для определения зависимости производительности печи от содержания углерода в металле Результаты в т

1) проверить первичную информацию по признаку-фактору на однородности;
Признак-фактор – признак, оказывающий влияние на исследуемый признак (признак-результат).
Совокупность считается однородной, если коэффициент ее вариации меньше 33%.
Вычислим среднее по формуле средней арифметической:

Вычислим дисперсию:

Среднее квадратическое отклонение:
Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько рассматриваемая величина в среднем отклоняется от средней величины.
Коэффициент вариации v является критерием надежности средней, а также характеризует однородности совокупности.

Коэффициент вариации меньше 30%, следовательно, средняя надежна и группировка однородна.

2) установить факт наличия связи с помощью аналитической группировки;
Для выяснения закономерностей, существующих в изучаемой совокупности, и для установления возможной связи между различными признаками используют метод группировок, Группировка – процесс разделения статистической совокупности на группы, однородные в каком-либо отношении либо имеющие одинаковые или близкие значения группировочного признака.
Группированный признак – Процент углерода в металле.
Ранжируем данные по проценту углерода в металле.
Процент углерода в металле Производительность печи, т/ч.
0,65 17,3
0,78 17
0,82 16,7
0,92 16,4
0,94 16,5
0,95 16,3
0,98 16
0,99 16
1 16
1,12 15,8
1,12 15,7
1,13 15,9
Видим,
где
– максимальное значение признака в исследуемой совокупности;
– минимальное значение признака в исследуемой совокупности;
Определим количество интервалов по формуле Стерджесса:

Величина интервала:

Разобьём данные на интервалы:
Границы интервалов:
1 интервал:
2 интервал:
3 интервал:
4 интервал:
5 интервал:
Получим следующее разбиение:
Интервал Элементы группы
0,65 17,3
0,78; 0,82 17; 16,7
0,92; 0,94; 0,95 16,4; 16,5; 16,3
0,98; 0,99; 1 16; 16; 16
1,12; 1,12; 1,13 15,8; 15,7; 15,9

Построим сводную таблицу, в которой определим средние значения каждой из групп.
Интервал Число замеров группы Средний процент углерода в металле: Средняя производительность печи, т/ч.
1
2
3
3
3
Для вычисления средней групп использовали формулу средней арифметической.
Видим, что при увеличении среднего процента углерода в металле средняя производительность печи падает.
Наблюдаем тесную взаимосвязь между рассматриваемыми признаками.
Покажем наглядно.
Рост углерода:

Падение производительности.

3) с помощью линейного коэффициента корреляции измерить степень тесноты связи; оценить существенность полученного значения коэффициента корреляции с помощью t-критерия Стьюдента при вероятности 0,95;
Имеем:

0,65 17,3 0,42 299 11,2
0,78 17 0,61 289 13,3
0,82 16,7 0,67 279 13,7
0,92 16,4 0,85 269 15,1
0,94 16,5 0,88 272 15,5
0,95 16,3 0,90 266 15,5
0,98 16 0,96 256 15,7
0,99 16 0,98 256 15,8
1 16 1,00 256 16,0
1,12 15,8 1,25 250 17,7
1,12 15,7 1,25 246 17,6
1,13 15,9 1,28 253 18,0
11,400 195,600 11,062 3191,020 185,049
0,950 16,300 0,922 265,918 15,421
Найдем выборочный коэффициент корреляции

Видим, что коэффициент корреляции близок к единице, связь между факторами тесная.
Оценку статистической значимости уравнения регрессии так же проведем с помощью критерия Стьюдента:

Имеем, , следовательно, уравнение значимо.
4) определить модель линейной зависимости, оценить её достоверность.
Проведем выравнивание ряда по прямой, те уравнение зависимости будем искать в виде:
Последние строки расчетной таблицы: сумма и средние значения элементов соответствующих столбцов.

Методом наименьших квадратов вычислим параметры линейной регрессии:
2
Получаем уравнение регрессии:

Уравнене показывает, что при увеличении х на единицу (процент углерода в металле), у падает на 3,32 единицы.
Для оценки тесноты линейной зависимости рассчитаем коэффициент детерминации.
Расчетная таблица:
n  
1 0,65 17,3 17,30 0,003 0,000 1,000
2 0,78 17,0 16,86 0,135 0,018 0,490
3 0,82 16,7 16,73 0,032 0,001 0,160
4 0,92 16,4 16,40 0,000 0,000 0,010
5 0,94 16,5 16,33 0,167 0,028 0,040
6 0,95 16,3 16,30 0,000 0,000 0,000
7 0,98 16,0 16,20 0,200 0,040 0,090
8 0,99 16,0 16,17 0,167 0,028 0,090
9 1,00 16,0 16,13 0,134 0,018 0,090
10 1,12 15,8 15,74 0,065 0,004 0,250
11 1,12 15,7 15,74 0,035 0,001 0,360
12 1,13 15,9 15,70 0,198 0,039 0,160
сумма 11,40 195,60 195,60 1,1366 0,18 2,74
среднее 0,95 16,30 16,30 0,0947 0,01 0,23
В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

Значение коэффициента детерминации показывает, что искомая прямая – уравнение линейной регрессии на 93,5% характеризует (аппроксимирует) исходные данные.
Данное уравнение достоверно.

…