X
X1 -4,83 3,38 3,59 3,04 -1,83 -9,18 1,05 -2,92 -6,81 -6,85
2,04 -0,1 3,17 -3,61 -1,31 2,25 -5,75 -6,06 0,02 2,31
X2 -1,75 -1,21 2,13 -1,84 -1,16 -4,91 -8,26 -11,69 -2,65 3,92
0,22 -2,47 -3,6 -3,61 2,79 8,12 -8,59 -1,43 -1,12 -2,19
X3 -6,12 -2,58 -0,86 -8,98 -7,57 -6,08 -2,52 -5,64 -5,13 1,38
4,72 -2,37 -6,45 -1,35 -1,91 -2,76 -2,62 -6,46 1,43 -4,3
Дана выборка X объема N=60.
1. Найти выборочную среднюю для X, X1, X2, X3
2. Найти выборочную дисперсию для X, X1, X2, X3
3. Построить гистограмму для элементов всей выборки
— шаг
Интервалы -11,69 .. -9,21 -9,21 .. -6,74 -6,74 .. -4,26 -4,26 .. -1,79 -1,79 .. 0,69 0,69 .. 3,17 3,17 .. 5,64 5,64 .. 8,12
xi*
середины интервалов -10,45 -7,98 -5,50 -3,02 -0,55 1,93 4,41 6,88
ni
1 7 11 15 11 9 5 1
Гистограмма:
4. Найти доверительный интервал для оценки мат. ожидания случайных величин X, X1 при неизвестном значении дисперсии (pдов=0,95).
Найдем доверительный интервал для случайной величины X
По таблице
Исправленная дисперсия:
Тогда
Найдем доверительный интервал для случайной величины X1
По таблице
Исправленная дисперсия:
Тогда
5. Найти доверительный интервал для оценки дисперсии случайных величин X, X1 при неизвестном значении мат. ожидания при pдов=0,95 и pдов=0,9 соответственно.
Найдем доверительный интервал для случайной величины X
По числу степеней свободы, равному 60-1=59, и по вероятности (1 – 0,95)/2 = 0,025 находим из таблицы распределения 2 величину 22 = 82,117. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,95)/2 = 0,975 получаем 12 = 39,662.
Найдем доверительный интервал для случайной величины X1
По числу степеней свободы, равному 20-1=19, и по вероятности (1 – 0,9)/2 = 0,05 находим из таблицы распределения 2 величину 22 = 30,144. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,9)/2 = 0,95 получаем 12 = 10,117
6. Построить корреляционную и ковариационную матрицы для случайных величин X1, X2, X3
Рассмотрим расчет коэффициентов ковариации и корреляции для случайных величин X1, X2, обозначим их X и Y.
Вычисляем коэффициент ковариации.
Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:
cov(X,Y) = 1
n
n
Σ
k = 1
(xk-Mx)(yk-My)
Вычислим значения центрированных величин (xk-Mx) и (yk-My) для всех элементов выборки. Результаты занесем в таблицу:
k
xk
yk
( хk-Mx )
( yk-My )
( хk-Mx )•( yk-My )
1 -4.83 -1.75 -3.41000 0.21500 -0.73315
2 3.38 -1.21 4.80000 0.75500 3.62400
3 3.59 2.13 5.01000 4.09500 20.51595
4 3.04 -1.84 4.46000 0.12500 0.55750
5 -1.83 -1.16 -0.41000 0.80500 -0.33005
6 -9.18 -4.91 -7.76000 -2.94500 22.85320
7 1.05 -8.26 2.47000 -6.29500 -15.54865
8 -2.92 -11.69 -1.50000 -9.72500 14.58750
9 -6.81 -2.65 -5.39000 -0.68500 3.69215
10 -6.85 3.92 -5.43000 5.88500 -31.95555
11 2.04 0.22 3.46000 2.18500 7.56010
12 -0.1 -2.47 1.32000 -0.50500 -0.66660
13 3.17 -3.6 4.59000 -1.63500 -7.50465
14 -3.61 -3.61 -2.19000 -1.64500 3.60255
15 -1.31 2.79 0.11000 4.75500 0.52305
16 2.25 8.12 3.67000 10.08500 37.01195
17 -5.75 -8.59 -4.33000 -6.62500 28.68625
18 -6.06 -1.43 -4.64000 0.53500 -2.48240
19 0.02 -1.12 1.44000 0.84500 1.21680
20 2.31 -2.19 3.73000 -0.22500 -0.83925
Вычислим ковариацию cov(X,Y) как среднее значение элементов последнего столбца таблицы.cov(X,Y) = 4.218535Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
Rx,y
= cov( X,Y )
σxσy
где cov( X,Y ) — ковариация случайных величин Х и Y
Составим таблицу.
k xk yk ( хk-Mx ) ( хk-Mx )2 ( yk-My ) ( yk-My )2
1 -4.83 -1.75 -3.41000 11.62810 0.21500 0.04622
2 3.38 -1.21 4.80000 23.04000 0.75500 0.57002
3 3.59 2.13 5.01000 25.10010 4.09500 16.76902
4 3.04 -1.84 4.46000 19.89160 0.12500 0.01562
5 -1.83 -1.16 -0.41000 0.16810 0.80500 0.64802
6 -9.18 -4.91 -7.76000 60.21760 -2.94500 8.67303
7 1.05 -8.26 2.47000 6.10090 -6.29500 39.62702
8 -2.92 -11.69 -1.50000 2.25000 -9.72500 94.57562
9 -6.81 -2.65 -5.39000 29.05210 -0.68500 0.46923
10 -6.85 3.92 -5.43000 29.48490 5.88500 34.63322
11 2.04 0.22 3.46000 11.97160 2.18500 4.77423
12 -0.1 -2.47 1.32000 1.74240 -0.50500 0.25503
13 3.17 -3.6 4.59000 21.06810 -1.63500 2.67323
14 -3.61 -3.61 -2.19000 4.79610 -1.64500 2.70602
15 -1.31 2.79 0.11000 0.01210 4.75500 22.61003
16 2.25 8.12 3.67000 13.46890 10.08500 101.70722
17 -5.75 -8.59 -4.33000 18.74890 -6.62500 43.89062
18 -6.06 -1.43 -4.64000 21.52960 0.53500 0.28622
19 0.02 -1.12 1.44000 2.07360 0.84500 0.71402
20 2.31 -2.19 3.73000 13.91290 -0.22500 0.05063
Вычислим произведение .Извлечем из последнего числа квадратный корень, получим значение σxσy.σxσy = 17.234861Вычислим коэффициент корреляции по формуле
Rx,y
= cov( X,Y )
σxσy
= 4.218535 / 17.234861 = 0.244768
Полученные коэффициенты корреляции и ковариации запишем в первую строку, второй столбец, а также вторую строку и первый столбец матриц ковариации и корреляции соответственно.
В ковариационной матрице диагональные элементы равны квадратам соответствующих среднеквадратических отклонений , в корреляционной — единицам.
Вычисляя аналогично коэффициенты для оставшихся пар случайных величин, получаем матрицы:
1) ковариационная матрица:
2) корреляционная матрица
7. Для случайных величин X1, X2 проверить гипотезу о равенстве мат. ожиданий
Выдвинем гипотезы:
Уровень значимости:
По таблице находим
, следовательно, гипотезу о равенстве мат. ожиданий принимаем.
8. Для случайных величин X1, X2 проверить гипотезу о равенстве дисперсий
Выдвинем гипотезы:
Уровень значимости:
и , следовательно, гипотезу о равенстве дисперсий принимаем.
9. Проверить гипотезу об однородности двух выборок X1, X2, беря по 10 первых значений из каждой выборки.
Уровень значимости:
Используем критерий Стьюдента
Определим выборочные средние и дисперсии для каждой из выборок (берем по 10 элементов)
По
Andreevich15 4.6
Практические навыки в программирования на С/С++/С#, Python. Умение проектировать информационные системы, реляционные базы данных ( SQL server , MySQL server 4.0, Microsoft Access). Буду рад сотрудничеству на взаимовыгодных условиях)
На странице представлен фрагмент
Уникализируй или напиши новое задание с помощью нейросети
