В ящике 10 деталей среди которых 6 окрашенных Сборщик наудачу извлекает 4 детали

1. В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение:

Для решения задачи используем классическое определение вероятности:
P=mn.
Количество всевозможных исходов равно количеству способов выбрать 4 детали из 10:
n=С104=10!4!∙6!=7∙8∙9∙101∙2∙3∙4=7∙3∙10=210.
Количество благоприятствующих исходов равно количеству способов выбрать 4 детали из 6 окрашенных:
m=С64=6!4!∙2!=5∙61∙2=5∙3=15.
Значит, искомая вероятность:
P=15210≈0,07.

Ответ: 0,07.

2. Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попадет хотя бы один раз.

Решение:

Вероятность попадания в цель при каждом из трёх выстрелов равна соответственно: PA1=0,8, PA2=0,7, PA1=0,6.
Событие A= {охотник попадет в цель хотя бы один раз} противоположно событию A= {охотник не попадет в цель ни разу}. Вероятность события A найдем при помощи теоремы умножения вероятностей:
PA=PA1A2A3=PA1∙PA2∙PA3=1-PA1∙1-PA2∙1-PA3=1-0,8∙1-0,7∙1-0,6=0,2∙0,3∙0,4=0,024,
тогда искомая вероятность равна:
PA=1-PA=1-0,024=0,976.

Ответ: 0,976.

3. Вычислить Pnk вероятность наступления события А ровно k раз в серии из n независимых испытаний, если p-вероятность наступления этого события в одном испытании.
а) p=0,36, k=150, n=400;
б) p=0,6, k=4, n=8.
Найти Pnk1, k2-вероятность наступления события не менее k1 раз и не более k2 раз.
в) p=0,6, k1=366, k2=372, n=600.

Решение:

а) p=0,36, k=150, n=400, q=1-p=1-0,36=0,64.
Так как npq=400∙0,36∙0,64=92,16>9, используем локальную теорему Лапласа:
Pnk≈1npq∙φk-npnpq,
где φx-функция Гаусса.
Находим:
P400150≈1400∙0,36∙0,64∙φ150-400∙0,36400∙0,36∙0,64=19,6∙φ0,625.
По таблице значений функции Гаусса находим: φ0,625=0,32815,
значит, искомая вероятность
P400150=19,6∙0,32815≈0,034.

б) p=0,6, k=4, n=8, q=1-p=1-0,6=0,4.
Так как npq=8∙0,6∙0,4=1,92<9, используем формулу Бернулли:
Pnk=Cnk∙pk∙qn-k,P84=C84∙0,64∙0,48-4 =8!4!∙4!∙0,64∙0,44=5∙6∙7∙81∙2∙3∙4∙0,244=5∙7∙2∙0,244≈0,232.

в) Используем интегральную теорему Лапласа:
Pk1;k2≈Фk2-npnpq-Фk1-npnpq.
p=0,6, k1=366, k2=372, n=600, q=1-p=1-0,6=0,4.

Находим:
P366;372≈Ф372-600∙0,6600∙0,6∙0,4-Ф366-600∙0,6600∙0,6∙0,4=Ф1-Ф0,5,
по таблице значений функции Лапласа определяем:
Ф1=0,3413, Ф0,5=0,1915,
значит, искомая вероятность:
P366;372≈0,3413-0,1915=0,1498.

Ответ: а) 0,034;б) 0,232;в) 0,1498.

4. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: № 1 (мало рискует), № 2 (рискует средне), № 3 (рискует сильно). Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших автомобили, 30% принадлежат к классу № 1, 50% – к классу № 2 и 20% – к классу № 3. Вероятность того, что в течение года водитель класса № 1 попадет хотя бы в одну аварию, равна 0,01, для водителя класса № 2 эта вероятность равна 0,02, а для водителя класса № 3 – 0,08. Найти вероятность того, что водитель, застраховавший свою машину, попадет в аварию в течение года.

Решение:

Введем полную группу гипотез:
H1-водитель класса № 1,
H2-водитель класса № 2,
H3-водитель класса № 3.
Вероятности гипотез даны в условии задачи:
PH1=30%=0,3; PH2=50%=0,5; PH3=20%=0,2.

В результате события наблюдалось событие A={водитель, застраховавший свою машину, попал в аварию в течение года}. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:
PAH1=0,01; PAH2=0,02; PAH3=0,08.

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:
PA=PH1∙PAH1+PH2∙PAH2+PH3∙PAH3=0,3∙0,01+0,5∙0,02+0,2∙0,08=0,029.

Ответ: 0,029.

5. Дан закон распределения дискретной случайной величины X.

X
-1
0
1
2
P
0,2
0,3
0,4
0,1

Найти функцию распределения Fx, F(1) и вычислить вероятность P(-1;2) – вероятность того, что случайная величина X примет значения из промежутка -1;2. Построить многоугольник распределения.

Решение:

Найдем функцию распределения:

Fx=0, x≤-1,0,2, -1<x≤0,0,2+0,3=0,5, 0<x≤1,0,5+0,4=0,9, 1<x≤2,0,9+0,1=1, x>2;=0, x≤-1,0,2, -1<x≤0,0,5, 0<x≤1,0,9, 1<x≤2,1, x>2;
Находим:
F1=0,5.
Вероятность того, что случайная величина X примет значения из промежутка -1;2 равна:
P-1;2=F2-F-1=1-0=1.
Построим многоугольник распределения:

6. Известна функция распределения

Fx=0, x≤0,0,3, 0<x≤2,0,6, 2<x≤3,1, x>3.

Выразить закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

Решение:

p1=0,3-0=0,3;
p2=0,6-0,3=0,3;
p3=1-0,6=0,4,
значит,

X
0
2
3
P
0,3
0,3
0,4

7. Дан закон распределения дискретной случайной величины. Вычислить ее математическое ожидание и дисперсию

X
90 95 100 105 110
P
0,08 0,12 0,52 0,16 0,12

Решение:

Математическое ожидание:
MX=x1pi=90∙0,08+95∙0,12+100∙0,52+105∙0,16+110∙0,12=100,6;

Дисперсия:
DX=x12pi-MX2=902∙0,08+952∙0,12+1002∙0,52+1052∙0,16+1102∙0,12-100,62=26,64.

8. Монету бросают три раза. Случайная величина A-число выпадений герба. Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины A.

Решение:

Случайная величина A может принимать следующие значения:0, 1, 2, 3.
Найдем вероятности, соответствующие каждому значению.
Используем формулу Бернулли:
Pnk=Cnk∙pk∙qn-k,
n=3, p=q=0,5, k=0, 1, 2, 3.
PA=0=P3(0)=C30∙p0∙q3=3!0!∙3!∙0,50∙0,53=1∙1∙0,125=0,125;
PA=1=P31=C31∙p1∙q2=3!1!∙2!∙0,51∙0,52=3∙0,5∙0,25=0,375;
PA=2=P32=C32∙p2∙q1=3!2!∙1!∙0,52∙0,51=3∙0,25∙0,5=0,375;
PA=3=P3(3)=C33∙p3∙q0=3!3!∙0!∙0,53∙0,50=1∙0,125∙1=0,125.
Запишем закон распределения:

A
0 1 2 3
P
0,125
0,375
0,375
0,125

Проверка:
pi=0,125+0,375+0,375+0,125=1.
Находим математическое ожидание:
MA=ai∙pi=0∙0,125+1∙0,375+2∙0,375+3∙0,125=1,5.

9. Составить закон распределения случайной величины X.
Среди 10 участников международной конференции английским языком владеют 5 человек, остальные общаются на немецком. Наудачу отобрано 3 участника. Случайная величина X – число участников, владеющих английским языков, среди отобранных.

Решение:

Случайная величина X может принимать следующие значения:0, 1, 2, 3.
Найдем вероятности, соответствующие каждому значению.
Вероятность того, что отдельно взятый участник владеет английским языком равна p=510=0,5.
Используем формулу Бернулли:
Pnk=Cnk∙pk∙qn-k,
n=3, p=q=0,5, k=0, 1, 2, 3.
PX=0=P3(0)=C30∙p0∙q3=3!0!∙3!∙0,50∙0,53=1∙1∙0,125=0,125;
PX=1=P31=C31∙p1∙q2=3!1!∙2!∙0,51∙0,52=3∙0,5∙0,25=0,375;
PX=2=P32=C32∙p2∙q1=3!2!∙1!∙0,52∙0,51=3∙0,25∙0,5=0,375;
PX=3=P3(3)=C33∙p3∙q0=3!3!∙0!∙0,53∙0,50=1∙0,125∙1=0,125.
Запишем закон распределения:

X
0 1 2 3
P
0,125
0,375
0,375
0,125

10. Случайная величина X задана функцией распределения:

Fx=0, x≤1,ax-13, 1<x≤2,1, x>2.

Найти:
а) плотность распределения вероятностей f(x);
б) неизвестный параметр a;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (1,5; 2);
г) математическое ожидание M[x] и дисперсию D[x];
д) вероятность того, что в результате n=400 независимых испытаний случайная величина X примет k=340 раз значение, заключенное в интервале (1,5; 2).

Решение:

Плотность распределения вероятностей равна:
fx=F’x=0, x≤1,3ax-12, 1<x≤2,0, x>2.
Неизвестный параметр a найдем из условия нормировки
-∞+∞fxdx=1:
123ax-12dx=3a12x-12dx=a∙x-1312=a∙2-13-1-13=a=1, ⟹a=1.
Значит, функция распределения
Fx=0, x≤1,x-13, 1<x≤2,1, x>2,
плотность распределения вероятностей
fx=0, x≤1,3x-12, 1<x≤2,0, x>2.
Вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (1,5; 2):
P1,5<X<2=F2-F1,5=2-13-1,5-13=1-0,125=0,875.
Найдем математическое ожидание:
Mx=-∞+∞x∙fxdx=12x∙3x-12dx=312(x3-2×2+x)dx=3∙x44-2×33+x2212=3∙244-2∙233+222-144-2∙133+122=3∙4-163+2-14+23-12=74.
Найдем дисперсию:
Dx=-∞+∞x2∙fxdx-Mx2=12×2∙3x-12dx-742=312×4-2×3+x2dx-4916=3∙x55-x42+x3312-4916=3∙255-242+233-155-142+133-4916=3∙325-162+83-15+12-13-4916=3∙192-240+80-6+15-1030-4916=3110-4916=6160=380.

Найдем вероятность того, что в результате n=400 независимых испытаний случайная величина X примет k=340 раз значение, заключенное в интервале (1,5; 2).
Вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (1,5; 2) равнаp=0,875.
Используем локальную теорему Лапласа:
Pnk≈1npq∙φk-npnpq,
где φx-функция Гаусса.
Находим:
P400340≈1400∙0,875∙0,125∙φ340-400∙0,875400∙0,875∙0,125=16,6∙φ-1,51.
По таблице значений функции Гаусса находим:
φ-1,51=φ1,51=0,1276,
значит, искомая вероятность
P400340=16,6∙0,1276≈0,019.

11. Случайная величина X задана плотностью вероятности:
f(x)=0, x<-1,-2x, -1<x<0,0, x>0.
Найти:
а) функцию распределения Fx;
б) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (-0,5; -0,25);
в) математическое ожидание M[x];
г) вероятность того, что в результате n=100 независимых испытаний случайная величина X примет значение, заключенное в интервале -0,5; -0,25 от k1=25 до k2=40 раз.

Решение:

Найдем функцию распределения F(x) по определению
Fx=-∞xftdt.
Получаем:
при x<-1 fx=0, значит,
Fx=-∞x0dt=0;
при -1<x<0 fx=-2x, значит,
Fx=-∞-10dt+-1x-2tdt=0-t2-1x=-x2;
при x>0 fx=0, значит,
Fx=-∞00dt+-10-2tdt+0+∞0dt=0-t2-10+0=-0-1=1,

значит, функция распределения F(x) имеет вид:

Fx=0, x<-1,-x2, -1<x<0,1, x>0.

Вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (-0,5; -0,25):
P-0,5<X<-0,25=F-0,25-F-0,5=–0,252—0,52=-0,0625+0,25=0,1875.
Найдем математическое ожидание:
Mx=-∞+∞x∙fxdx=-10x∙(-2x)dx=-2-10x2dx=-2∙x33-10=-20–13=-23.
Вероятность того, что в результате n=100 независимых испытаний случайная величина X примет значение, заключенное в интервале -0,5; -0,25 от k1=25 до k2=40 раз найдем, используя интегральную функцию Лапласа
Pk1;k2≈Фk2-npnpq-Фk1-npnpq.
Вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале -0,5; -0,25равна p=0,1875, тогда q=1-p=1-0,1875=0,8125.
Находим:
P25;40≈Ф40-100∙0,1875100∙0,1875∙0,8125-Ф25-100∙0,1875100∙0,1875∙0,8125=Ф5,45-Ф1,60,
по таблице значений функции Лапласа определяем:
Ф5,45=0,5, Ф1,60=0,4452,
значит, искомая вероятность:
P25;372≈0,5-0,4452=0,0548.

12. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,5;3,7]. Записать f(x), вычислить Mx, Dx.

Решение:

Плотность равномерного распределения на отрезке [a;b] имеет вид:
fx=0, x<a,1b-a, a≤x≤b,0, x>b.
В нашем случае:
fx=0, x<1,5,12,2, 1,5≤x≤3,7,0, x>3,7.

Вычисляем математическое ожидание:
Mx=a+b2=1,5+3,72=2,6.
Вычисляем дисперсию:
Dx=b-a212=3,7-1,5212≈0,4.

13. Распределение случайной величины X подчинено показательному закону с параметром λ=0,2. Записать f(x), вычислить Mx, Dx.

Решение:

Показательное распределение имеет плотность вероятности
fx=0, x<0,λ∙e-λx, x≥0,
значит,
fx=0, x<0,0,2∙e-0,2x, x≥0.
Вычисляем математическое ожидание:
Mx=1λ=10,2=5.
Вычисляем дисперсию:
Dx=1λ2=10,22=25.

14. Распределение случайной величины X подчинено нормальному закону с параметрами a=6, σ=5. Записать fx, Fx, вычислить P(2;12), PX-a<6.

Решение:

Плотность распределения нормального распределения имеет вид:
fx=1σ2π∙e-x-a22σ2,
в нашем случае
fx=152π∙e-x-6250.
Функция распределения:
Fx=1σ2π-∞xe-x-a22σ2dx.
Вероятность попадания случайной величины X в интервал (α; β) определяется по формуле:
Pα<X<β=Фβ-aσ-Фα-aσ,
где Фx-интервальная функция Лапласа.
Находим:
P2<X<12=Ф12-65-Ф2-65=Ф1,2-Ф-0,8=Ф1,2+Ф0,8,
по таблице значений функции Лапласа находим:
Ф1,2=0,3849, Ф0,8=0,2881,
значит, искомая вероятность
P2<X<12=0,3849+0,2881=0,673.
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания не превзойдет по своей величине числа ε=6, найдем по формуле:
Px-a<ε=2∙Фεσ,
значит,
Px-6<6=2∙Ф65=2∙Ф1,2,
по таблице значений функции Лапласа находим:
Ф1,2=0,3849,
значит,
Px-6<6=2∙0,3849=0,7698.

15. Известен закон распределения двумерной случайной величины X, Y.
x
y
2 4 6 7
1 0,01 – 0,10 –
2 0,06 0,02 – 0,10
3 0,15 0,30 0,05 0,21

а) найти законы распределения составляющих и их числовые характеристики (MX, DX, MY, DY);
б) составить условные законы распределения составляющих и вычислить соответствующие математические ожидания;
в) построить поле распределения и линию регрессии Y по X и X по Y;
г) вычислить корреляционный момент (коэффициент корреляции) Mxy и коэффициент корреляции rxy.

Решение:

а) найдем законы распределения случайных величин X и Y.
Возможные значения случайной величины X – это числа 2, 4, 6 и 7. Вероятности:
PX=2=0,01+0,06+0,15=0,22,PX=4=0,02+0,30=0,32;PX=6=0,10+0,05=0,15;PX=7=0,10+0,21=0,31.
Для случайной величины X получаем распределение

X
2 4 6 7
P
0,22 0,32 0,15 0,31

Ряд распределения компоненты Y получаем аналогично. Возможные значения случайной величины Y – это 1, 2 и 3. Соответствующие им вероятности равны:
PY=1=0,01+0,10=0,11;PY=2=0,06+0,02+0,10=0,18;
PY=3=0,15+0,30+0,05+0,21=0,71.

Получаем:

Y
1 2 3
P
0,11 0,18 0,71

Из таблиц распределения случайных величин X и Y находим:
Математическое ожидание случайной величины X:
MX=xipi=2∙0,22+4∙0,32+6∙0,15+7∙0,31=4,79,
дисперсия:
DX=xi2pi-MX2=22∙0,22+42∙0,32+62∙0,15+72∙0,31-4,792=3,65,
среднее квадратическое отклонение:
σX=DX=3,65≈1,91.

Находим математическое ожидание случайной величины Y:
MY=1∙0,11+2∙0,18+3∙0,71=2,6,
дисперсия:
DY=12∙0,11+22∙0,18+32∙0,71-2,62=0,46,
среднее квадратическое отклонение:
σY=DY=0,46≈0,68.

б) найдем условные законы распределения.
Для вычисления условной вероятности воспользуемся формулой:
pAB=p(AB)p(B).
Условный закон распределения X (Y = 1):
pX=2Y=1=pX = 2;Y = 1pY=1=0,010,11=0,09,
pX=4Y=1=p{X = 4;Y = 1}p{Y=1}=00,11=0,
pX=6Y=1=p{X = 6;Y = 1}p{Y=1}=0,10,11=0,91,
pX=7Y=1=p{X = 7;Y = 1}p{Y=1}=00,11=0.

X
2 4 6 7
PY= 1
0,09 0 0,91 0

Условный закон распределения X (Y = 2):
pX=2Y=2=pX = 2;Y = 2pY=2=0,060,18=0,33,
pX=4Y=2=p{X = 4;Y = 2}p{Y=2}=0,020,18=0,11,
pX=6Y=2=p{X = 6;Y = 2}p{Y=2}=00,18=0,
pX=7Y=2=p{X = 7;Y = 2}p{Y=2}=0,100,18=0,56.

X
2 4 6 7
PY= 2
0,33 0,11 0 0,56

Условный закон распределения X (Y = 3):
pX=2Y=3=pX = 2;Y = 3pY=3=0,150,71=0,21,
pX=4Y=3=p{X = 4;Y = 3}p{Y=3}=0,300,71=0,42,
pX=6Y=3=p{X = 6;Y = 3}p{Y=3}=0,050,71=0,07,
pX=7Y=3=p{X = 7;Y = 3}p{Y=3}=0,210,71=0,30.

X
2 4 6 7
PY= 3
0,21 0,42 0,07 0,30

Условный закон распределения Y (X = 2):
pY=1X=2=pY = 1;X = 2pX=2=0,010,22=0,05,
pY=2X=2=pY = 2;X = 2pX=2=0,060,22=0,27,
pY=3X=2=pY = 3;X = 2pX=2=0,150,22=0,68

Y
1 2 3
PX=2
0,05 0,27 0,68

Условный закон распределения Y (X = 4):
pY=1X=4=pY = 1;X = 4pX=4=00,32=0,
pY=2X=4=pY = 2;X = 4pX=4=0,020,32=0,06,
pY=3X=4=pY = 3;X = 4pX=4=0,300,32=0,94

Y
1 2 3
PX=4
0 0,06 0,94

Условный закон распределения Y (X = 6):
pY=1X=6=pY = 1;X = 6pX=6=0,100,15=0,67,
pY=2X=6=pY = 2;X = 6pX=6=00,15=0,
pY=3X=6=pY = 3;X = 6pX=6=0,050,15=0,33.

Y
1 2 3
PX=6
0,67 0 0,33

Условный закон распределения Y (X = 7):
pY=1X=7=pY = 1;X = 7pX=6=00,31=0,
pY=2X=7=pY = 2;X = 7pX=6=0,100,31=0,32,
pY=3X=7=pY = 3;X = 7pX=7=0,210,31=0,68.

Y
1 2 3
PX=7
0 0,32 0,68

в) Вычисляем условные математические ожидания дискретных случайных величин X и Y, используя соответственно следующие формулы:
M(Y/X=x)=j=1nyi∙P(Y=yi/X=x):
при X=2, myx1=my2=1∙0,05+2∙0,27+3∙0,68=2,63,
при X=4, myx2=my4=1∙0+2∙0,06+3∙0,94=2,94,
при X=6, myx3=my6=1∙0,67+2∙0+3∙0,33=1,66,
при X=7, myx4=my7=1∙0+2∙0,32+3∙0,68=2,68
Линией регрессии Y на X будет являться ломаная, проходящая через точки (2; 2,63), (4; 2,94), (6; 1,66), (7; 2,68) на плоскости с введенной системой координат (x, myx):

M(X/Y=y)=i=1mxi∙P(X=xi/Y=y),

при Y=1, mxy1=mx1=2∙0,09+4∙0+6∙0,91+7∙0=5,64,
при Y=2, mxy2=mx2=2∙0,33+4∙0,11+6∙0+7∙0,56=5,02,
при Y=3, mxy3=mx3=2∙0,21+4∙0,42+6∙0,07+7∙0,30=4,62.
Линией регрессии X на Y будет являться отрезок прямой, проходящий через точки (5,64; 1), (5,02; 2), (4,62; 3) на плоскости с введенной системой координат (mxy;y):

г) Математическое ожидание случайной величины XY:
MXY=i=14j=13xi∙yj∙pij=2∙1∙0,01+2∙2∙0,06+2∙3∙0,15+4∙2∙0,02+4∙3∙0,30+
+ 6∙1∙0,10+6∙3∙0,05+7∙2∙0,10+7∙3∙0,21=12,23.
Ковариация равна:
Mxy=MXY-MX∙MY=12,23-4,79∙2,6=-0,22,
Коэффициент корреляции:
rxy=Mxyσx∙σy=-0,221,91∙0,68=-0,16.

16. Составить двумерный закон распределения случайной величины X, Y, если известны законы независимых составляющих. Чему равен коэффициент корреляции rxy?

X
-4
0
4
8
P
0,1 0,4 0,4 0,1

Y
-1
0
1
P
0,2 0,6 0,2

Решение:
Составим двумерный закон распределения случайной величины X, Y:
PiJ=PX=xi∙PY=yj.

x
y
-4 0 4 8
-1 0,02 0,08 0,08 0,02
0 0,06 0,24 0,24 0,06
1 0,02 0,08 0,08 0,02

Коэффициент корреляции равен нулю, так как случайные величины независимы.

Andreevich15 4.6

Практические навыки в программирования на С/С++/С#, Python. Умение проектировать информационные системы, реляционные базы данных ( SQL server , MySQL server 4.0, Microsoft Access). Буду рад сотрудничеству на взаимовыгодных условиях)

Нанять автора