В партии из 10 ламп 4 бракованные Какова вероятность того

1. В партии из 10 ламп 4 бракованные. Какова вероятность того, что из 2-х наугад выбранных ламп окажутся: 1 исправная и 1 бракованная?

Решение:

Выбрать две лампы из десяти можно следующим количеством способов:
n=C102=10!2!∙10-2!=10!2!∙8!=9∙101∙2=9∙5=45.
Выбрать одну лампу из четырех бракованных и одну исправную лампу из 6, можно следующим количеством способов:
n=C41∙C61=4!1!∙4-1!∙6!1!∙6-1!=4!1!∙3!∙6!1!∙5!=4∙6=24.
Искомую вероятность найдем, используя классическое определение вероятности:
PA=nm=2445≈0,53=53%.
Ответ: 53%.

2. Спортсмен делает не более 3-х попыток взять высоту. Вероятность успеха при каждой попытке равна 0,4. Какова вероятность того, что высота будет взята, если последующая попытка осуществляется только при неуспехе предыдущей? Какова вероятность того, что высота будет взята со второй попытки?

Решение:

Пусть событие A = (высота взята). Его вероятность при каждой попытке PA=0,4.
Вероятность события B = (высота взята с первой попытки или не взята с первой попытки и взята со второй попытки, или высота не взята с первой и второй попытки и взята с третьей) найдем, используя теоремы сложения и умножения вероятностей:
PB=PA+PA∙PA+PA∙PA∙PA=0,4+1-0,4∙0,4+1-0,4∙1-0,4∙0,4=0,4+0,24+0,144=0,784=78,4%.
Вероятность события С = (не взята с первой попытки и взята со второй) найдем, используя теоремы сложения и умножения вероятностей:
PB=PA∙PA=1-0,4∙0,4=0,24=24%.
Ответ: 78,4%; 24%.

3. В отделе 5 «отличных», 7 «хороших», 4 «удовлетворительных» и 4 «слабых» сотрудников. Вероятности того, что сотрудники выполнят некое поручение, для каждой категории соответственно равны 0,9, 0,7, 0,6 и 0,5. Наудачу вызванный сотрудник из трёх однотипных поручений выполнил все три. Какова вероятность того, что этот сотрудник «отличный»?

Решение:

Введем полную группу гипотез:
H1 – вызванный сотрудник «отличный»;
H2 – вызванный сотрудник «хороший»;
H3 – вызванный сотрудник «удовлетворительный»;
H4 – вызванный сотрудник «слабый».
Найдем вероятности гипотез по классическому определению вероятностей:
PH1=55+7+4+4=520;
PH2=75+7+4+4=720;
PH3=45+7+4+4=420;
PH4=45+7+4+4=420.
Найдем вероятность события A – {Наудачу вызванный сотрудник из трёх однотипных поручений выполнил все три} для каждого «вида» сотрудников.
Для «отличных» сотрудников:
PA|H1=0,93=0,729.
Для «хороших» сотрудников:
PA|H2=0,73=0,343.
Для «удовлетворительных» сотрудников:
PA|H3=0,63=0,216.
Для «слабых» сотрудников:
PA|H4=0,53=0,125.
Вероятность того, что вызванный сотрудник, выполнивший все три поручения «отличный», найдем по формуле Байеса:
PH1A=PH1∙PA|H1PH1∙PA|H1+PH2∙PA|H2+PH3∙PA|H3+PH4∙PA|H4=520∙0,729520∙0,729+720∙0,343+420∙0,216+420∙0,125=3,645207,4120=3,6457,41≈0,49=49%.
Ответ: 49%.

5. Известно, что в районе находится подводная лодка. Вероятность обнаружения лодки за один вылет вертолета-разведчика p=0,3. Производятся последовательные вылеты до обнаружения лодки. Для ДСВ – числа сделанных вылетов построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Определить вероятность обнаружения за не более чем три вылета. Показать эту вероятность на графике функции распределения.

Решение:

Дискретная случайная величина Х – число сделанных вылетов может принимать бесконечное число значений.
Ряд ее распределения имеет вид:

X
1 2 3 … n
P
0,3 0,7∙0,3
0,72∙0,3
… 0,7n-1∙0,3

Построим график функции распределения:

Найдем математическое ожидание по формуле для бесконечного ряда распределения:
MX=1p=10,3≈3;
Найдем дисперсию по формуле для бесконечного ряда распределения:

DX=pq=0,3∙0,7=0,21.
Определим вероятность обнаружения за не более чем три вылета:
PX≤3=PX=1+PX=2+PX+3=0,3+0,7∙0,3+0,72∙0,3=0,657.
Покажем эту вероятность на графике функции распределения:

6. Плотность распределения для непрерывной случайной величины выражается формулой:
px=Ax-22, x∈[2;4];0, x∉[2;4].
Найти: A, математическое ожидание для этой непрерывной случайной величины. Определить вероятность P2<X<2+132. Построить графики функции распределения и плотности распределения и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

Решение:

Найдем значение из условия нормировки
-∞+∞pxdx=1:
24Ax-22dx=A24x-22dx=A∙x-23324=A3∙4-23-2-23=A3∙23-03=8A3=1,
откуда
A=38.
Тогда плотность распределения:
px=38x-22, x∈[2;4];0, x∉[2;4].
Найдем математическое ожидание:
MX=-∞+∞x∙pxdx=24x∙38x-22dx=3824×3-4×2+4xdx=38∙x44-4×33+4×2224=38∙444-4∙433+4∙422-244-4∙233+4∙222=38∙64-2563+32-4-323+8=38∙283=3,5.
Дисперсия:
DX=-∞+∞x2∙pxdx-MX2=24×2∙38x-22dx-3,52=3824×4-4×3+4x2dx-12,25=38∙x55-4×44+4×3324-12,25=38∙455-4∙444+4∙433-255-4∙244+4∙233-12,25=38∙10245-256+2563-325-16+323-12,25=38∙49615-12,25=625-12,25=0,15.
Найдем функцию распределения по формуле:
Fx=-∞xp(t)dt.
При x<2 px=0, значит,
Fx=-∞x0dt=0.
При 2≤x≤4 px=38x-22, значит,
Fx=-∞20dt+2x38t-22dt=0+38∙t-2332x=x-238.
При x>4 px=0, значит,
Fx=-∞20dt+2438x-22dx+4+∞0dt=0+1+0=1.
Функция распределения:
Fx=0, x<2,x-238, 2≤x≤4,1, x>4.
Найдем вероятность P2<X<2+132:
P2<X<2+132=F2+132-F2=2+132-238-2-238=116-0≈0,0625.
Построим графики функции распределения и плотности распределения и покажем на графиках найденную вероятность:

WorkerA 4.9

Педагогический опыт работы. Опыт работы в сфере менеджмента, маркетинга и экономики. Управленческий опыт работы. Большой опыт выполнения разного рода работ, в том числе диссертаций (кандидатские, докторские, PhD, MBA, DBA).

Нанять автора