В коробке находятся 5 деталей первого сорта и 3 —второго сорта

8. В коробке находятся 5 деталей первого сорта и 3 —второго сорта. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа деталей второго сорта среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
РЕШЕНИЕ
Количество отобранных деталей не указано, считаем их равным 3.
Количество деталей второго сорта среди трех отобранных может быть 0,1,2,3. Найдем вероятности по формуле , где m -число элементарных исходов, благоприятствующих событию , n – число всех возможных исходов.
Х=0 (среди отобранных нет деталей второго сорта). В данном случае число возможных исходов – число способов выбрать 3 детали из восьми: n==56
Число благоприятных исходов – число способов выбрать три детали из пяти первого сорта.
P(х=0)=
Х=1 (среди деталей одна второго сорта). Число благоприятных исходов – число способов выбрать две детали из пяти первого сорта при одновременном выборе одной из трех второго сорта.
m==30 P(х=1)=
Х=2 (среди деталей две второго сорта). Число благоприятных исходов – число способов выбрать одну деталь из пяти первого сорта при одновременном выборе двух из трех второго сорта.
m= P(х=2)=
Х=3 (среди деталей три второго сорта). m= P(х=3)=
Запишем закон распределения:
хi
0 1 2 3
рi
5/28 15/28 15/56 1/56

Найдем математическое ожидание
M(х)=хiрi=
Найдем дисперсию:
D(х)= M(х2)-(M(х))2=
Найдем среднее квадратичное отклонение (x)==0,709
Построим многоугольник распределения:

9. Дифференциальная функция f(x) случайной величины X равна:

Найти коэффициент a, интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(1<X<1,5). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение  (X).
РЕШЕНИЕ
Для нахождения коэффициента а воспользуемся следующим свойством:
Найдем интегральную функцию распределения, воспользовавшись формулой: F(x) =

Найдем математическое ожидание:

Найдем дисперсию случайной величины:
D(x) = M(x2) – M2(x)

D(x)=
Среднее квадратическое отклонение: (x)==0,276
Определим вероятность того, что P(1<x<1,5):
P(1<x<1,5)=F(1,5)-F(1)=
Построим графики:

10. Автомат штампует детали. Контролируется длина X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 134,7<X<135,3 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 134,9 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?
РЕШЕНИЕ
Вероятность попадания случайной величины в симметричный относительно математического ожидания интервал находится по формуле:

где а – математическое ожидание
– среднее квадратическое отклонение.
Определим величину . Фактическая длина изготовленных деталей 134,7<X<135,3 мм, т.е. отклоняется от математического ожидания на 0,3 мм. Вероятность попадания случайной величины Х – длины детали в этот интервал равна 1

Вероятность попадания в несимметричный интервал:

Найдем вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 134,9 мм

Найдем отклонение длины детали от a, которое можно гарантировать с вероятностью 0,96

Найдем, в каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей. Для этого сначала найдем отклонение

Тогда длины деталей заключены в интервале
(135-0,225; 135+0,225)=( 134,775; 135,225) мм

11. На основе данных о результатах 49ти измерений содержания солода в пиве “Балтика”No6 сформировать таблицу значений относительных
No c[%] No c[%] No c[%] No c[%] No c[%] 1 3,5 11 8,2 21 9,6 31 10,6 41 12,1
2 4,5 12 8,4 22 9,7 32 10,7 42 12,3
3 5,8 13 8,6 23 9,8 33 10,8 43 12,5
4 6,2 14 8,8 24 9,9 34 10,9 44 12,7
5 6,8 15 9,0 25 10,0 35 11,0 45 12,9
6 7,2 16 9,1 26 10,1 36 11,2 46 13,8
7 7,4 17 9,2 27 10,2 37 11,4 47 14,5
8 7,6 18 9,3 28 10,3 38 11,6 48 15,3
9 7,8 19 9,4 29 10,4 39 11,8 49 15,9
10 8,0 20 9,5 30 10,5 40 12,0
частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.

РЕШЕНИЕ
Объем выборки n=49.
Определим ширину интервала
где хmax – максимальное значение признака; хimin – минимальное значение признака; k – количество интервалов h – ширина интервала.

Построим интервальный вариационный ряд случайной величины X с равными интервалами. Так как ширина интервала округлялась, то начало первого интервала примем равным 3,4, конец интервала 3,4+1,8=5,2
Первый интервал 3,4 – 5,2. В него попадает два значения 3,5 и 4,5, значит n1=2. Второй интервал 5,2-5,2+1,8=5,2-7. В него попадает два значения 5,8 6,2 и 6,8, значит n2=3, и т.д.
Таблица 1 – Интервальный ряд распределения
Интервал 3,4-5,2 5,2-7 7-8,8 8,8-10,6 10,6-12,4 12,4-14,2 14,2-16
Середина интервала хi
4,3 6,1 7,9 9,7 11,5 13,3 15,1
кол-во значений (частота) ni
2 3 9 17 11 4 3
Относительная частота рi= ni/n=ni/49 0,041 0,061 0,184 0,347 0,224 0,082 0,061
Эмпирическая функция распределения pi 0,041 0,102 0,286 0,633 0,857 0,939 1,000

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
РЕШЕНИЕ
Полигон относительных частот представляет точки (хi;pi), соединенные линией:

Рисунок 1 – Полигон относительных частот
Для построения гистограммы изобразим прямоугольники высотой рi, основания которых равны ширине интервала.

Рисунок 2 – Гистограмма относительных частот
График эмпирической функции распределения для интервального ряда представляет собой непрерывную линию

Рисунок 3 – Эмпирическая функция распределения

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
РЕШЕНИЕ
Вычислим показатели вариации. Для этого составим расчетную таблицу
Таблица 1 – Расчет показателей вариации
xi ni
xini
|xi-|2ni
|xi-|3ni
|xi-|4ni
4,3 2 8,6 64,007 -362,094 2048,418
6,1 3 18,3 44,633 -172,155 664,025
7,9 9 71,1 38,087 -78,349 161,176
9,7 17 164,9 1,124 -0,289 0,074
11,5 11 126,5 26,184 40,399 62,330
13,3 4 53,2 44,699 149,422 499,495
15,1 3 45,3 79,347 408,070 2098,646
Сумма 49 487,9 298,080 -14,997 5534,163

Выборочная средняя:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент асимметрии:
=-0,02
Коэффициент эксцесса:
=0,052
Изобразим выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
РЕШЕНИЕ
Плотность вероятности нормально распределения имеет вид:
В данном случае, приняв а=9,957, =2,466, получим:

Рассчитаем теоретические относительные частоты

Таблица 2 – Расчет теоретический частот нормального распределения
хi
хi+1 ni
zi
zi+1 Ф(zi) Ф(zi+1) pi ni/= npi
3,4 5,2 2 -2,659 -1,929 -0,496 -0,473 0,023 1
5,2 7 3 -1,929 -1,199 -0,473 -0,385 0,088 4
7 8,8 9 -1,199 -0,469 -0,385 -0,181 0,204 10
8,8 10,6 17 -0,469 0,261 -0,181 0,103 0,283 14
10,6 12,4 11 0,261 0,990 0,103 0,339 0,236 12
12,4 14,2 4 0,990 1,720 0,339 0,457 0,118 6
14,2 16 3 1,720 2,450 0,457 0,493 0,036 2
сумма              49 
В данной таблице в первом столбце записываем левые границы частичных интервалов, во втором столбце – правые границы частичных интервалов, в третьем столбце – фактические частоты. Четвертый и пятый столбец вычисляются по формулам zi=(xi-)/ и zi+1=(xi+1-)/, восьмой столбец равен pi=Ф(zi+1)- Ф(zi)
Построим график плотности распределения на гистограмме относительных частот

Построим теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
РЕШЕНИЕ
Доверительный интервал для оценки математического ожидания (при неизвестной генеральной дисперсии) находится по формуле:

где – выборочная средняя
n=49 – объем выборки
s – исправленное среднее квадратическое отклонение,
Для  = 0,95 
t – коэффициент доверия, определяемый по таблице t(49,0,95)=2,01

Для оценки среднего квадратического отклонения применяется формула:
s(1-q)<<s(1+q)
По таблице значений находим q(0.95; 49)=0.21
2,492(1-0.21)< <2,492(1+0.21)
1,969< <3,015
Для  = 0,99
t(49,0,99)=2,679

Для оценки среднего квадратического отклонения применяется формула:
s(1-q)<<s(1+q)
По таблице значений находим q(0.99; 49)=0.30
2,492(1-0.3)< <2,492(1+0.3)
1,744< <3,240

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
РЕШЕНИЕ
Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле: 2набл =
хi
хi+1 ni
ni/
3,4 5,2 2 1 1,00
5,2 7 3 4 0,25
7 8,8 9 10 0,10
8,8 10,6 17 14 0,64
10,6 12,4 11 12 0,08
12,4 14,2 4 6 0,67
14,2 16 3 2 0,50
сумма      3,24

Таким образом, 2набл =
По таблице критических значения распределения 2 в зависимости от уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы r=7-2=5 находим 2крит=11.1. Так как 2набл >2крит , то по данной выборке можно принять нормальный закон генеральной совокупности.
Для уровня значимости =0,01 2крит=15,1- по данной выборке можно принять нормальный закон генеральной совокупности

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij
X

5 8 11 14 17 20
Y 5 2 4

10
6 2

15

3 50 2

20

1 10 6

25

4 7 3
РЕШЕНИЕ
Для вычисления параметров уравнения регрессии составим вспомогательную таблицу:
Y X ny
nyY
nyY2 nxyX
YnxyX

5 8 11 14 17 20

5 2 4

6 30 150 42 210
10
6 2

8 80 800 70 700
15

3 50 2
55 825 12375 767 11505
20

1 10 6
17 340 6800 253 5060
25

4 7 3 14 350 8750 235 5875
nx
2 10 6 64 15 3 100 1625 28875 1367 23350
nxX
10 80 66 896 255 60 1367        
nxX2 50 640 726 12544 4335 1200 19495        

По данным таблицы вычислим

Коэффициент корреляции равен:

Запишем уравнение регрессии У по Х:

Andreevich15 4.6

Практические навыки в программирования на С/С++/С#, Python. Умение проектировать информационные системы, реляционные базы данных ( SQL server , MySQL server 4.0, Microsoft Access). Буду рад сотрудничеству на взаимовыгодных условиях)

Нанять автора