Пусть Х – случайная величина равная числу монет

Вариант 16
1. Пусть Х – случайная величина, равная числу монет, на которых выпал герб при подбрасывании 500 монет. Определить закон распределения и значение математического ожидания функции Y=(X+1)2
Решение:
Вначале определим закон распределения и математическое ожидание случайной величины Х. Вероятность выпадения герба на одной монете равна p=1/2. Случайная величина Х может принимать значения от 0 до 500, соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:
Px=k=C500kpk(1-p)n-k=C500k12k1-12500-k=C500k12500
Закон распределения случайной величины Х имеет вид:
Х 0 1 … k … 500
P(X) 12500
50012500
… C500k12500
… 12500

Математическое ожидание биномиально распределенной случайной величины:
MX=np=500*12=250
Начальный момент второго порядка биномиально распределенной случайной величины:
MX2=npnp+q=250250+1-12=62625
Случайная величина Y может принимать значения от (0+1)2=1 до (500+1)2=251001. Поскольку имеет место однозначное соответствие между значениями Y и X, то вероятности, с которыми Y принимает свои значения, равны соответствующим вероятностям величины Х. Имеем следующий закон распределения случайной величины Y:
Y 1 4 … (k+1)2 … 251001
P(Y) 12500
50012500
… C500k12500
… 12500

Вычислим математическое ожидание Y, используя свойства математического ожидания:
MY=MX+12=MX2+2X+1=MX2+2MX+1
MY=62625+2*250+1=63126

2. Подбрасываются 60 игральных костей. Пусть Х – случайная величина, равная числу игральных костей, на каждой из которых выпавшее количество очков делится на 3. Определить закон распределения и значение математического ожидания функции Y=X(X+1)
Решение:
Вначале определим закон распределения и математическое ожидание случайной величины Х. Вероятность выпасть количеству очков, кратных 3, на одной игральной кости равна p=2/6=1/3 (всего граней у кости – 6, а кратны трем только две из них – грани 3 и 6). Случайная величина Х может принимать значения от 0 до 60, соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:
Px=k=C60kpk(1-p)n-k=C60k13k1-1360-k=C60k260-k360
Закон распределения случайной величины Х имеет вид:
Х 0 1 … k … 60
P(X) 260360
60*259360
… C60k260-k360
… 1360

Математическое ожидание биномиально распределенной случайной величины:
MX=np=60*13=20
Начальный момент второго порядка биномиально распределенной случайной величины:
MX2=npnp+q=2020+1-13=41313
Случайная величина Y может принимать значения от 0*(0+2)=0 до 60*(60+2)=3720. Поскольку имеет место однозначное соответствие между значениями Y и X, то вероятности, с которыми Y принимает свои значения, равны соответствующим вероятностям величины Х. Имеем следующий закон распределения случайной величины Y:
Y 0 3 … k*(k+2) … 3720
P(Y) 260360
60*259360
… C60k260-k360
… 1360

Вычислим математическое ожидание Y, используя свойства математического ожидания:
MY=MX(X+2)=MX2+2X=MX2+2MX
MY=41313+2*20=45313

3. Пусть Х – непрерывная случайная величина, имеющая показательное распределение (при k=3) на интервале [0;2]. Найти функцию распределения и математическое ожидание функции Y=X/3.
Решение:
Плотность непрерывной случайной величины, имеющей показательное распределение с параметром k, имеет вид:
φx=0;x≤0k*e-kx;x>0
Т.е., плотность случайной величины Х имеет вид:
φx=0;x∉[0;2]3*e-3x;x∈[0;2] Случайная величина y=g(x) будет иметь распределение:
φyx=g-1x’*p(g-1(x)), где g-1(x) – функция, обратная g(x).
Т.к. gx=x/3, то g-1x=3x; g-1x’=3
Интервал определения плотности Y:g-10;g-13=3*0;3*2=[0;6] Тогда плотность распределения Y имеет вид:
φYx=0;x∉[0;2]3*3*e-3*3x=9e-9x;x∈[0;6] Т.е. Y – непрерывная случайная величина, имеющая показательное распределение (при k=9) на интервале [0;6] Функция распределения показательного закона:
Fx=0;x≤01-e-kx;x>0
В нашем случае:
FYx=0;x≤01-e-9x;x>0
Математическое ожидание случайной величины, распределённой по показательному закону:
MY=1k=19
PS Строго говоря, функция плотности показательного закона определена на промежутке [0;+∞], а не ограничена небольшим участком числовой оси, как в задаче. И, формально, чтобы нормировать плотность (основное свойство плотности – определенный интеграл от функции плотности на интервале ее определения должен равняться 1) ее необходимо домнаживать на коэффициент вида 11-e-ak , где а – левая граница интервала (2 и 6 для Х и Y соответственно). Но если для Х этот коэффициент даст погрешность вычислений в 3 знаке после запятой, то для Y – только в 24 знаке после запятой, т.е. в рамках нашей задачи об этом можно не упоминать.

4. Пусть Х – непрерывная случайная величина, распределение которой задано плотностью:
φx=152πex2-x-150
Найти математическое ожидание функции Y=X – 1
Решение:
Учитываем, что плотность случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид:
φx=1σ2πe-(x-a)22σ2
Приведем заданную плотность к подобному виду:
φx=152πex2-x-150=152πe-x2+2x-12*52=152πe-(x-1)22*52
Получили, что Х – непрерывная случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием a=1 и стандартным квадратическим отклонением σ=5.
Найдем математическое ожидание Y, используя свойства математического ожидания:
MY=MX-1=MX-1=1-1=0

ketiss35 5.0

Дипломные работы, отчеты по практике, курсовые работы, контрольные, рефераты, статьи, тесты, эссе, доработка ваших работ по праву, психологии, экономике, маркетингу, менеджменту, социологии и т.п. Индивидуальный подход. Опыт 10 лет.

Нанять автора