Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора

Вариант 2

Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, для первого сигнализатора равна 0,95 и 0,9 для второго сигнализатора. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Решение.
По формуле классической вероятности:
Р(А)=mn, где n – общее число исходов, m – благоприятствующее число исходов.
Пусть А: «при аварии сработает только один сигнализатор»
А-« при аварии сработает 0 сигнализаторов».
А1: «при аварии сработает первый сигнализатор»
А2: «при аварии сработает второй сигнализатор»
По условию Р(А1)=0,95, Р(А2)=0,9
Тогда
;
;
,
Используя теорему умножения вероятностей для независимых событий
Р(А)=0,05*0,1=0,005
Тогда искомая вероятность Р(А)=1- Р(А)=1-0,05*0,1=1-0,005=0,995
Ответ:0,995

Найти вероятность того, что событие наступит ровно 8 раз в 20 испытаниях, если вероятность проявления события в каждом испытании равна 0,2.
Решение.
По формуле Бернулли: Рn(m)=Сnmpmqn-m
Р20(8)=С2080,280,812=20!8!12!0,280,812=0.022
Пользовались формулой Сnm=n!m!(n-m)!.

Ответ:0,022

Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), функцию распределения F(X) случайной величины Х.
Решение.
Возможные значения СВ Х-числа извлеченных шаров х0=0, х1=1, х2=2, х3=3
Найдем соответствующие вероятности по формуле Бернулли: Рn(m)=Сnmpmqn-m.
Р(х0=0)=С300,300,73=3!0!3!0,300,73=0.343
Р(х1=1)=С310,310,72=3!1!2!0,310,72=0.441
Р(х2=2)=С320,320,71=3!2!1!0,320,71=0.189
Р(х3=3)=С330,330,70=3!0!3!0,330,70=0.027
Закон распределения примет вид:

Х 0 1 2 3
р 0,343 0,441
0,189
0,027
i=03pi=1, у нас так и есть 0,343+0,441+0,189+0,027=1
Находим математическое ожидание:
М(х)=
Дисперсию находим по формуле: . Тогда:
D(X)=
Найдем функцию распределения F(x)=Р(Хх).
Для имеем F(x)=Р(Х0)=0;
для имеем F(x)=Р(Х1)=Р(Х=0)=0,343;
для F(x)=Р(Х2)=Р(Х=0)+Р(Х=1)=0,784;
для F(x)=Р(Х3)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+ Р(Х=2)=0,973;
для х3 будет F(x)=1, т. к. событие достоверно.
Ответ: 0,9; 0,63
.

При каком значении а функция является плотностью вероятности случайной величины Х? Найти .
Решение.
Для нахождения параметра а пользуемся свойствами функции f(x):
, .
limA→∞A0а1+х2dx+lim B→∞0Ва1+х2dx=alimA→∞arctgx0A+alimВ→∞arctgxB0=aπ2=1

Значит , а=1=2π
Для нахождения функции F(x) используем равенство

Искомая интегральная функция принимает вид

Вероятность попадания случайной величины X в интервал .
или
Ответ : 1

5. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти М(Х), D(X). Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (1,5;2).

Решение.

Находим функцию плотности вероятности по формуле:

Находим математическое ожидание по формуле:

Дисперсию находим по формуле: Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [1.5, 2] находим по формуле:
p(1.5<X<2)=F(2)-F(1.5)=
Ответ: 1

6. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти М(Х).
Решение.
Находим функцию плотности вероятности по формуле:

Находим математическое ожидание по формуле:

Ответ :π2

7. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенную равномерно в интервале (2; 8).
Решение.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение равномерного распределения находятся по формулам:

Ответ: 3, 3

8. С целью определения средней продолжительности рабочего дня на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование продолжительности рабочего дня сотрудников. Из всего коллектива завода случайным образом выбрано 30 сотрудников. Данные табельного учета о продолжительности рабочего дня этих сотрудников и составили выборку. Средняя по выборке продолжительность рабочего дня оказалась равной 6,85 часа, а S=0,7 часа. Считая, что продолжительность рабочего дня имеет нормальный закон распределения, с доверительной вероятностью =0,95 определить, в каких пределах находится действительная средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива данного предприятия.
Решение.
Признак Х – продолжительность рабочего дня. Признак имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами. Сделана выборка объемом n = 30, по выборочным данным найдены точечные оценки параметров распределения: в = 6,85; S = 0,7. С надежностью  = 0,95 найдем интервальную оценку параметра по формуле:

t находим по таблице (прил. 6), t = t(0,95; 30) = 2,045. Тогда:
, или 6,85 – 0,26 < ген < 6,85 + 0,26 .
Итак, 6,59 < ген < 7,11 , то есть с надежностью  = 0,95 средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива лежит в пределах от 6,59 до 7,11 ч.
Ответ: 6,59 < ген < 7,11

9. Изучая зависимость между показателями X и Y, проведено обследование 10 объектов и получены следующие данные
x 120 70 100 55 75 85 110 80 60 95
y 4,6 2,6 4,3 2,4 3,1 3,8 4,2 2,9 2,7 3,4
Полагая, что между X и Y имеет место линейная корреляционная связь, определите выборочное уравнение регрессии и выборочный коэффициент корреляции . Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделайте вывод о направлении и тесноте связи между показателями X и Y.
Решение.
Построим диаграмму рассеяния , отметив в прямоугольной декартовой системе координат точки с координатами – эмпирические данные. Из диаграммы рассеяния видно, что между показателями X и Y действительно наблюдается линейная связь.
Для определения коэффициентов выборочного уравнения регрессии можно воспользоваться, например, следующими формулами

,
,
,
,
.

Тогда параметры и уравнения линейной регрессии и выборочный коэффициент линейной корреляции определим по формулам
,
,
.

Составим расчетную таблицу

x y x2 y2 xy
1 120 4,6 14400 21,16 552
2 70 2,6 4900 6,76 182
3 100 4,3 10000 18,49 430
4 55 2,4 3025 5,76 132
5 75 3,1 5625 9,61 232,5
6 85 3,8 7225 14,44 323
7 110 4,2 12100 17,64 462
8 80 2,9 6400 8,41 232
9 60 2,7 3600 7,29 162
10 95 3,4 9025 11,56 323
850 34 76300 121,12 3030,5

Тогда

,
,
,
,
,
,
.

Тогда выборочное уравнение линейной регрессии примет вид

,
или
.

Выборочный коэффициент линейной корреляции

Таким образом, расчеты подтвердили, что между показателями X и Y наблюдается положительная линейная корреляционная связь (связь прямая, так как ), которая согласно таблице Чеддока можно считать весьма высокой ().
Для построения линии регрессии (прямой) найдем две точки. В качестве одной из них можно выбрать , то есть точку . Вторую точку найдем из уравнения регрессии . При : , то есть точка . Линию регрессии построим на рис.

Учёный 5.0

Знаю множество языков, проходил стажировку в криминалистике, журналистике, менеджменте и истории. Второе высшее - факультет информационных технологий и программирования.

Нанять автора