5-1) -надо подсчитать число способов раскраски 9 деталей когда задействована 1 краска

5-1) -надо подсчитать число способов раскраски 9 деталей, когда задействована 1 краска. Таких способов- шесть.
Задача5-2) если все детали раскрашивать только в 2 цвета, то можно: раскрасить 1 деталь в один цвет, а остальные 8 – в другой цвет; или 2- в один цвет, а 7- в другой; три- в один, а 6- в другой; или 4 деталей в один цвет, а 5- в другой. Всего получается 4 варианта, а каждый из них распадается на способов выбрать два цвета из 6 возможных. Итого 4*30=120 способов.
Задача5-3) если все детали раскрашивать в 3 цвета, то здесь число вариантов представить 9 в виде шести слагаемых (пока без учёта порядка) таково:0+0+0+1+1+7, 0+0+0+1+2+6, 0+0+0+1+3+5,0+0+0+1+4+4, 0+0+0+2+2+5,0+0+0+2+3+4, 0+0+0+3+3+3. Получили семь вариантов. Из них
три варианта с различными слагаемыми (1+2+6, 1+3+5, 2+3+4) надо умножить на =4*5*6=120 способов выбрать 3 цвета из 6; три варианта(1+1+7,1+4+4 и 2+2+5) надо умножить на и в одном варианте (3+3+3) надо умножить на . Итого 3*120+3*60+1*20=560 способов.

Задача5-4) если все детали раскрашивать в 4 цвета, то возможные представления числа 9 в виде суммы 4 слагаемых таковы: 1+1+1+6,1+1+2+5,1+1+3+4,1+2+2+4,1+2+3+3. В первом случае одно слагаемое 6 и три одинаковых. Надо умножить на .
В остальных случаях цвета можно выбрать способами. Итого 1*60+4*180=780 способов.
Задача5-5) если все детали раскрашивать в 5 цветов, то возможные представления числа 9 в виде суммы 5 слагаемых таковы: 1+1+1+1+5,1+1+1+2+4,1+1+1+3+3,1+1+2+2+3. В первом случае одно слагаемое 5 и четыре одинаковых. Надо умножить на . Во втором случае два разных слагаемых и три одинаковых. Надо умножить на .

В третьем случае два и три одинаковых слагаемых . Надо умножить на возможностей выбрать цвета.
В последнем случае надо умножать на . Итого 30+120+60+180=390 способов.
Задача5-6) если все детали раскрашивать в 6 цветов, то возможные представления числа 9 в виде суммы 6 слагаемых таковы: 1+1+1+1+1+4(цвета можно выбрать способами ),1+1+1+1+2+3(цвета можно выбрать 6*5*4=120 способами),1+1+1+2+2+2(цвета можно выбрать 6*5*4=120 способами), Итого 6+120+120+120=366 способов.

Окончательно 6+120+560+780+390+366=2222

ОТВЕТ: 2222.

Сколько различных аккордов можно взять, используя 9 клавиш рояля, если аккорд может содержать от 4 до 7 звуков (клавиши нажимаются одновременно)?

РЕШЕНИЕ.

Надо подсчитать сумму так как порядок выбранных 4-х (или 5-и, 6-и или семи) выбранных из 9 клавиш не важен. Так как

, , и

как порядок, то получаем в ответе: 126+126+84+36=372.

ОТВЕТ: 372.

В классе 30 человек. Известно, что 18 человек занимаются фотографией, 14 – музыкой, 16 – рисованием, 8 – фотографией и музыкой, 6 – музыкой и рисованием, 7 – фотографией и рисованием. 4 ученика ничем не занимаются. Сколько учеников занимается всеми тремя делами?

РЕШЕНИЕ.

Если прибавить к 18 ученикам занимающихся фотографией 16 человек занимающихся рисованием и отнять 7 занимающихся и фотографией и рисованием, то получим 18+16-7=27 человек, занимающихся или фотографией или рисованием, или и тем и другим, а возможно ещё и музыкой. Однако, с другой стороны известно, что 4 ученика не занимаются ничем. 30-24=26, что меньше 27. Получили, что данные числа задачи противоречивы.

ОТВЕТ: задача некорректна- условия задачи противоречат друг другу.

Сколько натуральных чисел из множества {1,…,1000} не делится ни на 3, ни на 5, ни на 7?

РЕШЕНИЕ.

Из чисел от 1 до 1000 введём обозначения: а-количество чисел делящихся на 3, но при этом не делящихся ни на 5 ни на 7; b-количество чисел делящихся на 5, но при этом не делящихся ни на 3 ни на 7;с-количество чисел делящихся на 7, но при этом не делящихся ни на 5 ни на 3;d–количество чисел делящихся и на 3, и на 5, но при этом не делящихся на 7;f- количество чисел делящихся и на 3, и на 7, но при этом не делящихся на 5; е- количество чисел делящихся и на 5, и на 7, но при этом не делящихся на 3, и наконец х- число чисел, делящихся и на 3, и на 5, и на7.
Разделив 1000 на (3*5*7) получаем 9.524, т.е. х=9.
Разделив 1000 на (3*5) получаем 66.66, т.е. d+х=66, откуда d=66-9=57.
Разделив 1000 на (3*7) получаем 47.62, т.е. f+х=47, откуда f=47-9=38.
Разделив 1000 на (7*5) получаем 28.57, т.е. e+х=28, откуда e=28-9=19.
Разделив 1000 просто на 3 получаем 333.33, т.е. a+d+f+х=333, откуда a=333-57-38-9=229.
Разделив 1000 просто на 5 получаем 200, т.е. b+d+e+х=200, откуда b=200-57-19-9=115.
Разделив 1000 просто на 7 получаем 142.86, т.е. c+e+f+х=142, откуда c=142-38-19-9=76.
Итак, из первой тысячи натуральных чисел всего есть a+b+c+d+e+f+x=229+115+76+57+19+38+9=543 числа, делящихся хотя бы на одно из чисел 3,5 или 7. А искомое число чисел тогда равно 1000-543=457.

ОТВЕТ: 457

Две задачи, общие для всех вариантов

Сколько различных слов (возможно бессмысленных) можно составить из букв:
а) вашего имени- Ринальд
б) вашей фамилии.- Латыпов

РЕШЕНИЕ.

А) Так как в задаче явно не указано, что имеются ввиду только семибуквенные слова, то решим задачу в более широком виде – подсчитаем число всевозможных однобуквенных, двухбуквенных, трёх-, четырёх-, пяти-, шести и семибуквенных слов и результат сложим. Так как все семь букв имени разные, то ответом будет число Вычисляем значения: ; ; ; Находим сумму 7+42+210+840+2520+5040+5040=13699.
Б) Так как в фамилии букв тоже семь и все они так же разные, то и ответ получается тот же: =7+42+210+840+2520+5040+5040=13699.

ОТВЕТ: а)13699; б) 13699. Если же имелись ввиду только семибуквенные слова, то тогда ответ будет в обоих случаях только 5040. Его можно получить по формуле перестановок с повторениями то есть 1*2*3*4*5*6*7=5040.

Есть N=14 (где N равно числу букв вашего имени + число букв вашей фамилии, т.е. 7+7=14) томов книг, которые в произвольном порядке расставлены на полке.
Сколько есть способов расставить эти книги так, чтобы:
а) 1-ый и 2-ой тома стояли рядом;
б) 1-ый и 2-ой тома не стояли рядом;
в) между 1-ым и 2-ым томами стояло ровно 7 других книг (где n равно числу букв вашего имени).

РЕШЕНИЕ.

А) Рядом два тома могут стоять на:1 и 2 месте, 2 и 3 месте, 3 и 4 месте, …, 12 и 13 месте, 13 и 14 месте. Всего 13 способов, а учитывая порядок их расположения, то 13*2=26 способов поставить эти два тома рядом. На каждый такой способ можно расставить оставшиеся 12 томов на оставшиеся 12 мест =12!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12=479001600 различными способами. Значит, всего таких вариантов будет 26*479001600=12454041600.
Б) Число, когда два тома (1-ый и 2-ой) находятся рядом- уже найдено. Всего же число способов расставить все 14 томов можно найти как
=14!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14=87178291200. Значит, искомое число способов равно разности 87178291200-12454041600=74724249600.
В) Если том №1 стоит на 1-м месте, то том №2 должен стоять на 9-м месте;
Если том №1 стоит на 2-м месте, то том №2 должен стоять на 10-м месте;
Если том №1 стоит на 3-м месте, то том №2 должен стоять на 11-м месте; и так далее до 6-го и 14-го места.
На 7-м и на 8-м местах том №1 стоять не может.
Если же том №1 стоит на 9-м месте, то том №2 должен стоять на 1-м месте;
Если том №1 стоит на 10-м месте, то том №2 должен стоять на 2-м месте; и так далее до 14-го и 6-го мест.
Всего 12 вариантов. На каждый из них можно =12!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12=479001600 различными способами расставить оставшиеся 12 томов на оставшиеся 12 мест. Значит всего способов есть 12*479001600=5748019200.

ОТВЕТ: а) 12454041600 ; б) 74724249600; в) 5748019200.

11) Решить уравнение

РЕШЕНИЕ.

Так как ,а ,то получаем уравнение:
х*(х-1)*(х-2) + х*(х-1)/2 = 14*х , умножаем на 2 и делим на х (так как х не может быть равен нулю):
2*(х-1)*(х-2) + (х-1) = 28. После упрощений получаем квадратное уравнение Дискриминант D=25-4*2*(-25)=225 и корни равны
и . Отрицательный корень не подходит, значит х=5.
ОТВЕТ: х=5.

AriL 4.9

Являюсь аспирантом Высшей школы экономики. Специализируюсь на экономических дисциплинах, в особенности государственное управление, менеджмент,экономика. Большой опыт в экономике здравоохранения.

Нанять автора