3 5 Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r

3.5. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна к плоскости решетки, а пересечение траектории с решеткой равновозможно в любой точке каждого прямоугольника со сторонами a и b, образованного осями прутьев.

Решение:

Пусть событие A- «шарик попал в вертикальную решетку». Найдем вероятность этого события.

Пусть x- расстояние от центра шарика до ближайшей линии, проходящей через ось вертикального прута. Возможные значения x определяются условиями:
0≤x≤12a.
Столкновение шарика с прутом произойдет в том случае, если
0≤x≤d2+r.
Искомую вероятность найдем, используя геометрическое определение вероятности. Она будет равна отношению длин отрезков, на которых находятся благоприятствующие и все возможные значения x:
PA=d2+r12a=d+2ra.

Пусть событие B- «шарик попал в горизонтальную решетку». Найдем вероятность этого события.

Пусть y- расстояние от центра шарика до ближайшей линии, проходящей через ось горизонтального прута. Возможные значения y определяются условиями:
0≤y≤12b.
Столкновение шарика с прутом произойдет в том случае, если
0≤y≤d2+r.

Искомую вероятность найдем, используя геометрическое определение вероятности. Она будет равна отношению длин отрезков, на которых находятся благоприятствующие и все возможные значения y:
PB=d2+r12b=d+2rb.

Пусть событие C- «шарик попадет в решетку». Это событие заключается в том, что шарик попадет или в горизонтальный прут, или в вертикальный, или в оба одновременно, т.е., хотя бы в один из прутов.

Событие C- «шарик не попадет в решетку» противоположно событию C и составляет с ним полную группу вероятностей:
PC+PC=1,
откуда
PC=1-PC.

Найдем вероятность события C, используя теоремы сложения и умножения:
PC=PAB=PA∙PB=1-PA∙1-PB=1-d+2ra∙1-d+2rb.

Тогда искомая вероятность:
PC=1-1-d+2ra∙1-d+2rb.

Ответ: 1-1-d+2ra∙1-d+2rb.

4.16. Детали могут быть изготовлены с применением двух технологий: в первом случае деталь проходит три технологические операции, вероятности получения брака при каждой из которых равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Во втором случае имеются две операции, вероятности получения брака при которых одинаковы и равны 0,3. Определить, какая технология обеспечивает большую вероятность получения первосортной продукции, если в первом случае для доброкачественной детали вероятность получения продукции первого сорта равна 0,9, а во втором 0,8.

Решение:

Рассмотрим первую технологию.

По условию задачи, вероятности получить брак при первой, второй, третьей операции соответственно равны:
p11=0,1;p12=0,2;p13=0,3.
Тогда вероятности не получить брак при первой, второй, третьей операции соответственно равны:
q11=1-p11=1-0,1=0,9;q12=1-p12=1-0,2=0,8;q13=1-p13=1-0,3=0,7.
Пусть событие A1- «деталь не получила брака». Используя теорему умножения, находим вероятность этого события:
PA1=q11∙q12∙q13=0,9∙0,8∙0,7=0,504.
Пусть событие B1- «получено изделие первого сорта». Вероятность этого события дана в условии задачи и равна
PB1=0,9.
Пусть событие C1- «получено изделие первого сорта без брака». Вероятность этого события равна:
PC1=PA1B1=PA1∙PB1=0,504∙0,9=0,4536.

Рассмотрим вторую технологию.
По условию задачи, вероятности получить брак при первой, второй, операции соответственно равны:
p21=p22=0,3.
Тогда вероятности не получить брак при первой, второй операции соответственно равны:
q21=q22=1-p21=1-0,3=0,7.
Пусть событие A2- «деталь не получила брака». Используя теорему умножения, находим вероятность этого события:
PA2=q21∙q22=0,7∙0,7=0,49.
Пусть событие B2- «получено изделие первого сорта». Вероятность этого события дана в условии задачи и равна
PB2=0,8.
Пусть событие C2- «получено изделие первого сорта без брака». Вероятность этого события равна:
PC2=PA2B2=PA2∙PB2=0,49∙0,8=0,392.
PC1>PC2.

Ответ: при использовании первой технологии вероятность получения первосортной детали выше.

5.15. Доказать, что при PA=a и PB=b≠0 будет
PAB≥a+b-1b.

Решение:

Вероятность суммы двух событий определяется по формуле:
PA+B=PA+PB-PAB. (1)

Так как вероятность не может быть больше 1, то
PA+PB-PAB≤1,
откуда
PB-PAB≤1-PA,
или
PB-PAB≤PA. (2)

Условная вероятность PAB определяется формулой:
PAB=PABPB, (3)
откуда
PAB=PAB∙PB,

подставляем в формулу (2):
PB-PAB∙PB≤PA,PB1-PAB≤PA,1-PAB≤PAPB,PAB≥1-PAPB,

так как PA=1-PA=1-a,
то
PAB≥1-1-ab,
PAB≥b-(1-a)b

или
PAB≥a+b-1b,
что и требовалось доказать.

7.4. Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?

Решение:

Введем полную группу гипотез:
H0- 0 изделий бракованных;
H1- 1 изделие бракованное;
H2- 2 изделия бракованных;
H3- 3 изделия бракованных;
H4- 4 изделия бракованных;
H5- 5 изделий бракованных.

Так как гипотезы образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1, а из условия известно, что вероятности гипотез равны. Значит,
PH0=PH1=PH2=PH3=PH4=PH5=16.

Пусть событие A- «наудачу взятое изделие оказалось бракованным». Найдем условные вероятности этого события при сделанных гипотезах, используя классическое определение вероятности.
1. Если в партии 0 бракованных изделий, то вероятность взять бракованное изделие равна
PAH0=05=0.
2. Если в партии 1 бракованное изделие, то вероятность взять бракованное изделие равна
PAH1=15.
3. Если в партии 2 бракованных изделия, то вероятность взять бракованное изделие равна
PAH2=25.
4. Если в партии 3 бракованных изделия, то вероятность взять бракованное изделие равна
PAH3=35.
5. Если в партии 4 бракованных изделия, то вероятность взять бракованное изделие равна
PAH4=45.
6. Если в партии 5 бракованных изделий, то вероятность взять бракованное изделие равна
PAH5=55=1.
Найдем вероятность события A, используя формулу полной вероятности:
PA=PH0∙PAH0+PH1∙PAH1+PH2∙PAH2+
+PH3∙PAH3+PH4∙PAH4+PH5∙PAH5==16∙0+16∙15+16∙25+16∙35+16∙45+16∙1=1530=12.

Известно, что событие A произошло.
Вероятности сделанных гипотез найдем, используя формулу Байеса:
PH0A=PH0∙PAH0P(A)=16∙012=0;
PH1A=PH1∙PAH1P(A)=16∙1512=115;
PH2A=PH2∙PAH2PA=16∙2512=215;
PH3A=PH3∙PAH3PA=16∙3512=315;
PH4A=PH4∙PAH0PA=16∙4512=415;
PH5A=PH5∙PAH5PA=16∙5512=515.
Таким образом, наиболее вероятно предположение о том, что в партии 5 бракованных изделий.

Ответ: наиболее вероятно предположение о том, что в партии 5 бракованных изделий.

8.2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье:
а) пять мальчиков;
б) мальчиков не менее трех, но и не более восьми.

Решение:

Используем формулу Бернулли:
Pnk=Cnk∙pk∙qn-k,
где
n=10, p=0,5, q=1-p=1-0,5=0,5.

а) в этом случае k=5, находим:
P105=C105∙0,55∙0,510-5=10!5!∙10-5!∙0,55∙0,55=10!5!∙5!∙0,55∙0,55=6∙7∙8∙9∙101∙2∙3∙4∙5∙0,55∙0,55=7∙4∙9∙0,55∙0,55≈0,246;

б) используя теорему сложения, находим:
P103≤k≤8=P103+P104+P105+P106+P107+P108=C103∙0,53∙0,510-3+C104∙0,54∙0,510-4+0,246+
+C106∙0,56∙0,510-6+C107∙0,57∙0,510-7+C108∙0,58∙0,510-8=10!3!∙10-3!∙0,53∙0,510-3+10!4!∙10-4!∙0,54∙0,510-4+0,246+10!6!∙10-6!∙0,56∙0,510-6+10!7!∙10-7!∙0,57∙0,510-7+
+10!8!∙10-8!∙0,58∙0,510-8=10!3!∙7!∙0,53∙0,57+10!4!∙6!∙0,54∙0,56+0,246+10!6!∙4!∙0,56∙0,54+
+10!7!∙3!∙0,57∙0,53+10!8!∙2!∙0,58∙0,52=2∙10!3!∙7!∙0,53∙0,57+2∙10!4!∙6!∙0,54∙0,56+0,246+
+10!8!∙2!∙0,58∙0,52=
=2∙8∙9∙101∙2∙3∙0,510+2∙7∙8∙9∙101∙2∙3∙4∙0,510+0,246+
+9∙101∙2∙0,510=0,234+0,410+0,246+0,044≈0,934.

Ответ: а) 0,246; б) 0,934.

10.21. Любой из 300 абонентов независимо друг от друга звонит на коммутатор. Какова вероятность того, что из них поступит в течение часа четыре вызова, если вероятность вызова для каждого абонента равна 0,01.

Решение:

Так как вероятность p=0,01 наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n=300 велико, то используем теорему Пуассона:
Pnm=λmm!∙e-λ,
где λ=n∙p.
Находим:
λ=300∙0,01=3.

Определим вероятность того, что в течение часа поступит 4 вызова:
P3004=344!∙e-3≈8124∙0,0497≈0,168.

Ответ: 0,168.

11.37. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 сек испускало в среднем 3,87 α-частицы. Найти вероятность того, что за 1 сек это вещество испустит хотя бы одну частицу, если число испускаемых за равные промежутки времени частиц, подчиняется закону Пуассона с одним и тем же параметром.

Решение:

Поток α-частиц представляет собой простейший поток событий с интенсивностью
λ=3,877,5=0,516 с-1.
Воспользуемся формулой пуассоновского потока:
Ptk=(λ∙t)kk!∙e-λt,
В нашем случае:
t=1, λ=0,516,
Событие A – «за 1 сек это вещество испустит хотя бы одну частицу» противоположно событию A- «за 1 сек это вещество не испустит ни одной частицы», поэтому его вероятность равна:
PA=1-PA=1-P10=1-(0,516∙1)00!∙e-0,516∙1=1-0,597≈0,403.

Ответ: 0,403.

12.15. Последовательные ускоренные испытания приборов на надежность проводятся до первого отказа, после чего они прекращаются. Пользуясь понятием плотности вероятности для дискретной случайной величины, найти плотность вероятности случайного числа испытанных приборов, если вероятность отказа для всех приборов одна и та же иравна 0,5.

Решение:

Это геометрическое распределение, его закон распределения имеет вид:
xi
1 2 3 … k
pi
q
pq
pq2
… pqk-1

По условию задачи,
p=0,5,
значит,
q=1-p=1-0,5=0,5.
Тогда ряд распределения:
xi
1 2 3 … k
pi
0,5
0,52
0,53
… 0,5k

В случае геометрического распределения xi=i.
Значит, исходя из понятия плотности вероятности, плотность вероятности случайного числа испытанных приборов:
fx=i=1∞0,52δ(x-i).
Ответ: fx=i=1∞0,52δ(x-i).

13.5. Плотность вероятности случайных амплитуд A боковой качки корабля определяется формулой (закон Рэлея)
fa=aσ2e-a22σ2 a≥0,
где σ2-дисперсия угла крена.
Одинаково ли часто встречаются амплитуды, меньшие и большие ее математического ожидания?

Решение:

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Рэлея, равно:
m=σπ2.

Вероятность попадания в интервал (α; β) определяется формулой:
Pα<a<β=αβfada.
Находим:
Pa<m=P0<a<m=0σπ2aσ2e-a22σ2da=-0σπ2e-a22σ2d-a22σ2=-e-a22σ20σπ2=-e-σπ222σ2-e-022σ2=-e-π4-1=1-e-π4≈0,544
Тогда
Pa>m=1-Pa<m=1-1-e-π4=e-π4≈0б456.

Итак,
Pa<m>Pa>m,
значит, чаще встречаются амплитуды, меньшие математического ожидания.

Ответ: чаще встречаются амплитуды, меньшие математического ожидания.

14.7. Случайные ошибки высотомера X имеют x=20 м. Какие они должны иметь среднее квадратическое отклонение, чтобы с вероятностью, равной 0,9, ошибка измерения высоты по абсолютной величине была меньше 100 м?

Решение:

Используем формулу:
Px-x≤ε≈2Фεσ,
В нашем случае, x=20 м, ε=100 м, Px-x≤ε=0,9.
Тогда:
2Ф100σ=0,9,Ф100σ=0,92=0,45.
Из таблицы значений функции Лапласа определяем:
100σ=1,65,
откуда находим:
σ=1001,65≈60,61.

Ответ: 60,61.

eladav 4.5

Опыт написания студенческих работ с 2009 года. На данном сервисе недавно. Высшее образование по специальности маркетинг. Работаю также маркетологом. Посещала специализированные форумы по продажам и маркетингу. Буду рада помочь.

Нанять автора