1 Среди 10 самцов плодовой мушки 7 имеют мутацию глаз а среди 10 самок 8 имеют мутацию крыльев

1.Среди 10 самцов плодовой мушки 7 имеют мутацию глаз, а среди 10 самок 8 имеют мутацию крыльев. Какова вероятность того, что случайно выбранная для скрещивания пара не имеет мутаций?
Решение.
Пусть событие
А – случайно выбранная для скрещивания пара не имеет мутаций.
– случайно выбранный самец имеет мутацию
– случайно выбранная самка имеет мутацию
По условию; ;
Тогда ;;
По теореме умножения вероятностей для независимых событий будем иметь
.

2.В группе из 14 животных 8 получают лечение, а 6(контрольных) не получает. Какова вероятность того, что из 10 наудачу отобранных животных 4 контрольных?
Решение.
Пусть
А-« из 10 наудачу отобранных животных 4 контрольных».
По формуле классической вероятности:
Р(А)=mn, где n – общее число исходов, m – благоприятствующее число исходов.
Найдем n=C1410=14!4!10!=1001, m=C86C64=8!6!2!6!4!2!=420
Пользовались формулой Сnm=n!m!(n-m)!.
Тогда Р(А)=4201001=0,42

3. В предположении, что оценки студента по трем курсам независимы, найти вероятность того, что он не получит ни одной пятерки.
Решение.
Вероятность получить пятерку равна р=0,25( студент может получить 2,3,4,5.
По формуле Бернулли: Рn(m)=Сnmpmqn-m,
Р3(0)=С300,2500,753=0.42
4. От аэровокзала отправились два автобуса к трапам самолета. Вероятности прибытия равны для каждого 0,95. Найти вероятность того, что вовремя придет хотя бы один автобус.
Решение.
Пусть А: «вовремя придет хотя бы один автобус»
А: «вовремя придет ноль автобусов»
Р(А)=0,05*0,05=0,0025
Тогда Р(А)=1- Р(А)=1-0,0025=0,9975

5. Прибор состоит из трех независимо работающих элементов, которые за время Т отказывают с вероятностью 0,1, 0,2, 0,3 соответственно. Найти вероятность отказов двух элементов за время Т.
Решение.
Пусть В: «отказало два элемента»
А1: « отказал первый элемент»
А2: «отказал второй элемент»»
А3: «отказал третий элемент»»
По условию Р(А1)=0,1, Р(А2)=0,2, Р(А3)=0,3
Это событие можно представить так:
,
где событие означает, что только третий элемент работоспособен. Аналогично, событие – только первый элемент работоспособен. Событие – только второй элемент работоспособен.
События, являющиеся слагаемыми последней суммы, несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей для несовместных событий получим
.
Каждое слагаемое этой суммы можно найти, используя теорему умножения вероятностей для независимых событий
;
;
.
Учитывая, что
;
;
,
окончательно получим

6. В магазин поступили 2 партии лампочек с двух заводов, причем 40 % с первого завода и 60% со второго. Известно, что 500 часов работают безотказно каждые 97 лампочек из 100 первого, 94 лампочек из 100 второго завода. Наудачу из каждой партии выбирают по одной лампочки. какова вероятность того, что 1) среди них а) две лампочки проработают по 500 часов б)две лапочки, которые не проработают по 500 часов в) только одну лампочку, которая проработает 500 часов г) хотя бы одну лампочку, которая проработает 500 часов 2)найти вероятность, что наудачу взятая лампочка будет лампочкой со второго завода, если она проработала 500 часов.
Решение.
1)
А) Пусть событие А – две лампочки проработают по 500 часов.
событие – лампочка первой партии проработает по 500 часов
событие – лампочка второй партии проработает по 500 часов
По условию ; ;
Учитывая, что события , , – независимые, по теореме умножения вероятностей для независимых событий будем иметь
.
Б) Пусть событие В – две лапочки, которые не проработают по 500 часов.
Учитывая, что
;
;
Получим
В) Пусть событие С- только одну лампочку, которая проработает 500 часов.
Это событие можно представить так: ,
События, являющиеся слагаемыми последней суммы, несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей для несовместных событий получим
.
Г) Пусть событие D- хотя бы одну лампочку, которая проработает 500 часов
Рассмотрим противоположное событие – ни одна лампочка не проработает 500 часов, то есть . Тогда
.
Следовательно, .
2) Пусть
А-« лампочка проработала 500 часов».
Гипотезы:
H1-« лампочка поступила с первого завода».
H2-« лампочка поступила с второго завода ».
По условию
Р(H1)=0,4, Р(H2)=0,6
Найдем условные вероятности:
PH1A=0,97, PH2A=0,94
По формуле полной вероятности
Р(А)= Р(H1) PH1A+Р(H2) PH2A=0,4*0,97+0,6*0,94=0,952
Формула Байеса

7. В первой урне 3 белых и 4 черных шаров, во второй 5 белых и 2 черных. Из наугад выбранной урны достали 2 шара. Найти вероятность того, что оба белые. Какова вероятность, что шары извлекли из второй урны, если они оба белые?
Решение.
1)Пусть
А-« оба шара белые».
Гипотезы:
H1-« Шары достали из первой урны».
H2-« Шары достали из второй урны».
По условию
Р(H1)=1/2, Р(H2)=1/2
Найдем условные вероятности:
PH1A=37*26=17, PH2A=57*46=1021
По формуле полной вероятности
Р(А)= Р(H1) PH1A+Р(H2) PH2A=12*17+12*1021=0,31
2) Формула Байеса

8. Среди 10 деталей имеется 4 бракованные. Извлекаем случайным образом без возвращения детали до тех пор, пока не вымем доброкачественную. Х- число вынутых деталей. К=3. найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию CВ Х. Построить график функции распределения и найти вероятность события x≤k.
Решение.
Возможные значения СВ Х- число пройденных до первой остановки светофоров х1=1, х2=2, х3=3, х4=4
Вероятность вынуть доброкачественную деталь p=0,6
Найдем соответствующие вероятности по теореме умножения для независимых событий
Р(х1=1)= 0,6
Р(х2=2)= 0,6*0,4=0,24
Р(х3=3)= 0,42*0,6=0,096
Р(х4=4)= 0,43*0,6=0,0384
Р(х5=5)= 0,44*0,6=0,01536

Закон распределения примет вид:

Х 1 2 3 4 5
р
0,6
0,24
0,096
0,04
0,0154
i=15pi=1, у нас так и есть 0,6+0,24+0,096+0,04+0,0154=1
Находим математическое ожидание:
М(х)=
Дисперсию находим по формуле: . Тогда:
D(X)=
Найдем функцию распределения F(x)=Р(Хх).
Для имеем F(x)=0
для имеем F(x)=0,6
для F(x)=0,84
для F(x)=0,936
для F(x)=0,976
для х5 будет F(x)=1, т. к. событие достоверно.
.
График этой функции приведен на рисунке

Р(Х≤3)=0,936
9. В случаях а,б,в рассматривается серия из n независимых испытаний с двумя исходами в каждом – успех и неуспех. Вероятность успеха равна р, неуспеха 1-р в каждом испытании. Х-число успехов в n испытаниях. Требуется: 1)для случая а(малого n) найти закон распределения, функцию распределения, построить ее график, найти М(Х),Д(Х),Р(Х<2). 2) для случая б( большого n и малого р) найти р(Х<2) приближенно с помощью распределения Пуассона. 3)для случая в)( большого n) найти вероятность Р(К1<х<к2).
А) n=6, p=0,4
Б) n=100, p=0,003
В) ) n=192, p=0,25, к1=45, к2=60
Решение.
А) Возможные значения СВ Х- число успехов в 6 испытаниях х0=0, х1=1, х2=2, х3=3, х4=4, х5=5, х6=6
Найдем соответствующие вероятности по формуле Бернулли: Рn(m)=Сnmpmqn-m
Р(х0=0)=Р6(0)=С600,400,66=0,047
Р(х1=1)=Р6(1)=С610,410,65=0,187
Р(х2=2)= Р6(2)=С620,420,64=0,311
Р(х3=3)=Р6(3)=С630,430,63=0,276
Р(х4=4)=Р6(4)=С640,440,62=0,138
Р(х5=5)=Р6(5)=С650,450,61=0,0368
Р(х6=6)=Р6(5)=С660,460,60=0,004096

Закон распределения примет вид:

Х 0 1 2 3 4 5 6
р
0,047
0,187
0,311
0,276
0,138
0,0368
0,0042
i=06pi=1, у нас так и есть 0,047+0,187+0,311+0,276+0,1387+0,0368+0,0042=1
Найдем функцию распределения F(x)=Р(Хх).
Для имеем F(x)=Р(Х0)=0;
для имеем F(x)=Р(Х1)=Р(Х=0)=0,047
для F(x)=Р(Х2)=Р(Х=0)+Р(Х=1)=0,234
для F(x)=Р(Х3)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+ Р(Х=2)=0,545
для F(x)=Р(Х3)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+ Р(Х=2)=0,821
для F(x)=Р(Х3)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+ Р(Х=2)=0,959
для F(x)=Р(Х3)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+ Р(Х=2)=0,9958
для х6 будет F(x)=1, т. к. событие достоверно.
.
График этой функции приведен на рисунке

Находим математическое ожидание:
М(х)=
Дисперсию находим по формуле: . Тогда:
D(X)=
Р(Х<2)=0,234
Б) По формуле Пуассона Рn(m)=λme-λm!, λ=np, λ=100*0.003=0.3
Р(Х<2)=P(0)+P(1)= 0.30e-0.30!+0.31e-0.31!=0.74+0.22=0,96
В) По условию, р=0,25; q=0.75; n=192; k1=45; k2=60. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
P192(45,60)=Ф(х“)-Ф(х`)
X`=k1-npnpq=45-192*0.25192*0.25*0.75=-336=-0,5
X“=k2-npnpq=60-192*0.25192*0.25*0.75=2
Таким образом, имеем:
P192(45,60)=Ф(2)+Ф(0,5)=0,4772+0,1915=0,6687

10. Плотность распределения CВХ

Найти : а) параметр А, б) построить графики функции плотности и функции распределения 3) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение 40 вычислить вероятность р того, что отклонение CВ от математического ожидания не более заданного ε=18.
Решение.
1)Для нахождения параметра а воспользуемся свойствами функции f(x):
1) 2)
Из первого следует, что a0, а из второго определяется конкретное значение а.
,

2) Для нахождения функции F(x) используем равенство
Так как f(x) задана различным образом на трёх разных интервалах, то выражение для F(x) находим отдельно для каждого из них.
Если то
Если то
Если то .
Искомая интегральная функция принимает вид

Построим графики функции плотности и функции распределения

3)Находим математическое ожидание по формуле:

Дисперсию находим по формуле: Найдем среднеквадратическое отклонение

4) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа ε,

AnnaI213 4.2

Имею практический опыт в сфере делового менеджмента-маркетинга, экономики. Также в сфере делопроизводства, информационного обслуживания.

Нанять автора