1 Дискретная случайная величина Составить ряд распределения случайной величины – числа появления “герба” при двух подбрасываний монеты

1.Дискретная случайная величина.
Составить ряд распределения случайной величины – числа появления “герба” при двух подбрасываний монеты. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .
Решение:
Составим ряд распределения – таблицу, устанавливающую связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Возможные варианты числа появления “герба” при двух подбрасываниях монеты: 0, 1, 2. Соответствующие вероятности рассчитаем по формуле Бернулли, поскольку проводится 2 независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления «герба» постоянна и равна: p=0,5:
Pnm=Cnmpmqn-m=n!m!n-m!pmqn-m,
где q=1 – p.
Тогда:
P20=2!0!2-0!0,500,52-0=0,25,
P21=2!1!2-1!0,510,52-1=0,5,
P22=2!2!2-2!0,520,52-2=0,25.
Таким образом, получим биноминальный закон распределения:
x 0 1 2
p 0,25 0,5 0,25

Функция распределения – это функция, выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, меньшее х:
Fξ (x) = p(ξ<x)
Таким образом:
Fξx=0,если x∈(-∞;00,25,если x∈(0;10,5,если x∈(1;20,25,если x∈(2;+∞)
График функции распределения имеет вид:

Математическое ожидание дискретной случайной величины находится по формуле:
Mξ=i=1nxipi=0∙0,25+1∙0,5+2∙0,25=1
Дисперсия дискретной случайной величины находится по формуле:
Dξ=i=1n(xi-Mξ)2pi=(0-1)2∙0,25+1-12∙0,5+2-12∙0,25=0,5
2. Непрерывная случайная величина.
Случайная величина задана плотностью распределения . Найти: а) дисперсию ; б) интегральную функцию распределения ; в) . Построить графики функций , .
Решение:
а) Дисперсия непрерывной случайной величины находится по формуле:
Dξ=-∞+∞(x-Mξ)2fξxdx
Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле:
Mξ=-∞+∞xfξxdx
Mξ=-∞+∞xfξxdx= -∞0xfξxdx+05xfξxdx +5+∞xfξxdx=
=-∞0x∙0dx+ 05x∙2x25dx +5+∞x∙0dx=052x225dx=2255+∞x2dx=
=225∙x3350=225533-033=103
Dξ=-∞+∞ (x-Mξ)2fξxdx=-∞0(x-103)2fξxdx+
+05(x-103)2fξxdx+5+∞(x-103)2fξxdx=-∞0(x-103)2∙0∙dx+
+05(x-103)2∙2×25∙dx+1+∞(x-103)2∙0∙dx=05(x-103)2∙2×25∙dx=
=05×2-203x+1009∙2x25dx=22505×3-203×2+1009xdx=
= 225∙x44-203∙x33+1009∙x2250= 225∙x44-209×3+509×250=
=225∙544-209∙53+509∙52-044-209∙03+509∙02=
=225∙6254-25009+12509=225∙62536=2518
б) Функция распределения (интегральная функция распределения) непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности:
Fx=-∞xfξxdx
Если х ≤ 0, то
Fx=-∞xfξxdx =-∞x0dx =0
Если 0<х ≤ 5, то
Fx=-∞xfξxdx =-∞0fξxdx +0xfξxdx =-∞00dx +0x2x25dx=
=0x2x25dx=2250xxdx=225∙x22x0=225×22-022=225∙x22=x225
Если х > 5, то
Fx=-∞xfξxdx =-∞0fξxdx +05fξxdx+5xfξxdx =-∞00dx +
+052x25dx+5x0dx =052x25dx=22505xdx=225∙x2250=225522-022=1
Функция распределения имеет вид:Fξx=0, x≤0x2251,x>5, 0<x≤5
Вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключенное в интервале (1;3), находится по формуле:
Pa≤ξ≤b=abfξxdx
P1≤ξ≤3=13fξxdx =132x25dx =225·x2231=225322-122=825=
=0,32
График плотности распределения:

График функции распределения.

3. Случайная величина задана функцией распределения Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики и .
Решение:
а) Функция распределения непрерывной случайной величины тесно связана с плотностью распределения вероятностей:
fξx=Fξ/(x)
Тогда:
fξx=Fξ/(x)=0, x≤01, 0<x≤30,x>3
б) Дисперсия непрерывной случайной величины находится по формуле:
Dξ=-∞+∞(x-Mξ)2fξxdx
Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле:
Mξ=-∞+∞xfξxdx
Mξ=-∞+∞xfξxdx= -∞0xfξxdx+03xfξxdx +3+∞xfξxdx=
=-∞0x∙0dx+ 03x∙1dx +3+∞x∙0dx=03xdx =x2230=322-022=92.
Тогда:
Dξ=-∞+∞(x-92)2fξxdx=-∞0(x-92)20dx+03x-922∙1dx+
+3+∞(x-92)2∙0dx=03x-922dx=03×2-2∙92x+814dx=
= x33-9∙x22+814∙x30=333-9∙322+814∙3-
-033-9∙022+814∙0=9-812+2434=1174
Вероятность находится по формуле:
Pa≤ξ≤b=Fb-F(a)
P0≤ξ≤2=F2-F0=2-0=2
Графики функции распределения и плотности распределения:

4. Законы распределения. Нормальное распределение.
Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием т и средним квадратичным отклонением т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
Решение:
Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием т и средним квадратичным отклонением т., то есть:
fξx=10,92π∙e-(x-65)22∙0,81
Вероятность того, что второй локомотив не потребуется определяется вероятностью того, что поезд, состоящий из 100 вагонов, весит не более 6600, то есть масса каждого вагона не более 66 т.- P (ξ ≤ 66).
Для определения данной вероятности воспользуемся формулой:
Pξ≤x=P0≤ξ≤x=0xfξxdx
то есть:
Pξ≤66=06610,92π∙e-(x-65)22∙0,81dx=06610,92π∙e-(x-65)22∙0,81dx
Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал [х1, x2] также можно определить с помощью функции Лапласа:
x1x2fξxdx=Фx2-aσ-Фx1-aσ,
где:
Фx2-aσ=Ф66-650,9=Ф1,11=0,3665
Фx1-aσ=Ф0-650,9=Ф-72,22=-0,4999
Pξ≤66=0,3665–0,4999=0,8664

5. Законы распределения
Для случайной величины , распределенной равномерно на отрезке Выписать плотность вероятности и функцию распределения, найти математическое ожидание и дисперсию .
Решение:
Для равномерно распределенной на отрезке [a;b] случайной величины плотность вероятности имеет вид:
fξx=0, x≤a1b-a, a<x≤b0,x>b
Таким образом:
fξx=0, x≤-81-2-(-8), -8<x≤-20,x>b=0, x≤-816, -8<x≤-20,x>b
б) Функция распределения (интегральная функция распределения) непрерывной случайной величины равна:
Fξx=-∞xfξxdx
Если х ≤ – 8, то
Fx=-∞xfξxdx =-∞x0dx =0
Если -8<х ≤ -2, то
Fx=-∞xfξxdx =-∞-8fξxdx +-8xfξxdx =-∞-80dx +-8x16dx=
=-8x16dx=16xx-8=16x–8=16x+8
Если х > -2, то
Fx=-∞xfξxdx =-∞-8fξxdx +-8-2fξxdx+-2xfξxdx =-∞-80dx +
+-8-216dx+-2x0dx =16-8-2dx=x-2-8=16-2-(-8)=1
Функция распределения имеет вид:
Fξx=0, x≤-816(x+8)1,x>-2, -8<x≤-2
Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле:
Mξ=-∞+∞xfξxdx
Mξ=-∞+∞xfξxdx= -∞-8xfξxdx+-8-2xfξxdx +-2+∞xfξxdx=
=-∞-80∙xdx+ -8-216dx +-2+∞0∙xdx=-8-216dx=
=16∙x-2-8=16-2-(-8)=1
Dξ=-∞+∞ (x-Mξ)2fξxdx=-∞-8(x-Mξ)2fξxdx+
+-8-2(x-Mξ)2fξxdx+-2+∞(x-Mξ)2fξxdx=-∞-8(x-1)2∙0∙dx+
+-8-2(x-1)2∙16∙dx+-2+∞(x-1)2∙0∙dx=-8-2(x-1)2∙16∙dx=
=-8-2×2-2x+1∙16∙dx=16-8-2×2-2x+1dx=
= 16∙x33-2∙x22+1∙x-2-8=16∙x33-x2+x-2-8=
=16∙-233–22+-2–833–82+-8==16∙5043+66=39
6.Задана плотность распределения случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .
Решение:
По условию: y=φx=e-x2, откуда x=φ-1y=-lny.
Производная (по абсолютной величине) равна:
φ-1y/=12-lny∙-1y=-12y-lny
Тогда плотность вероятности g(y) определяется по формуле:
gy=fφ-1yφ-1y/
gy=f-lny-12y-lny=f-lny2y-lny,y>0
7. Дискретная 2-мерная случайная величина.
Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины ξ, математическое ожидание и условное математическое ожидание ξ при .

ξ
2 3
0 0,4 0 0,08
2 0,1 0,12 0,3
Решение:
Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение.
ξ
η 2 3 pj(η)
0 0,4 0 0,08 0,48
2 0,1 0,12 0,3 0,52
pi(ξ) 0,5 0,12 0,38 1
1
Таким образом, получен закон распределения случайной величины :
ξ 2 3
p 0,5 0,12 0,38
Математическое ожидание дискретной случайной величины находится по формуле:
Mξ=i=1nxipi=-1∙0,5+2∙0,12+3∙0,38=0,88
Условное математическое ожидание ожидание ξ при η=0:
Mη=0ξ=i=1nxipη=0iξ=-1∙0,4+2∙0+3∙0,08=-0,16

alinasibem 4.7

Являюсь магистром Кубанского государственного университета. Кафедры Мировой экономики и менеджмента. Имею большой опыт в написании работ по экономики и статистики, а также в решении финансовых задач.

Нанять автора