Меню Закрыть

1 6 Партия из 10 деталей содержит 7 стандартных и 3 нестандартных детали

1.6. Партия из 10 деталей содержит 7 стандартных и 3 нестандартных детали. Для контроля отбираются две. Какова вероятность, что обе детали стандартные?

Решение:
Число всех возможных исходов — это число сочетаний из 10 по 2. Поэтому
.
Число вариантов выбора 2 стандартных из 7 стандартных — это число сочетаний из 7 по 2, то есть
,
Тогда вероятность события отобрали 2 нормальные детали:
.

2.6. На склад поступает 60% продукции с первого участка и 40% со второго, причем с первого – 80% изделий первого сорта, а со второго – 75%. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие изготовлено на втором участке, если оно первого сорта.
Решение:
Событие С состоит в том, что произошло и А – изделие изготовлено на втором участке, и В – в оно первого сорта, одновременно, то есть произошло произведение событий АВ:
Р (А) = 0,4 и Р(В) = 0,75.
Следовательно
Р(С) = 0,4 0,75= 0,30
Вероятность того, что наудачу взятое изделие изготовлено на втором участке, если оно первого сорта составляет 0,30.

3.6 Найти неизвестную вероятность Р, математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, заданной таблицей распределения вероятностей. Найти функцию распределения.
Х -3 -2 1 4 7 9
Р
0,1 0,1 р
0,3 0,05 0,15

Так как сумма всех вероятностей в таблице равна единице, то
0,1+0,1 + р +0,3 + 0,05 +0,15 = 1.

Отсюда Р = 0,3. Теперь можно написать закон распределения
Х -3 -2 1 4 7 9
Р
0,1 0,1 0,3 0,3 0,05 0,15

Находим математическое ожидание и дисперсию:
MX=i=16xipi=-3∙0,1+-2∙0,1+1∙0,3+4∙0,3+7∙0,05+9∙0,15=2,7
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
D(X) = M(X2) — (M(X))2
MX2=i=16xipi=-32∙0,1+-22∙0,1+12∙0,3+42∙0,3+72∙0,05+92∙0,15=21
Тогда
D(X) = 21 — 2,72 = 13,71
Функция F(x) равна
Fx=0 если x<-30,3 если-3<x<-20,2 если-2<x<10,5 если 1<x<40,8 если 4<x<70,85 если 7<x<91 если x≥9

4.6. Средняя прочность основной пряжи а = 60 и с вероятностью 0,9973 прочность лежит в пределах от 48 до 72. Найти вероятность того, что значение прочности находится в пределах от 52 до 68, если прочность распределена нормально.
(Указание. При данной вероятности интервал 48 — 72 имеет длину 6σ).

Решение
Введем обозначения: α = 48 β = 72 а = 60
Используя формулу
Pα<x<β=Фβ-aσ-Фα-aσ
Имеем:
P48<x<72=Ф72-60σ-Ф48-60σ=Ф12σ-Ф-12σ=Ф12σ+Ф12σ=2Ф12σ=0.9973
Ф12σ=0.99732=0.49865
По таблице значений функции Лапласа Ф(х) находим при Ф(х) = 0,49865, х = 3. Следовательно:
12σ=3 ⇒ σ=4
Найдем вероятность того, что значение прочности находится в пределах от 52 до 68:
P52<x<68=Ф68-604-Ф52-604=Ф2-Ф-2=2Ф2
По таблице значений функции Лапласа Ф(х) находим при х = 2, Ф(х) = 0,47725,. Следовательно:
P52<x<68=2Ф2=2∙0,47725=0,9545

5.6 Построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с известным среднеквадратичным отклонением с помощью выборки объема n с данным средним выборочным , с заданной надежностью =0,90

Решение:
Вероятность попадания неизвестного математического ожидания в интервал
x-tσn;x+tσn,
определяется формулой
Px-tσn<a<x+tσn=2Фt=γ ,
где Фt — табулированная функция Лапласа
Зная 2Фt=0.90 т.е. Фt=0.45, найдем по таблице значений функции Лапласа Ф(х) = 0,45, t = 1,65. Отсюда:
tσn=1.65∙11121=1.65∙1111=1.65
Следовательно, доверительный интервал 75,12-1.65;75,12+1.65 или представив его по другому: 73,47;76,77

6.6 Исследовать статистически случайную величину X – прочность (разрывная нагрузка), мН, пряжи линейной плотности 18,5 текс. Для этого произведена выборка объема n  40. Результаты испытаний приведены в таблицеИсследовать статистически случайную величину X – прочность (разрывная нагрузка), мН, пряжи линейной плотности 18,5 текс. Для этого произведена выборка объема n  40. Результаты испытаний приведены в таблице.
161 206 212 245 263 275 231 218 269 314
208 226 189 296 284 311 318 272 240 279
174 132 147 257 247 278 260 285 222 265
179 155 188 168 251 300 298 320 282 239

Решение:
Так как объём статистической совокупности n  40, то все множество значений выборки разбивается на классы. Число классов k определяется по объему выборки n с помощью таблицы.
Объём выборки n 40 – 60 60 – 100 100 – 200 200 – 500
Число классов k 6 – 7 7 – 10 10 – 14 14 – 17

Выбираем k =6.
Найдем длину классового промежутка  по формуле
.(1)
Здесь xmax наибольшее и xmin наименьшее значения. По таблице находим xmin  132; xmax  320. Тогда длина классового промежутка
∆=320-1326≈31
Значение  берется приближенно с той же точностью, с которой определены значения элементов выборки. Определяем границы классовых промежутков.
Левая граница первого промежутка принимается равной . Левая граница каждого следующего промежутка получается прибавлением  к левой границе предыдущего промежутка. Правый конец каждого промежутка меньше левого конца следующего промежутка на единицу последнего десятичного разряда значений в таблице исходных данных. Этим обеспечивается то, что каждое значение выборки попадает только в один интервал.
Все элементы выборки должны относиться к тому или иному классовому промежутку. При этом все элементы, попавшие в один и тот же промежуток, считаются равными между собой и равными среднему арифметическому границ промежутка. Отметим, что достаточно найти середину только одного из классовых промежутков, так как середины соседних промежутков отличаются друг от друга на . Теперь вместо исходной выборки изучается ее приближение, выборочный ряд середин промежутков .
Левая граница 1-го интервала 132-312=116,5. Далее:
116,5+31=147,5 147,5+31=178,5
178,5+31=209,5 209,5+31=240,5 240,5+31=271,5
271,5+31=302,5 302,5+31=333,5
Всего получится k + 1 промежуток, в нашем случае 6+1=7. xmax лежит внутри последнего промежутка.
Затем заполняем второй столбец

x1=116.5+147.42=131.95 x2=147.5+178.42=131.95 x3=178.5+209.42=131.95
x4=209.5+240.42=131.95 x5=240.5+271.42=131.95 x6=271.5+302.42=131.95
x7=302.5+333.42=131.95
Всего получится k + 1промежуток, в нашем случае 6+1=7. xmax лежит внутри последнего промежутка.
i
iZi

1 2 4 5 6 7 8 9
116,5 – 147,4
147,5 – 178,4
178,5 – 209,4
209,5 – 240,4
240,5 – 271,4
271,5 – 302,4
302,5 – 333,4 131,95
162,95
193,95
224,95
255,95
286,95
317,95 2
4
5
7
8
10
4 -3
-2
-1
0
1
2
3 -6
-8
-5
0
8
20
12 18
16
5
0
8
40
36 -54
-32
-5
0
8
80
108 162
64
5
0
8
160
324
Сумма
40
21 123 105 723

После того как заполнены столбцы 1 и 2 , переходим к столбцу 3. Для каждого элемента выборки находят классовый промежуток, которому принадлежит этот элемент, и в строке этого промежутка суммируются, обозначаются . При этом должно выполнятся условие .
Выбираем условный нуль А, совпадающий с тем значением , которое соответствует среднему классовому промежутку, а если таковых два, то тому из них, который имеет большую частоту Zi.
Строке табл. 1, соответствующей условному нулю А (у нас это строка 4, Z4=7, A=x4=224.95), соответствует i  0, строки над этой имеют соответственно i-1  — 1, i-2  — 2, и т. д., а строки под i-й — i+1  1, i+2  2, i+3  3 и т.д. После этого заполняются столбцы 6 — 9, а затем последняя строка – «Сумма» – для этих столбцов.
Для нахождения оценок параметров распределения случайной величины Х сначала определяются начальные условные моменты mr.
,(2)

r = 1; 2; 3; 4.
Числители в для каждого момента уже получены в строке «сумма» таблицы 1. Оценка математического ожидания величины X – среднее арифметическое выборки – выражается через начальный условный момент первого порядка
(3)
Центральные условные моменты определяются по формулам:
(4)
(5)
(6)
Оценки остальных числовых характеристик случайной величины Х выражаются через эти моменты:
оценка среднего квадратичного отклонения
; (7)
оценка коэффициента вариации
(8)
оценка коэффициента асимметрии
(9)
оценка коэффициента эксцесса
(10)

Находим начальные условные моменты

Тогда центральные условные моменты по формулам будут равны:
= 3,075 – 0,5252 =2,799;
= 2,625 – 0,525 (2 · 2,799 + 3,075) = — 1,929;
= 18,075 – 2  0,525 (- 1,929 + 2,625) +0,5254 = 17,420.

Теперь находим оценки параметров распределения прочности пряжи:

= 224,95 + 0,525  31 = 241,225 мН;
Sв=31∙2,799=51,86 мН

Св=51,86241,225∙100=21,5

As=-1.9292.7992.799=-0.41

Ex=17.4202.7992-3=-0.78

Для нормальной случайной величины коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю. Так как оценки параметров – это их приближённые значения, найденные по результатам обработки выборки, то они могут, даже для выборки из нормальной генеральной совокупности, несколько отличаться от нуля. Поэтому считается, что если , то распределение умеренно отличается от нормального. Если же , то отличие от нормального распределения значительное.
Для определения теоретических частот нормального закона распределения используются таблицы функции

Первые два столбца табл. 2 соответствуют третьему и четвертому столбцам табл. 1. Для каждого определяется нормированное отклонение ti:

ti=xi-xвSв
которое вносится в столб. 3 табл. 2. Затем находят по указанным таблицам значения функции φtи записывают их в столб. 4. Теоретические частоты пропорциональны плотности нормального распределения. Коэффициент пропорциональности определяется так, чтобы сумма теоретических частот равнялась объёму выборки, т. е.
. (13)
Тогда теоретические частоты Zi’ определяются по формуле
. (14)
Для контроля вычислений следует проверить выполнение равенства
.
Так как теоретические частоты определяются по формуле (14) приближенно (рекомендуется находить их с точностью 0,01), то может отличаться от объема выборки на 0,01 – 0,02. В последний столбец вносят значения относительных квадратов отклонений фактических частот от теоретических и находят их сумму
(15)
которая сравнивается с табличным значением , определяемым по уровню значимости α и числу степеней свободы по таблицам распределения Пирсона (Гмурман В. Е.,С. 358), где k — фактическое число классовых промежутков; α — уровень значимости.
ti=xi-xвSв

131,95
162,95
193,95
224,95
255,95
286,95
317,95 2
4
5
7
8
10
4 -1,623
-0,825
-0,027
0,771
1,569
2,367
3,165 0,0853
0,2265
0,3182
0,2365
0,0930
0,0193
0,0021 3,478
9,236
12,976
9,644
3,792
0,789
0,087 1,093
6,855
12,722
0,998
2,214
8,485
3,828
Сумма 40 — 0,9809 40,001 36,195
λ=400,9809=40,779
Если , то гипотеза о нормальности распределения отвергается. При этом вероятность отвергнуть верную гипотезу не превышает α.
Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальности распределения.
Коэффициент пропорциональности для нахождения теоретических частот
λ=400,9809=40,779
,
что позволяет заполнить столб. 5. Расчётное значение критерия Пирсона . Число степеней свободы f = 7 – 3 = 4. Выбираем уровень значимости α = 0,05 и по таблицам распределения Пирсона находим.
Так как = 36,195 > то есть основания отвергнуть гипотезу о нормальности распределения прочности пряжи Т = 18,5 текс.

7.6 Найти по заданному вариационному ряду выборки выборочное среднее x, выборочную дисперсию σ2, исправленную выборочную дисперсию S2.
7.6. 110 115 120 125 130 135 140

5 10 30 25 15 10 5

Решение:
Найдем объем выборки:
n=ni=5+10+30+25+15+10+5=100
Определим выборочную среднюю
xb=nixin=110∙5+115∙10+120∙30+125∙25+130∙15+135∙10+140∙5100=124,25
Найдем выборочную дисперсию σ2:
σ2=nixi-xb2n=
=5110-124,252+10115-124,252+30120-124,252+25125-124,252+15130-124,252+10135-124,252+5140-124,252100=
=5318,75100=53,1875
Найдем исправленную выборочную дисперсию S2.

S2=nixi-xb2n-1=5318,7599=53,7247