Задача 1 3 1 3 Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов

Задача 1.3.
1.3. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный — 2 кг азотных, б кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный — 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Пусть
Вi – необходимый минимум питательных веществ i-го типа.
Так, В1 = 10 кг, В2 = 20 кг , В3 = 7 кг
Сi – стоимость 1 кг j-го набора.
Так, С1 = 3 д.е. С2 = 4 д.е..
Пусть Хi –количество j-го набора
Целевая функция (общие расходы)
<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>
Ограничения:
<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>
Х1,2>=0

1. По системе ограничений построим область допустимых решений (ОДР) – область, которая удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений. Она ограничена фигурой Ох2-А-С-Е-В-Ох1
2. Построим линию целевой функции f(x) = 0 и укажем направление вектор – градиента drad F (x1, x2) = {3;4}. Перемещаем линию F(x1, x2) по направлению вектор – градиента параллельно самой себе (в сторону). Первая точка ОДР, которую коснется линия F(x1, x2), является точкой минимума (в нашем случае, линия F(x1, x2) первой коснется т.С).
3. Найдем координаты угловой точки С (решение нашей задачи):
<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>
3. Определим значение F(x1, x2) в угловой точке ОДР – С и определим min:
<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>
Для минимизации расходов на удобрения требуется:
Х1 (обычный набор) = 2 ед
Х2 (улучшенный набор) = 2 ед
Тогда минимальные затраты F(x) = 14 ден.ед.
Решая на максимум значение F(x1, x2) будет стремиться в ∞, т.к. ОДР не ограничен сверху:
Сформулируем двойственную задачу – задачу на максимум:
* целевая функция Z(у) =<Object: word/embeddings/oleObject5.bin> = 10y1 + 20y2 + 7y3 mах.
* ограничения
<Object: word/embeddings/oleObject6.bin>
Экономический смысл целевой функции Z(у) – стоимость ресурсов, задействованных в оптимальном рационе
У1 – двойственная оценка азотных удобрений
У2 – двойственная оценка фосфорных удобрений
У3 – двойственная оценка калийных удобрений