Вывод формулы для определения силы гидростатического давления жидкости на плоские стенки

Представим резервуар, наполненный жидкостью и имеющий наклонную плоскую стенку (рис. 1). На стенке резервуара наметим некоторую плоскую фигуру любого очертания площадью W. Координатные оси ох, оу выберем так, как указано на чертеже. Ось oz перпендикулярна к плоскости чертежа. В плоскости oyz расположена рассматриваемая фигура, которая проектируется в виде прямой, обозначенной жирной линией, справа показана эта фигура в совмещении с плоскостью оух.
В соответствии с первым свойством гидростатического давления можем утверждать, что во всех точках площади w давление жидкости направлено нормально к стенке. Отсюда заключаем, что сила гидростатического давления, действующая на произвольную плоскую фигуру, также направлена нормально к ее поверхности.

Рис. 1. Давление жидкости на плоскую стенку
Для определения силы давления выделим элементарную (бесконечно малую) площадку d. Сила давления dP на элементарную площадку определится так:

где h глубина погружения площадки . Так как
, то
Сила давления на всю площадку:

(1)
Первый интеграл представляет собой площадь фигуры :

Второй интеграл представляет собой статистический момент площади относительно оси ох. Как известно, статистический момент фигуры относительно оси ох равен произведению площади фигуры на расстояние от оси ох до центра тяжести фигуры, т. е.

Подставляя в уравнение значения интегралов, получим:

Но так как yц.тsin= hц.т, где hц.т —глубина погружения центра тяжести фигуры, то:
(2)
Выражение, заключенное в скобки, представляет собой давление в центре тяжести фигуры:

Следовательно, уравнение можно записать в виде:
(3)
Таким образом, сила гидростатического давления на плоскую фигуру равна гидростатическому давлению в центре тяжести ее, умноженному на величину площади этой фигуры. Определим центр давления, т. е. точку приложения силы давления Р.
Так как поверхностное давление Р0, передаваясь через жидкость равномерно распределяется по рассматриваемой площади, то точка приложения силы будет совпадать с центром тяжести фигуры. Если над свободной поверхностью жидкости давление атмосферное (Р0 =Ратм), то его учитывать не надо.
Давление, обусловленное весом жидкости, неравномерно распределяется по площади фигуры: чем глубже расположена точка фигуры, тем большее давление она испытывает. Поэтому точка приложения силы будет лежать ниже центра тяжести фигуры. Координату этой точки обозначим . Для ее нахождения воспользуемся известным положением теоретической механики: сумма моментов составляющих элементарных сил относительно оси ох равна моменту равнодействующей силы Р относительно той же оси ох, т. е.
так как
, то

Здесь значение интеграла представляет собой момент инерции фигуры относительно оси ох:
, а сила

Подставляя эти соотношения в уравнение, получим:
(4)
Формулу (4) можно преобразовать, воспользовавшись тем, что момент инерции Jх относительно произвольной оси ох равен:
(5)
где I0 — момент инерции площади фигуры относительно оси, проходящей через ее центр тяжести и параллельной оси ох; Yц.т.— координата центра тяжести фигуры (т. е. расстояние между осями).
С учетом (5), получим:
(6)
Центр давления от сил давления самой жидкости всегда расположен ниже центра тяжести на величину

и погружен на глубину:
(7)
где
— глубина погружения центра давления под поверхностью жидкости….