Вектор коллинеарные и равные векторы длина вектора Вектор – это направленный отрезок

Вектор, коллинеарные и равные векторы, длина вектора.
Вектор – это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины.
Вектор началом которого есть точка А, а концом – точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.

Длиной вектора называется длина направленного отрезка, определяющего вектор. Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.
Виды векторов.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1.
 Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.
У такого вектора конец и начало совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.
Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.

А) Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора а и b называются сонаправленными векторами только тогда, когда их направления соответствуют друг другу: а ↑↑ b.

Б) Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора а и b называются противоположно направленными векторами, только когда они направлены в разные стороны:  а↑↓ b .

В) Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной плоскости или те, которые лежат на общей  плоскости.
В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.

Равные вектора.  Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.
То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место плоскости.
Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют одинаковые длины:
 

2 . Сложение векторов (определение и свойства).
Сложение векторов (сумма векторов) a + b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b.
При сложении векторов  и  получаем:

Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы  и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов  и .

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы  и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов  и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Умножение вектора на число (определение, свойства).
Произведением вектора a⃗  на число λ∈R называется такой вектор b⃗ =λa⃗ , что |b⃗ |=|λ|⋅|a⃗ |.

Формулы умножения вектора на число
Формула умножения вектора на число для плоских задач
В случае плоской задачи произведение вектора а = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · а = {k · ax; k · ay}
Формула умножения вектора на число для пространственных задач
В случае пространственной задачи произведение вектора а = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · а = {k · ax ; k · ay ; k · az}
Свойства вектора умноженного на число
Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:
b || a – вектора b и a параллельны
а↑↑b, если k > 0 – вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 – вектора b и b противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| – модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k
Пример умножения вектора на число
Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.