Составить уравнение линейной регрессии используя МНК и найти числовые характеристики переменных

. Составим уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найдем числовые характеристики переменных.
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – и . МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна:
. (1)

Решая систему уравнений (2), найдем искомые оценки параметров и :

(2)
Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (2):
,, (3)
где – ковариация признаков и ,
– дисперсия признака и
, , , .(4)
Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1:
Т а б л и ц а 1. Расчетная таблица
Число наблюдений , %
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 168 80 13440 28224 6400 73.3255 6.6745 44.5493 0.0834
2 158 30 4740 24964 900 73.2094 -43.2094 1867.0529 1.4403
3 293 20 5860 85849 400 74.7763 -54.7763 3000.4428 2.7388
4 245 35 8575 60025 1225 74.2192 -39.2192 1538.1442 1.1205
5 199 36 7164 39601 1296 73.6853 -37.6853 1420.1802 1.0468
6 202 65 13130 40804 4225 73.7201 -8.7201 76.0401 0.1342
7 210 100 21000 44100 10000 73.8130 26.1870 685.7616 0.2619
8 167 123 20541 27889 15129 73.3139 49.6861 2468.7118 0.4040
9 270 110 29700 72900 12100 74.5093 35.4907 1259.5865 0.3226
10 263 140 36820 69169 19600 74.4281 65.5719 4299.6740 0.4684
Итого 2175 739.00 160970 493525 71275 739 0 16660.1434 8.021
Среднее значение 217.5 73.9 16097.0000 49352.5000 7127.5000 73.9000 – 1666.0143 0.8021
45.24 40.82 – – – – – – –
2046.25 1666.29 – – – – – – –
Система нормальных уравнений примет вид:

Средние значения:
, , ,
σх=2046,25=45,24.
σу=1666,29=40,82.

,
Получили уравнение: = 71,376 + 0,0116·x.
2.Составим уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.
Х=1168115812931245119912021210116712701263

Система нормальных уравнения для модели линейной регрессии имеет вид:
(5)
где В=ab
Тогда (6)
Рассчитаем
1111111111168158293245199202210167270263∙1168115812931245119912021210116712701263=
=1021752175493525;
1111111111168158293245199202210167270263∙=739160970;
Матрицу определим по формуле , (7)
где – определитель матрицы ; – матрица, присоединенная к матрице .
Получим
A-1=2,41185-0,01063-0,010630,000049
Теперь умножим эту матрицу на вектор
739160970.
Получим В=2,41185-0,01063-0,010630,000049∙739160970=71,3760,0116
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
= 71,376 + 0,0116·x. (8)
что совпадает с ранее полученным уравнением (с точностью до округления).
3.Вычислим коэффициент корреляции и оценим полученное уравнение регрессии.
Показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции . Для его вычисления воспользуемся формулой (9)
. (9)
.
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при имеем строгую функциональную зависимость). В данном случае связь очень слабая.
Определяют среднюю ошибку аппроксимации по формуле:
. (10)

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10 %, значит данная модель плохо аппроксимирует зависимость.
4.Найдем оценки параметров .
Найдем стандартные ошибки коэффициентов регрессии:
mb= Sостσx ∙ n=i=1n(yi- yi)2n-m-1σx ∙ n=16660,1434845,24 ∙ 10=0,3190;
ma=Sостxi2σx ∙ n=16660,14348 ∙ 49352545,24 ∙10= 70,871.
Определим оценку дисперсии ошибки прогноза по формуле (11):
δ2=i=1n(yi- yi)2n-m=16660,143410-2=2082,52 (11)
5.Найдем параметры нормального распределения для статистик и .
Найдем t – критерии Стьюдента:
tb= bmb= 0,1160,23190=0,036;
ta= ama= 71,37670,871=1,007.

tтабл. при n – m – 1 = 10 – 1 – 1 = 8 tтабл. = 2,31
т.к. tb ≤ tтабл. и tа ≤ tтабл. признаем и статистическую незначимость параметраов а и b регрессии.
6.Найдем доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости α = 0,05.
εa= tтабл ∙ ma=2,31 ∙70,871=163,71 и
εb= tтабл ∙ mb=2,31 ∙0,036=0,5083.
a- εa≤ a ≤ a+ εa
71,376-163,71 ≤ a ≤71,376+163,71
-92,05 a 234,80;
b- εb≤ b ≤ b+ εb
0,0116-0,5083 ≤ b≤0,0116+0,5083
-0,724 b 0,747.
7.Вычислим коэффициент детерминации и оценим качество выбранного уравнения регрессии.
Квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
Значит, уравнение регрессии объясняет 0,02% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходятся 99,98%.
Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью -критерия Фишера. Рассчитаем фактическое значение -критерия. Так как коэффициент детерминации уже известен, проще всего использовать формулу (12):
F=rxy2n-m1-rxy2m-1=0,0002∙81-0,0002=0,0013 (12)
где m=2 – число оцениваемых параметров уравнения регрессии;
n=10 – число наблюдений.
Табличное значение -критерия k2=n-2=10-2=8; α=0,05; Fтабл=5,32. Так как Fтабл>Fфакт , поэтому признается статистическая незначимость уравнения в целом….