о назначениях — одна из фундаментальных задач комбинаторной оптимизации в области математической оптимизации или исследовании операций

нулевые элементы получены вычитанием наименьшего элемента в каждой строке.
Как только будут получены нулевые элементы, применяют различные алгоритмы: Мака, венгерский, минимальных линий.
Если все нулевые элементы в матрице будут вычеркнуты, а минимальное число линий будет равно размерности матрицы, то независимые нули в матрице существуют, и решение найдено. В противном случае выбирается наименьший элемент из невычеркнутых элементов.  Этот  элемент вычитается из  каждого невычеркнутого элемента и прибавляется к каждому элементу, стоящему на пересечении проведенных прямых. В результате получается матрица, которая указывает на два оптимальных решения
Если на последнем шаге оптимальное решение не достигнуто, то процедуру проведения прямых следует повторять до тех пор, пока не будет получено допустимое решение.
Оценка вариантов решений методом отношений предпочтения ЛПР.
Построение функций предпочтения во многих случаях оказывается для ЛПР достаточно сложной задачей. В этих случаях для оценки вариантов решений можно воспользоваться отношениями предпочтений ЛПР.
В настоящее время предложено много методов ранжирования, использующих отношения предпочтения ЛПР и вводящих функции согласия (concordance), несогласия (discordance) и пороговые значения для определения отношений эквивалентности, предпочтения и значительного. Исполь-зуя эти подходы, отношения предпочтения будем строить посредством лингвистических переменных полученных либо с помощью базовых шкал, либо непосредственно от ЛПР. Тогда отпадает необходимость введения пороговых значений pj .
Отношение предпочтения по j-му критерию pj(k, l) для пары альтернатив (Ak, Al) определим соотношением:
(1)
где mj – балльность шкалы оценок ЛПР по j-му критерию.
Отношение предпочтения (1) может быть названо отношением нечеткого предпочтения, т.к. rrj и rlj – лингвистические, т.е. нечеткие переменные, характеризующие критериальные оценки ЛПР k-ой и l-ой альтернативы по j-му критерию.
Отношение предпочтения по паре альтернатив (Ak,Al) определим соотношением:
(2)
где kj – «нормированный» вес (значимость) j-го критерия.
Выражение (2) есть функция согласия с тем, что k предпочтительнее l, а функция P(l,k) – функция несогласия с этим утверждением.
(3)
где j k – лингвистическое или балльное значение «веса» j-го критерия.
Нечеткое отношение доминирования альтернативы Ak над альтернативой Al оп- Dределим функцией (k,l) , характеризующей интенсивность доминирования
(4)
(k,l) должна обладать следующими свойствами: (k,l) возрастает с надежностью увеличения превосходства альтернативы Ak1 над альтернативой Al j(k,l) – неубывающая функция от rkj, , так в частности, и невоз- jрастающая функция от rlj, . (k,l)=1 означает безусловное превосходство альтернативы Ak над альтернативой Al . (k,l)=0 означает безусловное отсутствие превосходства альтернативы Ak над3. альтернативой Al или полное отсутствие аргументов в пользу превосходства одной альтернативы над другой. DПоскольку (k,l) – размытое множество, альтернатив Ak, Al l таких, чтоk, , NDони доминируются Ak, естественно определить отношение недоминирования (k,l) Dкак дополнение к (k,l) . DND = 1-(k,l) (k,l) (3) k не доминирует-ND – размытое множество альтернатив Ak,Аналогично (k,l) ND для всех альтернатив,мое альтернативой Ak. Пересечение всех альтернатив (k,l) которые не доминируются никакими альтернативами. Таким образом, получаем множество, которое получается следующим образом:

(5)

(6)
Алгоритм ранжирования альтернатив может иметь следующий вид:
1. Инициализация задачи: …