– найти точку в «середине» области ограничений (суммарное расстояние от выбранной точки до границы области минимально по квадратичному критерию) и коо

= 5,х2 = 5. Число вычисляемых элементов матриц равно 60. При этом величина критерияI = 30.
Пример 1.10.2. Найти решение задачи из примера 1.10.1 при различных значениях коэффициентов целевой функции (с1 = 1; с2 = 5) и(с1 = 1; с2 = 1).
Применим метод предварительного решения системы ограничений.
Решение системы линейных неравенств (1.10.2) имеет вид:
(1.10.3)
Подставляя х1, х2 в выражение для целевой функции при заданных значениях c1 и c2 в первом варианте, приходим к задаче линейного программирования:
F = 6P1 + 10P2 + 26P3 + 30P4 max(1.10.4)
при наличии ограничений
(1.10.5)
Решение задачи (1.10.4), (1.10.5) имеет вид:
P1 = 0; P2 = 0; P3 = 0; P4 = 1.
При этом х1 = 5, х2 = 5. Число вычисляемых в симплекс-методе элементов матриц равно 20 (вместо 60 при известном подходе), F = 30.
Для второго варианта число вычисляемых в симплекс-методе элементов матрицтакже уменьшилось иравно 20, F = 10.
Оперативный анализ при изменении величины ресурсов B
Для решения этой задачи составим двойственную задачу линейного программирования и к ней применим метод предварительного решения.
Пример 1.10.3. Оперативный анализ при изменении величины ресурсов Bиз примера 1.10.1.
Двойственная задача линейного программирования имеет вид:
найти минимум целевой функции
f = –U1+5U2 – U3+5U4
при наличии ограничений
(1.10.6)
Число вычисляемых в симплекс-методе элементов матрицравно 30, f = 30.
Анализ влияния изменения величины ресурсов B производится путем изменения коэффициентов целевой функции.
Воспользуемся теперь методом предварительного решения системы ограничений.
Решение системы линейных неравенств (1.10.6) имеет вид
U1 = P3 ; U2 = P1 + P3 + P5; U3 = P4; U4 = P2 + P4 + 5P5; U5 = P5.(1.10.7)
Ui≥ 0, i=1,5.
Подставляя Ui в выражение для целевой функции (1.10.5), приходим к задаче линейного программирования:
F = 5P1 + 5P2 + 4P3 +4P4 + 30P5 max .(1.10.8)
При наличии ограничений
(1.10.9)
Число вычисляемых элементов матриц равно 12 (вместо 30 при использовании симплекс-метода без предварительного решения),f = 30.
Рассматриваемый подход к повышению оперативности анализа может быть применен к различным задачам, сводящимся к задачам линейного программирования. Рассмотрим такую возможность на примере оперативного анализа решения задачи дробно-линейного программирования, имеющей большое практическоезначение.
Оперативный анализ решения задачи дробно-линейного программирования
Пример 1.10.4. Найти максимум целевой функции
Z = (x1 + 2×2) / (3×1 + x2)(1.10.10)
при выполнении ограничений
(1.10.11)
Преобразованная известным методом задача имеет вид:
найти максимум целевой функции
Z = y1 + 2y2(1.10.12)
при наличии ограничений
(1.10.13)
Решение задачи осуществляется стандартными методами линейного программирования на основе симплекс-метода. Число вычисляемых элементов матриц равно 192. При этом величина критерия Z = 1,3.
Пример 1.10.5. Найти решение задачи из примера 1.10.4 на основе применения метода предварительного решения системы ограничений.
Решение системы линейных ограничений(1.10.11) имеет вид
(1.10.14)
Подставляя y1, y2 в выражение для целевой функции (1.10.12) приходим к задаче линейного программирования:
F = 6p1 + 9p2 + 24p3 + 30p4 +12p5+15p6 max . (1.10.15)
При наличии ограничений
(1.10.16)
Решение задачи (1.10.15), (1.10.16) имеет вид:
p1 = 0; p2 = 0,14; p3 = 0; p4 = 0; p5=0; p6 =0.
Число вычисляемых в симплекс-методе элементов матриц равно 42 (вместо 192 приподходе без предварительного решения), F = 1,3.
Получение математической модели динамического промышленного объекта
Моделирование динамического объекта начинается с установления его типа: стационарной или нестационарной, линейный или нелинейный.
Линейные стационарные объекты описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Если коэффициенты линейных дифференциальных уравнений являются функциями независимых переменных, то объект относится к классу линейных нестационарных.
Нелинейные стационарные объекты описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, а нелинейные нестационарные — нелинейными уравнениями с переменными коэффициентами.
В изучаемом курсе рассматриваются модели линейных объектов.
Аналитическое представление модели динамического объекта в виде дифференциального уравнения не является единственно возможным. Для систем автоматического регулирования принято представление модели в виде типовых линейных и нелинейных звеньев и их передаточных функций.
Примером линейного стационарного динамического объекта является электрическая цепь, содержащая активные и реактивные элементы, (рисунок 1).

Рисунок 1 – Схема электрической цепи
 
Переходный процесс при замыкании ключа в такой цепи описывается дифференциальным уравнением
 , (8)
в котором i и Е являются функциями времени, а параметры цепи L и R — постоянными коэффициентами.
В качестве другого примера рассмотрим движение механизма, имеющего приведенный момент инерции I и момент нагрузки Мнагр, в общем случае переменный. Механизм приводится в движение моментом двигателя М, (рисунок 2)

Рисунок 2- Расчётная схема механизма
Изменение угловой скорости механизма w описывается дифференциальными уравнениями, называемыми уравнениями движения

Математическими моделями объектов в приведенных примерах являются дифференциальные уравнения первого порядка. Такие уравнения имеют семейства решений. Чтобы выбрать одно решение из многих, необходимо знать начальное значение функции, то есть ее значение в начальный момент времени.
В общем виде можно записать
y¢ = ¦ (y, t)
y (t0) = y0. (10)…