Игра с природой платежная матрица Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы

В условиях отсутствия достаточно полной информации о действиях противоположной стороны возникает неопределённость в принятии решения. Так, в задачах, приводящих к игровым, эта неопределённость может быть вызвана разными причинами: отсутствием информации об условиях, в которых происходит действие; неоднозначным характером развития событий в будущем; невозможностью получения полной информации о рассматриваемых процессах.
Условия, в которых может происходить действие игры, зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективных факторов, которые принято называть “природой”. Такие игры называются играми с природой.
С целью уменьшения неблагоприятных последствий при принятии решения следует учитывать степень риска и имеющуюся информацию. Таким образом, лицо, принимающее решение (статистик), вступает в игровые отношения с природой. Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под “природой” будем понимать совокупность неопределённых факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.
Задачей экономиста или статистика является принятие наилучшего управленческого решения в каждой конкретной ситуации. Качество принимаемого решения зависит от информированности лица, принимающего решение (ЛПР), о ситуации, в которой принимается решение. В случае неопределённости ошибки в принятии решения наиболее вероятны. Умение использовать даже неполную информацию для обоснования принимаемых решений − это задача экономиста, а в решении её помогает математическая теория игры с природой.
От обычной матричной игры игру с природой отличает безразличие природы к результату игры и возможность получения статистиком дополнительной информации о состоянии природы.
Игры с природой дают математическую модель теории принятия решений в условиях частичной неопределённости. Для её описания используем обозначения матричных игр. Множество стратегий (состояний) природы обозначим В, отдельное состояние её − , . Множество стратегий (решений) статистика обозначим А, а его отдельную стратегию в игре с природой − , .
Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.
Природа действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как её состояния; например, условия погоды в данном районе, спрос на определённую продукцию, объём перевозок, сочетание производственных факторов и т. д. В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других − оно неизвестно.
Условия игры с природой задаются платёжной матрицей

Элемент называется выигрышем статистика А, если он использует стратегию , когда природа находится в состоянии . Фактически это может быть значение некоторой функции, характеризующей эффективность принятого статистиком решения.
При решении игры с природой допускается исключение доминируемых стратегий только для стратегий статистика. Стратегии природы исключать нельзя, поскольку она может реализовать состояния, заведомо невыгодные для неё.
Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность pj каждого состояния природы . При этом, если учтены все возможные состояния, то р1 + р2 + … + pj + … +рn = 1 .
Если игрок А выбирает чистую стратегию , то математическое ожидание выигрыша составит Наиболее выгодной будет та стратегия, при которой достигается

Если информация о состояниях природы мала, то можно применить принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которому можно считать, что все состояния природы равновероятностны:

т.е. стратегию, для которой среднее арифметическое элементов соответствующей строки максимальное.
Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии. Рассмотрим некоторые из них.
Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она выбирается из условия

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека способом.
Критерий максимума. Он выбирается из условия
.
Критерий является оптимистическим, считается, что природа будет наиболее благоприятна для человека.
При принятии решений в условиях неопределенности следует оценивать различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.

Задача. Решить игру с нулевой суммой с платёжной матрицей: А= 898273645546372819
Решение.
Определим нижнюю цену игры – α

Стратегии “B”
Стратегии “A” B1 B2 B3 Минимумы строк
A1 89 82 73 73*
A2 64 55 46 46
A3 37 28 19 19
В нашем случае нижняя цена игры равна: α = 73, и для того чтобы гарантировать себе выигрыш не хуже чем 73 мы должны придерживаться стратегии A1Определим верхнюю цену игры – β

Стратегии “B”
Стратегии “A” B1 B2 B3 Минимумы строк
A1 89 82 73 73*
A2 64 55 46 46
A3 37 28 19 19
Максимумы столбцов 89 82 73+
В нашем случае верхняя цена игры равна: β = 73, и для того чтобы гарантировать себе проигрыш не хуже чем 73 противник ( игрок “B”) должен придерживаться стратегии B3Сравним нижнюю и верхнюю цены игры, в данной задаче они совпадают, т.е. α = β = 73 . Это значит, что игра имеет решение в так называемых “чистых”, минимаксных стратегиях. В нашем случае для игрока “A” оптимальной будет стратегия A1, а для игрока “В” – B3. Нетрудно заметить, что элемент платежной матрицы расположенный на пересечении чистых оптимальных стратегий (строка 1, столбец 3) является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце. Такие элементы называются седловыми точками, именно их наличие и определяет существование решения игры в чистых стратегиях, а его значение (в нашем случае 73) совпадает с чистой ценой игры или просто ценой игры – v. Пара оптимальных стратегий, в играх имеющих седловую точку, всегда проходит через последнюю.

Стратегии “B”
Стратегии “A” B1 B2 B3 Минимумы строк
A1 89 82 73*+ 73*
A2 64 55 46 46
A3 37 28 19 19
Максимумы столбцов 89 82 73+

Ответ:Нижняя цена игры, верхняя цена игры и чистая цена игры:  α = β = v = 73;Пара оптимальных стратегий:  A1B3
…