Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида Упорядоченный набор значений называется решением системы
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
Упорядоченный набор значений называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.
Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот.
Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.
Система линейных алгебраических уравнений
эквивалентна системе
,
где — невырожденная матрица.
В частности, если сама матрица — невырожденная, и для неё существует обратная матрица , то решение системы уравнений можно формально записать в виде
К элементарным преобразованиям системы линейных уравнений относятся:
1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.2)Перестановка уравнений местами.3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
19.Метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A 0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
xi = i/, где
= det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
i =
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.
При = 0 система имеет бесконечное множество решений.
20. Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество .
Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.
Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.
Необходимое условие:
Если система совместна, то ранг расширенной матрицы и ранг матрицы коэффициентов равны.
Следовательно, столбец свободных членов линейно зависит от столбцов матрицы коэффициентов, поэтом столбцы расширенной матрицы содержат тоже количество независимых столбцов, что и матрица коэффициентов, тогда добавление линейно зависимого столбца не изменит ранг матрицы. Следовательно, по теореме о ранге матрицы, ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.
Достаточное условие:
Применим правило Крамара к произвольной системе.Пусть система совместна, тогда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда переставим уравнения системы, и перенумеруем переменные так, что бы базисный минор стоял в левом верхнем углу.
Пусть для системы m линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть рангматрицы коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных, то система имеетединственное
Часть выполненной работы
.
Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения
и т.д.
Получим:
, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
Число арифметических операций, необходимое для реализации прямого хода в методе Гаусса для решения систем уравнений порядка n, равно
При обратном ходе
Из формул выше получаем оценку общего числа арифметических действий
22. Однородная система линейных уравнений
или
всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных, то тривиальное решение единственное. Предположим, что. Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрицаоднородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду, т.е.. Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы уравнений:
(5.13)
Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.
Свойства решений однородной системы уравнений
1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинациятакже является решением однородной системы.
В самом деле, из равенств следует, что
т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.
2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений.
Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений, придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):
Получим решений
которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен . Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).
Любая совокупность линейно независимых решенийоднородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.
Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.
23. Рассмотрим неоднородную систему и соответствующую ей однородную систему. Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.
Свойства решений неоднородной системы уравнений
1. Разность двух решений инеоднородной системы есть решение однородной системы.
Действительно, из равенств иследует, что.
2. Пусть — решение неоднородной системы. Тогда любое решениенеоднородной системы можно представить в виде
, где — решение однородной системы.
В самом деле, для любого решения неоднородной системы разностьпо свойству 1 является решением однородной системы, т.е.— решение однородной системы.
Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.
Пусть — решение неоднородной системы, а— фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец
(5.15)
при любых значениях [i]произвольных постоянных является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решенияэтой системы найдутся такие значения произвольных постоянных, при которых это решениеудовлетворяет равенству (5.15).[/i]
1003935-1905002362200381000
24. Множество называют Пересечением линейных подпространств и. На рис. 2.4 видим, что два линейных подпространства, изображенные плоскостями, в пересечении дают прямую, также являющуюся представлением некоторого линейного подпространства
Теорема Пересечение двух линейных подпространств и. в линейном пространстве я вляется линейным подпространством в.
Если векторы и принадлежат , то каждый из этих векторов принадлежит как так и. Поскольку – линейное подпространство, то, согласно определению 2.1, заключаем, что вектор равный сумме векторов этого линейного подпространства, тоже принадлежит . Аналогично так как каждое из слагаемых является элементом линейного подпространства . Следовательно, .
Выберем произвольный вектор . Тогда и . Так как является линейным подпространством, то произведение элемента х этого линейного подпространства на произвольное действительное число принадлежит . Но совершенно аналогично вектор – Поэтому .
. Следовательно, является линейным подпространством.
Определение. Множество всех векторов вида , где и , называютсуммой линейных подпространств и .
На рис. 2.5 линейные подпространства и представлены несовпадающими прямыми, проходящими через фиксированную точку О. Их сумма представляется плоскостью, содержащей обе прямые.
Теорема. Сумма линейных подпространств данного линейного пространства является линейным подпространством в том же линейном пространстве.
Рассмотрим два вектора из множества, имеют место представления
где векторы . Складывая эти равенства, получаем
Сумма векторов и линейного подпространства принадлежит . Точно так же сумма векторов и линейного подпространства принадлежит . Поэтому вектор принадлежит множеству .
Произвольный вектор имеет представление , где и . Для любого действительного числа получаем равенства
Так как вектор , а то вектор является элементом множества.
…
