Другой способ решения игр основан на геометрической интерпретации игры Пример

Если первые два способа имеют ограничения на использование, то следующий способ решения не имеет этого недостатка. Способ решения представляет сведение задачи теории игр к ЗЛП (теорема 3).
Пусть игра имеет матрицу . Согласно теореме 3:
и
Пусть для определённости С > 0. Разделим все неравенства на С.
и
Обозначим ,, при этом,,,.
и
Кроме того, так как и, тои. Так как первый игрок стремится получить max выигрыш, то, а, и. Второй игрок стремится получить минимальный проигрыш, поэтому.
Игра, определяемая матрицей А, имеющей m строк и n столбцов, называется конечной игрой размерности .
Чтобы описание игры было законченным, необходимо указать цели, которыми руководствуются игроки при выборе своих стратегий. Эти цели просты: 1-й игрок стремится обеспечить себе наибольший выигрыш, а 2-й – наименьший проигрыш. Специфической трудностью является то, что ни один из игроков не контролирует полностью значение , т.к. 1-й игрок распоряжается только выбором i, а 2-й – j. Преодоление этой трудности, т.е. определение наиболее рационального способа ведения игры каждым игроком, и представляет собой существо теории игр.
Для того, чтобы понять принципы, которые лежат в основе выбора каждым игроком своей стратегии, рассмотрим игру со следующей матрицей А

При выборе 1-м игроком, например, 1-й стратегии, х1, его выигрыш может быть равен 7, 2 или 5. Может ли 1-й игрок рассчитывать на максимальный выигрыш? Да, если 2-й игрок выберет 1-ю свою стратегию, y1. Однако он может выбрать и 2-ю стратегию, y2, и выигрыш будет равен 2. Но уже меньше 2 выигрыш не может быть ни при какой стратегии 2-го игрока. Поэтому число 2, являющееся минимальным элементом стратегии х1, есть гарантированный выигрыш 1-го игрока при стратегии х1. Аналогично можно определить гарантированные выигрыши для любой стратегии 1-го игрока – А(х). Предполагается, что игроки избегают необоснованного риска и выбирают ту стратегию, которая дает максимальный из всех гарантированных выигрышей.
Число называется нижней ценой игры или максимином.
А соответствующая стратегия – максиминной.
Также можно рассуждать и в отношении 2-го игрока. Только в А указаны его проигрыши, которые он стремится минимизировать. Например, стратегия y1может принести 2-му игроку проигрыш 7, 2 или 3. Но уже больше 7 он не проиграет. Следовательно, число 7, являющееся максимальным элементом стратегии y1, естьгарантированный проигрыш2-го игрока при y1. Определим все гарантированные проигрыши – В(y). Каким же проигрышем может ограничиться 2-й игрок?
Числоназывается верхней ценой игры или минимаксом.
А соответствующая стратегия – минимаксной.

Билет 7

Способы …