Доказать тождество divφA=φdivA+A ∇φ
Сначала немного теории.
divA – дифференциальная характеристика поля, является скалярной величиной (числом). Равна сумме частных производных по координатам изменения проекций векторного поля A.
divA=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z
Значения проекций поля A берут в конкретной точке поля М и говорят, что если:
divAM>0, то в точке М есть источник (исток) поля А, а значение дивергенции равно мощности этого источника
divAM<0, то в точке М есть сток поля А, а значение дивергенции равно мощности этого стока
divAM=0, в точке М нет ни стока, ни источника векторного поля. Т.е. величина поля в этой точке остается неизменной. На практике дивергенцию рассматривают как плотность распределения источников и стоков векторного поля А, а тройной интеграл от неё по объему равен суммарной мощности источников и стоков в этом объеме (см. теорема Остроградского – Гаусса).
AndS=divAdV
Пример:
Дано поле A=x3;-y2;lnz. Есть ли сток/исток в точке М (2;1;4)?
Часть выполненной работы
divA=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z=∂x3∂x+∂(-y2)∂y+∂lnz∂z=3×2-2y+1z
divAM=322-21+14=10,25
В данной точке этого векторного поля есть источник поля с мощностью 10,25
divAM=322-21+14=10,25
В данной точке этого векторного поля есть источник поля с мощностью 10,25
Как бы то ни было, нам требуется доказать тождество
divφA=φdivA+A ∇φ
Следует учесть, что A – векторное поле, а φ – скалярное поле (числовое значение поля, без направления). Их скалярное произведение равно:
φA=φAx;Ay;Az=φAx;φAy;φAz
Таким образом доказывание нашего тождества сводится к поиску суммы частных производных от произведения:
divφA=∂φAx∂x+∂φAy∂y+∂φAz∂z
Может показаться, что мы можем вынести число φ из-под знака производной, но это заблуждение – распишем каждое слагаемое как производную от произведения:
divφA=∂φAx∂x+∂φAy∂y+∂φAz∂z==∂φ∂xAx+φ∂Ax∂x+∂φ∂yAy+φ∂Ay∂y+∂φ∂zAz+φ∂Az∂z=φ∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z+∂φ∂xAx+∂φ∂yAy+∂φ∂zAz=φ·divA+∂φ∂xAx+∂φ∂yAy+∂φ∂zAz
Второе слагаемое – это скалярное произведение двух векторов
∂φ∂x;∂φ∂y;∂φ∂z=gradφ, и Ax;Ay;Az
Отсюда получаем
divφA=φ·divA+∂φ∂xAx+∂φ∂yAy+∂φ∂zAz==φ·divA+gradφ;A
Меняем местами множители во втором слагаемом, т.к. это можно делать в скалярном произведении градиента (суть вектор) и вектора A. И получаем искомое тождество:
divφA=φ·divA+A;gradφ=φ·divA+A· ∇φ
…
dotcent 5.0
Образование: кандидат технических наук (КубГТУ) + магистр бизнес-информатики (КубГУ) Опыт работы: заведующий кафедрой информационных технологий (ИМСИТ), доцент кафедры ИТ, доцент кафедры Менеджмента
На странице представлен фрагмент
Уникализируй или напиши новое задание с помощью нейросети
