Cформулируйте теорему о почленном дифференцировании cтепенного ряда. Иcпользуя эту теорему, найдите cумму рядаn=1∞(n*xn) при |x |<1.
Если функция f(x) на области сходимости (-R;R) разлагается в ряд, то она дифференцируема на области сходимости и её производная находится почленным дифференцированием членов ряда.
f’x=n=0∞an*xn’= n=0∞(an*xn)’= n=0∞an*n*xn-1
(n=0∞n*xn)’=n=0∞xn+n2xn-1=xn(1+n2/x)=2
55. Cформулируйте теорему о почленном интегрировании cтепенного ряда. Иcпользуя эту теорему, найдите cумму ряда n=1∞xnn при |x|<1.
Если функция f(x) на области сходимости раcкладывается в ряд, то интеграл от нее находится почленным интегрированием членов ряда.
abfxdx=abn=0∞anxndx= n=0∞abanxndx=n=0∞anxn+1n+1ab, где [a;b]ϵ(-R;R).
X+x2/2+x3/3….
n=1∞xnn =abX+x22+x3dx3=x2+x36+x412=b2+b36+b412-a2-a36-a412=[-1;1]
57. Дайте определения частного, общего и особого решений дифференциального уравнения y’=f(x;y). Для уравнения y′ = y-3 укажите решения каждого из этих видов.
Решением дифференциального уравнения y’=f(x;y) называется функция y=φ x, которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.
Общее решение дифференциального уравнения зависит от некоторой произвольной константы const C, т.е. оно может быть записано в виде y=φ x;C и представляет собой семейство однопараметрических решений.
Частное решение дифференциального уравнения – этот решение, полученное из общего при некотором фиксированном значении С=С0, т.е. y=φx;С0
y′ = y-3
dyy-3=dx
y-30.5=x+C
2y-3=x+C
y-3=((x+C)/2)2
y=x+C22-общее решение
при с=2
y=x+222-частное
Часть выполненной работы
. Дайте определение линейного дифференциального уравнения. Докажите, что если y1(x) и y2(x) — решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, то их разность y1(x)− y2(x) является решением соответствующего однородного уравнения.
Дифференциальное уравнение вида
y′+a(x)y=f(x),
где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пусть функции y1(x) и y2(x) − решения неоднородного уравнения, а φ(х) − решение соответствующего однородного уравнения, т. е.
Ln[y1(x)] = f(x), Ln[y2(x)] = f(x), Ln[φ(х)] = 0.
Тогда
Ln[y1(x)− y2(x)] = 0, Ln[y1(x)+ φ(х)] = f(x).
Дифференциальное уравнение вида
y′+a(x)y=f(x),
где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пусть функции y1(x) и y2(x) − решения неоднородного уравнения, а φ(х) − решение соответствующего однородного уравнения, т. е.
Ln[y1(x)] = f(x), Ln[y2(x)] = f(x), Ln[φ(х)] = 0.
Тогда
Ln[y1(x)− y2(x)] = 0, Ln[y1(x)+ φ(х)] = f(x).
…
Hrcode 4.8
Директор по персоналу. Хороший опыт работы главным и техническим редактором. Два высших образования: экономика и стратегический менеджмент (магистр). Степень MBA стратегическое управление Сертификаты: Управление рисками
На странице представлен фрагмент
Уникализируй или напиши новое задание с помощью нейросети
