2 Для исходных данных приведенных ниже рассчитайте Коэффициенты линейного регрессионного уравнения

Для определения следующих данных: , , , , , составим вспомогательную таблицу

x
y
x2 y2 x • y

121 0,98 14641 0,96 118,58

119 0,93 14161 0,865 110,67

120 0,97 14400 0,941 116,4

117 0,85 13689 0,723 99,45

115 0,61 13225 0,372 70,15

109 0,68 11881 0,462 74,12

105 0,72 11025 0,518 75,6

110 0,67 12100 0,449 73,7
Сумма 916 6,41 105122 5,29 738,67
Среднее 114,5 0,8013 13140 0,6613 92,334

Для наших данных система уравнений имеет вид

Домножим уравнение (1) системы на (-114.5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

Получаем:
240 b = 4.73
Откуда b = 0.01969
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
8a + 916 b = 6.41
8a + 916 • 0.01969 = 6.41
8a = -11.62
a = -1.453
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.01969, a = -1.453
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

2. Рассчитаем остаточную дисперсию;
Остаточная дисперсия

3. Вычислим значения коэффициента корреляции и детерминации;
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции

В нашем примере связь между признаком Y фактором X высокая и прямая.
Коэффициент детерминации R2=0.7762=0.6021 показывает, что на 60,21% вариация результата объясняется вариацией фактора х.
4. Рассчитаем коэффициент эластичности
Средний коэффициент эластичности:
;

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами – Х существенно влияет на Y.
5. Рассчитаем доверительные границы уравнения регрессии (по уровню 0,95, t=2,44) по формуле
(a + bxi ± ε)
Где

Представим расчеты в виде таблицы:
xi
y = -1,45 + 0,0197xi εi ymin = y – εi ymax = y + εi
121 0,929 0,282 0,647 1,212
119 0,89 0,272 0,617 1,162
120 0,91 0,277 0,633 1,187
117 0,85 0,266 0,585 1,116
115 0,811 0,263 0,548 1,074
109 0,693 0,277 0,416 0,97
105 0,614 0,303 0,311 0,918
110 0,713 0,272 0,44 0,985
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.
6. В одной системе координат построим: уравнение регрессии, экспериментальные точки, доверительные границы уравнения регрессии.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму: 1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при факторах регрессионной модели на уровне значимости α. 2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:   F=R2*(n-m-1)1-R2*m=0.6021*(8-1-1)0.3979*1=9.079
где m=1 для парной регрессии. 
Табличное значение определяется через функцию Excel FРАСПОБР(вероятность;1;n-2)). Fтабл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05
Fтабл =5,98
. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, (9.079>5.98),то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна)

…