Вариант 32
9. Найти P (-1,5; 0,5), – нормальна, m =-1/2; σ =1/2.
Решение:
Вероятность попасть в интервал для случайной величины, распределенной по нормальному закону, равна:
Px1<x<x2=Фx2-mxσ-Фx1-mxσ, Фx-функция Лапласа
Имеем:
P-1,5<ξ<0,5= Ф0,5+1,51/2 -Ф-1,5+1,51/2=Ф4-Ф0=0,49997
10. Найти {xi; p (xi)}, {yk; p (yk)}, M , D , M , D , K для системы ( , ) с законом распределения:
0 1 2
-2 0,05 0,15 0,20
-1 0,10 0,10 0,10
0 0,20 0,05 0,05
Решение:
Составим безусловные законы распределения величин и и найдем их числовые характеристики.
Для величины :
Pξ=-2=0,05+0,15+0,20=0,4
Pξ=-1=0,10+0,10+0,10=0,3
Pξ=0=0,20+0,05+0,05=0,3
Безусловный закон распределения величины :
-2 -1 0
P( ) 0,4 0,3 0,3
Математическое ожидание:
Mξ=iξ*Pξ=-2*0,40-1*0,30+0*0,30=-1,1
Дисперсия:
Dξ=iξ2*Pξ-Mξ2=-22*0,4+-12*0,3+02*0,3-(-1,1)2=0,69
Для величины :
Pη=0=0,05+0,10+0,20=0,35
Pη=1=0,15+0,10+0,05=0,30
Pη=2=0,20+0,10+0,05=0,35
Безусловный закон распределения величины :
0 1 2
P( ) 0,35 0,30 0,35
Математическое ожидание:
Mη=iη*Pη=0*0,35+1*0,30+2*0,35=1
Дисперсия:
Dη=iη2*Pη-Mη2=02*0,35+12*0,30+22*0,35-12=0,7
Вычислим ковариацию:
Kξη=ijξiηjpij-Mξ*Mη
Kξη=-2*0*0,05+…+0*2*0,05-(-1,1)*1=-0,3
Коэффициент корреляции равен:
rξη=KξηDξ*Dη=-0,30,69*0,7≈-0,43
Абсолютная величина коэффициента корреляции (0,3<|rξη|<0,5) говорит об умеренной зависимости между величинами и , а знак («-») об обратном характере зависимости.
11. Найти с, f (x), M , D , f (y), M , D , K , если f (x,y) = cxIΔABC, A(0;1), B(2;1),C(2;0).
Решение:
Изобразим схематично наш треугольник:
Составим уравнения сторон треугольника:
AB:
x-02-0=y-11-1y=1
AC:
x-02-0=y-10-1y=1-x2 или x=2-2y
BC:
x-22-2=y-10-1x=2
Следовательно, область задается неравенствами:
D:x,y=0≤x≤21-x2≤y≤1
Найдем константу с, используя свойство плотности распределения:
Df(x,y)dxdy=1
Подставляем:
02dx1-x/21cxdy=c02x*y1-x/21dx=c02x22dx=c6x302=43cc=34
Плотность распределения имеет вид:
fx,y=34x;x∈D0;x∉D
Частные плотности распределения находим из соотношения:
fξx=-∞∞f(x,y)dy; fηy=-∞∞f(x,y)dx
Подставляем:
fξx=1-x/2134xdy=34xy1-x/21=38×2
fηy=2-2y234xdx=38×22-2y2=32(2y-y2)
Частные плотности имеют вид:
fξx=0;x∉D38x2;x∈D
fηy=0;y∉D32(2y-y2);y∈D
Найдем числовые характеристики.
Математические ожидания:
Mξ=02xfξxdx=0238x3dx=332×402=1,5
Mη=01yfηydy=01322y2-y3dy=3223y3-14y401=0,625
Дисперсии:
Dξ=02x2fξxdx-Mξ2=0238x4dx-1,52=340×502-2,25=0,15
Dη=01y2fηxdy-Mη2=0132(2y3-y4)dy-0,6252
Dη=3212y4-15y501-0,6252≈0,059
Для вычисления ковариации находим M( )
Mξη=Dxyf(x,y)dxdy=02dx1-x/2134x2ydy=0238x2y21-x21dx
Mξη=0238×3-332x4dx=332×4-3160×502=0,9
Вычислим ковариацию по формуле:
Kξη=Mξη-Mξ*Mη
Kξη=0,9-1,5*0,625=-0,0375
Коэффициент корреляции равен:
rξη=KξηDξ*Dη=-0,03750,15*0,059≈-0,40
Абсолютная величина коэффициента корреляции (0,3<|rξη|<0,5) говорит об умеренной зависимости между величинами и , а знак («-») об обратном характере зависимости.
Вариант 37
9. Найти P (2,0; 3,0), – нормальна, m =2; σ =1/2.
Решение:
Вероятность попасть в интервал для случайной величины, распределенной по нормальному закону, равна:
Px1<x<x2=Фx2-mxσ-Фx1-mxσ, Фx-функция Лапласа
Имеем:
P2<ξ<3= Ф3-21/2 -Ф2-21/2=Ф2-Ф0=0,47725
10. Найти {xi; p (xi)}, {yk; p (yk)}, M , D , M , D , K для системы ( , ) с законом распределения:
0 1 2
0 0,10 0,25 0,15
1 0,08 0,20 0,12
2 0,02 0,05 0,03
Решение:
Составим безусловные законы распределения величин и и найдем их числовые характеристики.
Для величины :
Pξ=0=0,10+0,25+0,15=0,5
Pξ=1=0,08+0,20+0,12=0,4
Pξ=2=0,02+0,05+0,03=0,1
Безусловный закон распределения величины :
0 1 2
P( ) 0,5 0,4 0,1
Математическое ожидание:
Mξ=iξ*Pξ=0*0,5+1*0,4+2*0,1=0,6
Дисперсия:
Dξ=iξ2*Pξ-Mξ2=02*0,5+12*0,4+22*0,1-0,62=0,44
Для величины :
Pη=0=0,10+0,08+0,02=0,2
Pη=1=0,25+0,20+0,05=0,5
Pη=2=0,15+0,12+0,03=0,3
Безусловный закон распределения величины :
0 1 2
P( ) 0,2 0,5 0,3
Математическое ожидание:
Mη=iη*Pη=0*0,2+1*0,5+2*0,3=1,1
Дисперсия:
Dη=iη2*Pη-Mη2=02*0,2+12*0,5+22*0,3-1,12=0,49
Вычислим ковариацию по формуле:
Kξη=ijξiηjpij-Mξ*Mη
Kξη=0*0*0,10+…+2*2*0,03-0,6*1,1=0
Коэффициент корреляции равен:
rξη=KξηDξ*Dη=00,44*0,49=0
Величина коэффициента корреляции говорит об отсутствии линейной зависимости между величинами и .
11. Найти с, f (x), M , D , f (y), M , D , K , если f (x,y) = c(x+y)IΔABC, A(0;0), B(0;2),C(1;2).
Решение:
Изобразим схематично наш треугольник:
Составим уравнения сторон треугольника:
AB:
x-00-0=y-02-0x=0
AC:
x-01-0=y-02-0y=2x или x=y2
BC:
x-01-0=y-22-2y=2
Следовательно, область задается неравенствами:
D:x,y=0≤x≤12x≤y≤2
Найдем константу с, используя свойство плотности распределения:
Df(x,y)dxdy=1
Подставляем:
01dx2x2c(x+y)dy=c01xy+y222x2dx=c01(2+2x-4×2)dx=
=c(2x+x2-43×3) 01=53cc=35
Плотность распределения имеет вид:
fx,y=35(x+y);x∈D0;x∉D
Частные плотности распределения находим из соотношения:
fξx=-∞∞f(x,y)dy; fηy=-∞∞f(x,y)dx
Подставляем:
fξx=2×235(x+y)dy=35(xy+y22)2×2=35(2+2x-4×2)
fηy=0y/235(x+y)dx=35(x22+xy)0y2=38y2
Частные плотности имеют вид:
fξx=0;x∉D35(2+2x-4×2);x∈D
fηy=0;y∉D38y2;y∈D
Найдем числовые характеристики.
Математические ожидания:
Mξ=01xfξxdx=0135(2x+2×2-4×3)dx=35×2+23×3-x401=0,4
Mη=02yfηydy=0238y3dy=332y402=1,5
Дисперсии:
Dξ=01x2fξxdx-Mξ2=0135(2×2+2×3-4×4)dx-0,42
Dξ=35(23×3+12×4-45×5)01-0,16=0,06
Dη=02y2fηxdy-Mη2=0238y4dy-1,52=340y502-2,25=0,15
Для вычисления ковариации находим M( )
Mξη=Dxyf(x,y)dxdy=01dx2x235(x2y+xy2)dy
Mξη=0135x2y22+xy332x2dx=350183x+2×2-143x4dx
Mξη=35(43×2+23×3-1415×5)01=0,64
Вычислим ковариацию по формуле:
Kξη=Mξη-Mξ*Mη
Kξη=0,64-0,4*1,5=0,04
Коэффициент корреляции равен:
rξη=KξηDξ*Dη=0,040,06*0,15≈0,42
Абсолютная величина коэффициента корреляции (0,3<|rξη|<0,5) говорит об умеренной зависимости между величинами и , а знак («+») о прямом характере зависимости.
user688286
4.0
Основные сферы: социология, менеджмент, философия, политология и др. Опыт - 4 года. Уровень английского - Upper Intermediate, поэтому готов также брать переводческую работу или написание работ на иностранных языках.
