Вариант №2
Контрольная работа №1
1. Решить следующие задачи, используя формулы комбинаторики:
1.2. Из девяти значащих цифр составляются трёхзначные числа. Сколько различных чисел может быть составлено, если цифры не могут повторяться?
Решение:
Количество различных трехзначных чисел, составленных из девяти значащих цифр, при условии, что цифры не повторяются, равно числу размещений из 9 по 3 цифры:
N=A93=9!9-3!=504
2. Решить задачи, используя классическое определение вероятности и (или) теоремы сложения и произведения.
2.2. а) В ящике лежат 9 зеленых и 4 желтых шара. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 6 шаров будут 3 зеленых?
б) На 6 карточках написаны буквы П, О, А, Л, О, С. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ПОЛОСА»?
в) Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены его внимания не потребует первый станок, равна 0,6; второй – 0,54; третий – 0,7. Найти вероятность того, что в течение смены внимания потребуют какие-либо два станка.
Решение:
А) Общее количество исходов равно числу сочетаний из 9+4=13 по 6 любых шаров.
Благоприятное количество исходов равно произведению числа сочетаний из 9 по 3 зеленых шара и числа сочетаний из 4 по 3 желтых шара. Тогда искомая вероятность равна:
PA=C93*C43C136=9!3!9-3!*413!6!13-6!≈0,196
Б) Количество разных слов, которые можно получить из данного набора букв равно отношению числа перестановок из 6 букв к числу перестановок из 2 букв «О». Поскольку нас интересует только одно слово, то искомая вероятность равна:
PБ=1P6P2=2!6!=1360
В) Поскольку станки требуют внимания рабочего независимо друг от друга, искомая вероятность равна:
PB=p11-p21-p3+(1-p1)p21-p3+(1-p1)1-p2p3
PB=0,61-0,541-0,7+1-0,60,541-0,7+1-0,61-0,540,7
PB=0,2764
3. Решить задачи, используя формулы полной вероятности и Байеса:
3.2. Детали попадают на один из трёх станков с вероятностями, равными соответственно 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность брака на первом станке равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,01. Найти: а) вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь – стандартная; б) вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной.
Решение:
А) Вероятности того, что случайно взятая деталь прошла обработку на соответствующем станке равны:
PH1=0,2;PH2=0,3;PH3=0,5
Вероятности того, что прошедшая обработку на соответствующем станке деталь – стандартная, равны:
PAH1=1-0,02=0,98
PAH2=1-0,03=0,97
PAH3=1-0,01=0,99
Тогда искомую вероятность вычислим по формуле полной вероятности:
PA=iPHi*PAHi=0,2*0,98+0,3*0,97+0,5*0,99=0,982
Б) Искомую вероятность вычислим по формуле Байеса:
PH2A=PH2*PAH2P(A)=0,3*0,970,982≈0,296
4. Решить следующие задачи:
4.2. В семье четверо детей. Принимая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье: а) три; б) не менее трёх; в) два.
Решение:
Поскольку рождение мальчика и девочки принимаем равновероятным, то вероятность рождения мальчика p=1/2.
Для вычисления вероятностей воспользуемся формулой Бернулли.
А) Три из четырех детей – мальчики:
PA=C43p3(1-p)1=4*1231-12=0,25
Б) Не менее трёх детей – мальчики. Искомое событие представим суммой событий «три из четырех детей – мальчики» и «четыре из четырёх детей – мальчики».
PБ=PA+C44p4(1-p)0=0,25+1*124*1=0,3125
в) Два из четырех детей – мальчики:
PB=C42p2(1-p)2=4!2!4-2!*1221-122=0,375
5. Решить следующие задачи:
5.2. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 144 испытаниях событие наступит 120 раз.
Решение:
Напрямую вероятность данного события можно вычислить по формуле Бернулли:
PnA,m=C144120p2q728=144!120!144-120!*0,8120*1-0,224≈0,053
Ввиду порядка цифр подобное выражение без специальных математических пакетов вычислить проблематично, поэтому на практике прибегают к приближенным формулам вычисления вероятности.
Воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа:
PnA,m≈1npqφx;x=m-npnpq; φx-функция Гаусса
Подставляем:
x=m-npnpq=120-144*0,8144*0,8*1-0,8=1
PnA,m≈1npqφx=1144*0,8*1-0,8*φ1=0,2424,8≈0,050
6. Найти закон распределения указанной дискретной СВ Х и её функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание M(x), дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение σ(x). Построить график функции распределения F(x).
6.2. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для телевизоров первого типа равна 0,9, второго типа – 0,7, третьего типа – 0,8; СВ Х – число телевизоров, проработавших гарантийный срок, среди трёх телевизоров разных типов.
Решение:
Случайная величина Х – число телевизоров, проработавших гарантийный срок может принимать значения от 0 до 3. Найдем соответствующие вероятности.
Х=0 – все три телевизора не проработали гарантийный срок:
Px=0=(1-p1)(1-p2)(1-p3)
Px=0=1-0,91-0,71-0,8=0,006
Х=1 – один телевизор проработал гарантийный срок, а два – нет:
Px=1=p11-p21-p3+(1-p1)p21-p3+(1-p1)1-p2p3
Px=1=0,91-0,71-0,8+1-0,90,71-0,8+1-0,91-0,70,8=0,092
Х=2 – два телевизора проработали гарантийный срок, а один – нет::
Px=2=p1p21-p3+p11-p2p3+1-p1p2p3
Px=2=0,9*0,71-0,8+0,91-0,70,8+1-0,90,7*0,8=0,398
Х=3 – все три телевизора проработали гарантийный срок:
Px=3=p1p2p3=0,9*0,7*0,8=0,504
Проверяем:
iP(xi)=0,006+0,092+0,398+0,504=1
Закон распределения имеет вид:
Х 0 1 2 3
Р(Х) 0,006 0,092 0,398 0,504
Математическое ожидание:
Mx=ixi*Pxi=0*0,006+…+3*0,504=2,4
Дисперсия:
Dx=ixi2*Pxi-Mx2=02*0,006+…+32*0,504-2,42=0,46
Cреднее квадратическое отклонение
σx=D(x)=0,46≈0,678
Функция распределения:
Fx=P(X<x)
Поэтому:
Fx≤0=0;F0<x≤1=0+0,006=0,006;
F1<x≤2=0,006+0,092=0,098;F2<x≤3=0,098+0,398=0,496
Fx>3=1
Fx=0;x≤00,006;0<x≤10,098;1<x≤20,496;2<x≤31;x>3
Графически:
7. Решить следующие задачи:
7.2. Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:
fx=316×2, x≤a0;x>a
Найдите а и P(-a4<X<a4)
Решение:
Неизвестный коэффициент найдем из свойства плотности распределения:
-∞∞fx=1
В нашем случае:
-aa316x2dx=116×3-aa=18a3a=2
Плотность распределения имеет вид:
fx=316×2, x≤20;x>a
Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (x1, x2), равна:
Px1<X< x2=x1x2fxdx
Подставляем:
P-12<X<12=-1212316x2dx=116×3-1212=164
8. Дана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти плотность распределения вероятности f (x), математическое ожидание M (x), дисперсию D(x) и вероятность попадания случайной величины Х на отрезок [a;b]. Построить графики функций F(x) и f (x).
8.2. Fx=0;x<01332×2+5x;0≤x≤31;x>3;a=1, b=2
Решение:
Плотность распределения связана с функцией распределения соотношением:
fx=F'(x)
Поэтому:
fx=0;x≤0133(4x+5);0<x≤30;x>3
Математическое ожидание непрерывной случайной величины:
Mx=-∞∞x*f(x)dx
В нашем случае:
Mx=03133(4×2+5x)dx=13343×3+52×203=3922 ≈1,773
Дисперсия:
Dx=-∞∞x2fxdx-(M(x))2
В нашем случае:
Dx=031334×3+5x2dx-39222=133×4+53×303-39222≈0,676
Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (x1, x2), равна:
Px1<X< x2=x1x2fxdx=Fx2-F(x1)
Подставляем:
P1<X<2=F2-F1=13318-7=13
График функции распределения:
График плотности распределения:
9. Решите следующие задачи:
9.2. Для случайного дискретного вектора, распределенного по закону (X,Y), выясните, зависимы или нет события A={X=-1}и B={X=Y}.
X=-1 X=0 X=1
Y=-1 18
18
18
Y=0 18
38
18
Решение:
Вычислим условные вероятности события А при условии В и события В при условии А:
PA/B=P(A*B)P(B)=1818+18=12
PB/A=P(A*B)P(A)=1818+38=14
Поскольку условные вероятности не равны 0, то события А и В – зависимы.
Контрольная работа №2
1. В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:
а) записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
б) найти размах варьирования и разбить его на 9 интервалов;
в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
г) найти числовые характеристики выборки xв, Dв, σви несмещённые оценки Dв, σв;
д) приняв в качестве нулевой гипотезу Н0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости α=0,01;
е) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при надёжности γ=0,9.
1.2.
189 207 213 208 186 210 198 219 231 227
202 211 220 236 227 220 210 183 213 190
197 227 187 226 213 191 209 196 202 235
211 214 220 195 182 228 202 207 192 226
193 203 232 202 215 195 220 233 214 185
234 215 196 220 203 236 225 221 193 215
204 184 217 193 216 205 197 203 229 204
225 216 233 223 208 204 207 182 216 191
210 190 207 205 232 222 198 217 211 201
185 217 225 201 208 211 189 205 207 199
Решение:
Вариационный ряд – упорядоченная по величине последовательность значений наблюдаемой величины. Для каждой варианты посчитаем соответствующую частоту:
182 183 184 185 186 187 189 190 191 192 193 195
2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2
196 197 198 199 201 202 203 204 205 207 208 209
2 2 2 1 2 4 3 3 3 5 3 1
210 211 213 214 215 216 217 219 220 221 222 223
3 4 3 2 3 3 3 1 5 1 1 1
225 226 227 228 229 231 232 233 234 235
3 2 3 1 1 1 2 2 1 1
Размах выборки: R=max-min=235-182=53
Определим ширину интервала.
h=Rk-1=538≈7
Начало первого интервала берем так, чтобы минимальное значение входило в него с запасом:
xH=xmin-h2=182-72=178,5
Конец последнего интервала должен удовлетворять условию:
xкон-h≤xmax<xкон
Промежуточные интервалы получаем, прибавляя к концу предыдущего интервала длину h. Распределяем варианты выборки по интервалам группировки (находим частоты интервалов) и вычисляем относительную частоту как отношение частоты к объему выборки (ni/100)
№ интервала
Границы интервала Середина интервала, xi Частота, ni
Относительная частота, wi
1 178,5 185,5 182 6 0,06
2 185,5 192,5 189 9 0,09
3 192,5 199,5 196 12 0,12
4 199,5 206,5 203 15 0,15
5 206,5 213,5 210 19 0,19
6 213,5 220,5 217 17 0,17
7 220,5 227,5 224 11 0,11
8 227,5 234,5 231 8 0,08
9 234,5 241,5 238 3 0,03
Строим полигон частот – соединяем точки (xi; ni) отрезками:
Строим гистограмму.
Общая площадь прямоугольников гистограммы должна равняться 1.
Определим высоту столбцов гистограммы по формуле:
fi=wihi
№ интервала
Высота гистограммы, fi
1 0,0086
2 0,0129
3 0,0171
4 0,0214
5 0,0271
6 0,0243
7 0,0157
8 0,0114
9 0,0043
Вычислим накопленные частоты (определяем эмпирическую функцию распределения):
wiн=wi-1н+wi;w1н=w1
w1н=w1=0,06; w2н=0,06+0,09=0,15;
… w9н=0,97+0,03=1
№ интервала
Накопленная частота, wiн
1 0,06
2 0,15
3 0,27
4 0,42
5 0,61
6 0,78
7 0,89
8 0,97
9 1
Для построения графика эмпирической функции распределения найденные значения накопленных частот следует отложить по вертикальной оси в правых концах соответствующих по номерам интервалов, а полученные точки соединить отрезками:
Найдем числовые характеристики выборки.
Выборочная средняя:
xв=1nixi*ni=1100182*6+…+238*3=208,95
Выборочная дисперсия:
Dв=1nixi*ni-xв2=11001822*6+…+2382*3-208,952=205,1875
Среднее квадратическое отклонение:
σв=Dв=205,1875≈14,324
Несмещенная оценка дисперсии:
Dв=nn-1Dв=10099*205,1875≈207,2601
Несмещенная оценка дисперсии среднего квадратического отклонения:
σв=Dв=207,2601≈14,397
Проверим гипотезу о соответствии эмпирического закона распределения нормальному закону распределения, воспользовавшись критерием Пирсона при уровне значимости α=0,01.
Интервалы с малочисленными частотами (ni<5) объединяем с соседними:
№ интервала
Границы интервала Середина интервала, xi Частота, ni
Относительная частота, wi
1 178,5 185,5 182 6 0,06
2 185,5 192,5 189 9 0,09
3 192,5 199,5 196 12 0,12
4 199,5 206,5 203 15 0,15
5 206,5 213,5 210 19 0,19
6 213,5 220,5 217 17 0,17
7 220,5 227,5 224 11 0,11
8 227,5 241,5 234,5 11 0,11
Вычислим теоретические частоты по формуле
n’j=n*pj=nФxКj-xвσв-ФxНj-xвσв
n’1=100*Ф185,5-208,9514,324-Ф178,5-208,9514,324≈3,26
n’2=100*Ф192,5-208,9514,324-Ф185,5-208,9514,324≈7,46
n’3=100*Ф199,5-208,9514,324-Ф192,5-208,9514,324≈12,95
n’4=100*Ф206,5-208,9514,324-Ф199,5-208,9514,324≈17,79
n’5=100*Ф213,5-208,9514,324-Ф206,5-208,9514,324≈19,30
n’6=100*Ф220,5-208,9514,324-Ф213,5-208,9514,324≈16,55
n’7=100*Ф227,5-208,9514,324-Ф220,5-208,9514,324≈11,22
n’8=100*Ф241,5-208,9514,324-Ф227,5-208,9514,324≈8,61
Сведем данные в таблицу:
Границы интервала Частота, ni
Теоретическая частота, n’i
nj-n’j2n’j
178,5 185,5 6 3,26 2,303
185,5 192,5 9 7,46 0,318
192,5 199,5 12 12,95 0,07
199,5 206,5 15 17,79 0,438
206,5 213,5 19 19,3 0,005
213,5 220,5 17 16,55 0,012
220,5 227,5 11 11,22 0,004
227,5 241,5 11 8,61 0,663
Σ 3,813
Эмпирическое значение критерия равно H*=3,813
При уровне значимости α = 0,01 критическая точка χ2(α,k) равна квантили порядка (1- α)=0,99 распределения χ2 с k=8-3=5 степенями свободы. По таблице находим χ20,99;5=15,086.
В силу того, что наблюдаемое значение критерия меньше критического значения, гипотезу о нормальном распределении случайной величины принимаем.
Найдем доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при надёжности γ=0,9.
Находим в таблице распределения Стьюдента квантиль порядка (1+0,9)/2=0,95 распределения Стьюдента с 100 – 1 = 99 степенями свободы: t=1,645.
Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
xв-σв*tn≤a≤xв+σв*tn
208,95-14,397*1,645100≤a≤208,95+14,397*1,645100
206,58≤a≤211,32
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид:
n-1χ22,γ,n-1σв≤σ≤n-1χ21,γ,n-1σв
χ21,γ,n-1=χ2(1-γ)/2,n-1;χ22,γ,n-1=χ2(1+γ)/2,n-1
Находим по таблице квантилей распределения χ2 квантили
χ21,γ,n-1=χ20,05,99≈77,04
χ22,γ,n-1=χ20,95,99≈123,23
Подставляем:
100-1123,2314,397≤σ≤100-177,0414,397
12,904≤σ≤16,320
С вероятностью 90% математическое ожидание заключено в интервале (206,58; 211,32), а среднее квадратическое отклонение – в интервале (12,904; 16,320).
2. Дана таблица распределения 100 заводов по производственным средствам Х (тыс. ден. ед.) и по суточной выработке Y (т). Известно, что между Х и Y существует линейная корреляционная зависимость. Требуется:
а) найти уравнение прямой регрессии y на х;
б) построить уравнение эмпирической линии регрессии и случайные точки выборки (Х, Y).
2.2.
X Y 2,3 3,8 5,3 6,8 7,3 8,8 10,3 11,8 mx
210
4 3 5
12
340
6 7 8
21
470
10 12 11
33
600
5 4 3
12
730
6 8
14
860
3 5 8
my
10 20 25 16 10 14 5 100
Решение:
Вычислим условные средние по формулам:
yxi=1mxjyj*mij; xyj=1myixi*mij
X Y 3,8 5,3 6,8 7,3 8,8 10,3 11,8 mx yxi
210 4 3 5
12 5,425
340 6 7 8
21 5,443
470
10 12 11
33 6,512
600
5 4 3
12 8,55
730
6 8
14 9,657
860
3 5 8 11,238
my 10 20 25 16 10 14 5 100
xyj
288 385,5 376,4 510,625 678 730 860
Для определения выборочных регрессий перейдем к условным вариантам. Наибольшая частота, ближайшая к центру таблицы, m3,4 = 11 и, следовательно, ложный нуль C1 = x3 = 470, шаг h1 =130. Для y переход к условным вариантам невозможен, т.к. шаг не постоянен (7,3 – 6,8=0,5, тогда как между остальными точками шаг равен 1,5).
Составим новую таблицу в условных вариантах для расчета характеристик.
X’ Y 3,8 5,3 6,8 7,3 8,8 10,3 11,8 mx mx*x’ mx*(x’)2
-2 4 3 5
12 -24 48
-1 6 7 8
21 -21 21
0
10 12 11
33 0 0
1
5 4 3
12 12 12
2
6 8
14 28 56
3
3 5 8 24 72
my 10 20 25 16 10 14 5 100
my*y 38 106 170 116,8 88 144,2 59
my*y 144,4 561,8 1156 852,64 774,4 1485,26 696,2
Вычисляем характеристики:
yв=1mimiy=110038+…+59=7,22
Dy=1mimiy2-yв2=1100144,4+…+696,2-7,222=4,5786
σy=Dy=4,5786≈2,140
x’в=1mimix’=1100-24+…+24=0,19xв=0,19*130+470=494,7
Dx’=1mimi(x’)2-x’в2=110048+…+72-0,192=2,0539
σx’=Dx’=2,0539≈1,433σx=1,433*130=186,29
Для вычисления коэффициента корреляции найдем также среднее суммы произведений:
1mijyix’jmij=11003,8*(-2)*4+…+11,8*3*5=3,982
Выборочный коэффициент корреляции равен:
rxy=1mijyix’jmij-yв*x’вσy*σx’=3,982-7,22*0,192,140*1,433≈0,851
Т.к. значение коэффициента 0,7<ryx<0,9, то имеет место заметная линейная зависимость между изучаемыми величинами.
Уравнения прямой регрессии y на x имеет вид:
y=yв+ryx*σyσx*x-xв=7,22+0,851*2,140186,29*x-494,7
y=0,0098x+2,3839
Построим уравнение эмпирической линии регрессии (ломанная, соединяющая точки (x,yx)), случайные точки выборки и уравнение прямой регрессии:
user688286 4.0
Основные сферы: социология, менеджмент, философия, политология и др. Опыт - 4 года. Уровень английского - Upper Intermediate, поэтому готов также брать переводческую работу или написание работ на иностранных языках.
Готовые работы на продажу
Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Нажимая "Купить" вы будете перенаправлены на страницу карточки работы.
Гарантия на работу 10 дней.
Решить две задачи под Вариантом № 4.
490₽
- Курсовая работа
- Статистика
- Выполнил: EkaterinaKonstantinovna
На странице представлен фрагмент
Уникализируй или напиши новое задание с помощью нейросети
