По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников

По итогам выборочных обследований, для некоторой категории сотрудников, величина их месячного заработка xi тыс. рублей и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.
а) Построить гистограмму относительных частот распределения.
б) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.
в) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам точечным образом.
г) Зная, что значения признака X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ϒ считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

X 8-8,2 8,2-8,4 8,4-8,6 8,6-8,8 8,8-9,0
ni
3 7 20 15 5

ϒ=0,88

Решение.
Получим интервальный ряд:
Номер i
Интервалы Середина интервала
xi

Нижняя граница интервала Верхняя граница интервала
1 8 8,2 8,1
2 8,2 8,4 8,3
3 8,4 8,6 8,5
4 8,6 8,8 8,7
5 8,8 9 8,9

Найдем абсолютные частоты, относительные и интегральные (накопленные частоты).
Порядковый номер i
Зарплата за месяц xi
Абсолютная частота ni
Относительная частота (частость)
wi=niN
Накопленная частота
niнакопл
Накопленная частость
wi(накопл)
1 8,1 3 0,06 3 0,06
2 8,3 7 0,14 10 0,2
3 8,5 20 0,4 30 0,6
4 8,7 15 0,3 45 0,9
5 8,9 5 0,1 50 1
Σ

N=50
1

Для наглядности интервальные ряды изображают графически с помощью полигона и гистограммы.
Для построения полигона и гистограммы используется прямоугольная система координат, на оси абсцисс которой строится шкала значений (интервальные группы), а на оси ординат – частот или частостей.
Таким образом, построим в excel гистограмму частот.

Построим в excel полигон частот.

По накопленным частостям строится кумулята (графическое представление эмпирической функции распределения). Кумулята отражает характер нарастания частостей от группы к группе.

Если оси поменять местами, т.е. группы откладывать на оси ординат, а накопленные частости – на оси абсцисс, то построенная кривая будет называться огивой. Построим огиву в excel в виде гистограммы.

Далее.
Составим вспомогательную таблицу для вычисления выборочных характеристик ряда.
i
xi
ni
xi∙ni
(xi-x)
(xi-x)2∙ni
1 8,1 3 24,3 -0,448 0,602112
2 8,3 7 58,1 -0,248 0,430528
3 8,5 20 170 -0,048 0,04608
4 8,7 15 130,5 0,152 0,34656
5 8,9 5 44,5 0,352 0,61952
Σ

N=50
427,4
2,0448
На основании таблицы найдем.
Математическое ожидание (средняя арифметическая взвешенная):
x=i=15xi∙niN,
x=427,450=8,548.
Отсюда средняя заработная плата одного рабочего за месяц равна приблизительно 8,548 тысяч рублей.
Дисперсия (дисперсия – характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
DX=i=15(xi-x)2∙niN=2,044850=0,040896.
Среднеквадратическое отклонение.
σ=DX≈0,202.
Показатели вариации. Вычисляются для суждения о вариации признака в статистике.
Среднее линейное отклонение – средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов xi от их средней x. Вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.
d=ixi-x∙niN,
d=8,0850=0,1616.
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 0,162.
Несмещенная оценка дисперсии – состоятельная оценка дисперсии.
S2=i=15ixi-x2∙niini-1=2,044849≈0,042.
Оценка среднеквадратического отклонения.
s=S2=0,042≈0,204.

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение. Используя метод моментов и метод максимального правдоподобия получения точечных оценок, найти по выборке B значения оценок и неизвестных параметров a,σ.
Приравняем начальный теоретический момент первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка эмпирическим моментам:
a*=x, σ*=DX,
a*=8,548, σ*=0,202
Метод максимального правдоподобия.
Составим и решим систему:

∂lnL∂a=0,∂lnL∂σ=0.

Где функция правдоподобия:
L=fx1*fx2*…*f(xn)
fxi=1σ*2*π*e-(xi-a)22*σ

-плотность нормального закона.
L=1σn*2*πn*e-(xi-a)22*σ2
lnL=ln1σn*2*πn+lne-xi-a22*σ2
lnL=-lnσn-ln2*πn-xi-a22*σ2

∂lnL∂a=-xi-n*aσ2,∂lnL∂σ=-nσ+xi-a2σ3.

Откуда следует, что
xi=n*a; a*=xin=x=8,548.
xi-a2=n*σ2;
σ2=xi-a2n;
σ=DX=0,202.

Интервальное оценивание.
Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Используем найденные ранее выборочное среднее

xв=8,548.
и исправленное среднее квадратическое отклонение:
s≈0,204.
В нашем случае 2Φ(tγ) =γ; Φtγ=0,44;
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tγ критическом значение Φtγ=0,44:
tγ=1,56.
Теперь найдем искомый доверительный интервал:
xв-tγsn<a<xв+tγsn;
8,548-0,045<a<8,548+0,045;
8,503<a<8,594.
С вероятностью 0,88 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Элементы теории корреляции
Задачи 61 – 70 (68)

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X – величина месячной прибыли в т.р., Y – месячные издержки в процентах к объему продаж. Результаты выборки представлены в виде таблицы.
По данным выборки:
а) оценить тесноту линейной связи между признаками Х и Y;

б) найти зависимость между признаками в виде уравнения линейной регрессии у‾ х = ах+ b;

в) построить графически наблюдаемые выборочные значения признаков и прямую регрессии.

г) Используя уравнение линейной регрессии, спрогнозировать величину месячных издержек в процентах к объему продаж, если величина месячной прибыли будет составлять Х = K т. р.

Х 55 65 75 85 95
Ү 24 20 18 15 10

К=105

Решение.

Данная корреляционная зависимость представляет собой зависимость между месячными издержками в процентах к объему продаж Y и величина месячной прибыли X (тыс.руб.).
Определение формы связи с последующим отысканием параметров уравнения называется нахождением уравнения связи (уравнения регрессии). В нашем случае результативный признак, рассматриваемый как функция x yx , имеет прямолинейную форму связи: yx=a0+a1x.
Параметры для уравнения связи определяют из системы нормальных уравнений, отвечающих требованию метода наименьших квадратов (МНК). Это требование можно записать как y-yx2→min или y-a0-a1x2→min. Необходимо определить, при каких значениях параметров a0 и a1 сумма квадратов отклонений y от yx будет минимальной. Найдя частные производные указанной суммы по a0 и a1и приравняв их нулю, легко записать систему уравнений, решение которой и дает параметры искомой функции, т.е. уравнения регрессии.
Так, система нормальных уравнений при линейной зависимости имеет вид
na0+a1x=y,a0x+a1x2=xy.
Необходимые для решения данной системы показатели n, x, y, x2, xy
Определяются по наблюдаемым эмпирическим данным. Решить данную систему можно методом Крамера.
Найдем определитель матрицы коэффициентов системы уравнений:
Δ = nxxx2=nx2-x2,
Найдем первый определитель матрицы коэффициентов. Для этого вместо 1-
го столбца подставим столбец свободных членов:
Δ1 =yxxyx2=yx2-xxy,
Найдем второй определитель матрицы коэффициентов. Для этого вместо 2-го
столбца подставим столбец свободных членов:
Δ2 =nyxxy=nxy-xy,

Найдем решение системы уравнений:
a0=yx2-xxynx2-x2; a1=nxy-xynx2-x2.
Параметр a1 (коэффициент при x ) именуется коэффициентом регрессии. Он показывает, насколько в абсолютном выражении изменится результативный показатель y при изменении факторного показателя x на единицу.
Составим расчетную таблицу:
N=5 x
y
x2
xy
y2

55 24 3025 1320 576

65 20 4225 1300 400

75 18 5625 1350 324

85 15 7225 1275 225

95 10 9025 950 100
Σ
375 87 29125 6195 1625

Отсюда:
a0=87∙29125-375∙61955∙29125-375∙375=2107505000=42,15,
a1=5∙6195-375∙875∙29125-375∙375=-16505000=-0,33.
Получим линейное уравнение регрессии Y на X:
yx=42,15-0,33∙x.
Получим линейное уравнение регрессии X на Y:
a0=xy2-yxyny2-y2; a1=nxy-xyny2-y2;
a0=70410556≈126,637,
a1=-1650556≈-0,97.
xy=126,637-0,97∙y.
Подставляя в уравнение yx=42,15-0,33∙x последовательно значения x=55,65,75 и т.д., получаем выравненные (теоретические) значения результативного показателя yx :
yx
24
20,7
17,4
14,1
10,8
87

Нахождение уравнений регрессии, как правило, сопровождается измерением тесноты связи (зависимости). Измерить тесноту корреляционной зависимости – значит, определить, в какой мере вариация результативного показателя вызвана вариацией факторного признака. Эта задача может быть решена путем исчисления теоретического корреляционного отношения η:
η=δσy=δ2σy2,
где δ2=yx-y2n – дисперсия в ряду выравненных значений результативного показателя yx; σy2=y-y2n – дисперсия в ряду фактических значений y.
Так как дисперсия δ2 отражает вариацию в ряду yx только за счет вариации фактора x, а дисперсия σy2 отражает вариацию y за счет всех факторов, то их отношение, именуемое теоретическим коэффициентом детерминации, показывает, какой удельный вес в общей дисперсии ряда y занимает дисперсия, вызываемая вариацией фактора x. Квадратный корень из отношения этих дисперсий дает нам теоретическое корреляционное отношение η=δ2σy2.
Дисперсию теоретических значений результативного показателя (т.е. δ2) часто называют факторной, поскольку она отражает влияние вариации фактора x на вариацию y, и обозначают как δф2 и так называемой остаточной дисперсии σост2, отражающей вариацию результативного показателя за счет всех остальных факторов (кроме x), не учтенных в уравнении регрессии, т.е.
σy2=δф2+σост2.
Получим еще одну формулу для вычисления корреляционного отношения:
η=σy2-σост2σy2=1-σост2σy2.
В данном виде корреляционное отношение при криволинейной зависимости обычно называют индексом корреляции.
Остаточная дисперсия рассчитывается по формуле:
σост2=yi-yx2n.
Отсюда следует формула для линейного коэффициента корреляции:
r=a1σxσy,
или:
r=(x-x)(y-y)x-x2y-y2,
а также:
r=xy-xynx2-x2ny2-y2n.
Для измерения тесноты зависимости между y и x воспользуемся прежде всего линейным коэффициентом корреляции (поскольку рассматриваемая зависимость – линейная):
r=(x-x)(y-y)n∙σxσy.
Находим
x=3755=75; y=875=17,4;

x-x
y-y
(x-x)(y-y)
(x-x)2
(y-y)2

-20 6,6 -132 400 43,56

-10 2,6 -26 100 6,76

0 0,6 0 0 0,36

10 -2,4 -24 100 5,76

20 -7,4 -148 400 54,76
Σ
0 7,10543E-15 -330 1000 111,2
Отсюда находим σx и σy:
σx=(x-x)2n, σx=10005=200≈14,142;
σy=(y-y)2n, σy=111,25=22,24≈4,72.
Отсюда следует, что
r=1239-75∙17,414,142∙4,72≈-0,989.
Значение линейного коэффициента корреляции r=-0,989 характеризует не только меру тесноты зависимости вариации y от вариации x (достаточно высокая связь), но и степень близости этой зависимости к линейной.
Связь обратная, т.е. с ростом X убывает Y.
Построим линии регрессии (в excel):
yx=42,15-0,33∙x.

xy=126,637-0,97∙y.

Поле корреляции:

MarketingManagement 5.0

Выполняю работы по экономическим дисциплинам. Маркетинг, менеджмент, управление персоналом. управление проектами. Есть опыт написания магистерских и кандидатских диссертаций. Работала в маркетинге. Практикующий бизнес-консультант.

Нанять автора

Готовые работы на продажу

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Нажимая "Купить" вы будете перенаправлены на страницу карточки работы.

Гарантия на работу 10 дней.

Виды заключений эксперта , их проверка и оценка

660₽

• Курсовая работа
• Право и юриспруденция
• Выполнил: EkaterinaKonstantinovna

Купить

Аудиторское заключение и представление информации по результатам проверки

1000₽

• Курсовая работа
• Бухгалтерский учет и аудит
• Выполнил: ale350

Купить