Определить корни уравнения графически и уточнить один из них итерационным методом с точностью 0

№1. Определить корни уравнения графически и уточнить один из них итерационным методом с точностью 0,01. x3 +0,5x – 1=0 метод деления пополам.
Решение:
Определим корни уравнения графическим методом. Для этого построим график функции fx=x3+0.5x-1.

По чертежу видно, что корень уравнения x3+0.5x-1=0 расположен в диапазоне 0.5<x<1.
Возьмем x0=0.75.
Уточним корень методом половинного деления.
Его суть заключается в следующем: определяем отрезок, который содержит корень [a,b]. Затем находим его середину c=a+b2. Получаем два отрезка a,cи c,b. Вычисляем fa, fb, f(c). Находим знак произведения значений функции на концах отрезка, то есть f(a)∙f(c) и f(c)∙f(b). Выбираем тот отрезок, где произведение отрицательно. Проделываем с выбранным отрезком ту же самую процедуру. Выполняем данную процедуру до необходимой точности ε=0.01.
Шаг 1. a;b=[0.5;1]. x1=a+b2=0.5+12=1.52=0.75.
Так как fa=f0.5=-0.625, fx1=f0.75=-0.203, fb=f1=0.5 то полагаем
a1=0.75, b1=1, d1=b1-a1=0.25>ε
Шаг 2. a1;b1=[0.75;1]. x2=a1+b12=0.75+12=1.752=0.875.
Так как fa1=f0.75=-0.203, fx2=f0.875=0.107, fb1=f1=0.5 то полагаем
a2=0.75, b2=0.875, d2=b2-a2=0.125>ε
Шаг 3. a2;b2=[0.75;0.875]. x3=a2+b22=0.75+0.8752=1.6252=0.8125.
Так как fa2=f0.75=-0.203, fx3=f0.8125=-0.057, fb1=f0.875=0.107 то полагаем
a3=0.8125, b3=0.875, d3=b3-a3=0.06>ε
Шаг 4. a3;b3=[0.8125;0.875]. x4=a2+b22=0.8125+0.8752=1.68752=0.84375.
Так как fa3=f0.8125=-0.057, fx4=f0.84375=0.22, fb3=f0.875=0.107 то полагаем
a4=0.8125, b4=0.84375, d4=b4-a4=0.03>ε
Шаг 5. a4;b4=[0.8125;0.84375]. x5=a2+b22=0.8125+0.843752=1.656252=0.828125.
Так как fa4=f0.8125=-0.057, fx5=f0.828125=-0.02, fb4=f0.84375=0.22 то полагаем
a5=0.828125, b5=0.84375, d5=b5-a5=0.02>ε
Шаг 6. a5;b5=[0.828125;0.84375]. x6=a2+b22=0.828125+0.843752=1.6718752=0.8359375.
Так как fa5=f0.828125=-0.02, fx6=f0.8359375=0.002,
fb5=f0.84375=0.22 то полагаем
a6=0.828125, b6=0.8359375, d6=b6-a6=0.007<ε
Таким образом, заданная точность достигается нашестом шаге метода половинного деления, поэтому приближенным значением корня с точностью 0,01 будем считать исло x6=0.8359375.
Ответ: x=0.8359375.

№2. Решить систему уравнений методом Гаусса:
x1+x2+x3=1×1+2×2+2×3+x4=02×1+3×2+4×3+2×4=03×1+4×2+5×3+3×4=0
Решение:
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
11101221234234531000
Приведем данную матрицу к треугольному виду.
Из третьей строки вычтем первую, умноженную на 2.
Из четвертой строки вычтем первую, умноженную на 3.
11100111012201231-1-2-3
Из третьей и четвертой строки вычтем вторую.
11100111001100121-1-1-2
Из четвертой строки вычтем третью.
11100111001100011-1-1-1
Из второй и третьей строки вычтем четвертую.
1110011000100001100-1
Из второй и первой строки вычтем третью.
1100010000100001100-1
Из первой строки вычтем вторую.
1000010000100001100-1
Теперь запишем полученные результаты в виде системы:
x1=1×2=0x3=0x4=-1
Ответ: x1=1×2=0x3=0x4=-1

№3. Решить систему уравнений методом прогонки (или итерационным методом с точностью 0,01)
1,5×1+0,5×2=3,2 -x1+2×2-0,4×3=-12,5×2+5×3-2×4=4×3+3×4=3
Решение:
Прямой ход. Необходимо вычислить прогоночные коэффициенты.
В общем виде система выглядит так:
-b1x1+c1x2=d1 a2-b2x2+c2x3=d2a3x2-b3x3+c3x4=d3a4x3-b4x4=d4
У нас:
b1=-1.5; c1=0.5, d1=3.2
a2=-1;b2=-2;c2=-0.4;d2=-1
a3=2.5;b3=-5;c3=-2;d3=4
a4=1;b4=-3;d4=3
Вычисляем прогоночные коэффициенты:
P1=c1b1=0.5-1.5=-13=-0.33,
P1=-0.33,
Q1=-d1b1=-3.2-1.5=2.13
Q1=2.13
Pi=cibi-aiPi-1, Qi=aiQi-1-dibi-aiPi-1
В нашем случае i=2;3.
P2=c2b2-a2P1=-0.4-2–1∙(-0.33)=-0.4-2.33=0.17
P2=0.17
Q2=a2Q1-d2b2-a2P1 =-1∙2.13-(-1)-2–1∙(-0.33)=-1.13-2.33=0.48
Q2=0.48
P3=c3b3-a3P2= -2-5-2.5∙0.17=-2-5.43=0.37
P3=0.37
Q3=a3Q2-d3b3-a3P2 =2.5∙0.48-4-5-2.5∙0.17=-2.8-5.43=0.52
Q3=0.52
Обратный ход. Найдем неизвестные.
Применим формулы:
xn=anQn-1-dnbn-anPn-1
xi=Pixi+1+Qi
В нашем случае n=4, i=1,2,3
x4=a4Q3-d4b4-a4P3=1∙0.52-3-3-1∙0.37=-2.48-3.37=0.74
x4=0.74
x3=P3x4+Q4=0.37∙0.74+0.52=0.79
x3=0.79
x2=P2x3+Q2=0.17∙0.79+0.48=0.61
x2=0.61
x1=P1x2+Q1=-0.33∙0.61+2.13=1.93
x1=1.93

Ответ: x1=1.93, x2=0.61, x3=0.79, x4=0.74

№4. Решить систему нелинейных уравнений одним из итерационных методов с точностью 0,01
sinx+0,5-y=1cosy-2+x=0
Решение:
Воспользуемся методом простых итераций.
Поскольку sinx+0,5-y=1cosy-2+x=0
Получаем: sinx+0,5-y=1
sinx+0,5=y+1
Но синус у нас ограничен. Значит:
-1≤ sinx+0,5≤1
-1≤y+1≤1
-2≤y≤0
С другой стороны:
cosy-2+x=0
cosy-2=-x
Но косинус у нас ограничен. Значит:
-1≤cosy-2≤1
-1≤-x≤1
-1≤x≤1
Поэтому рассматриваем квадрат: -1≤x(0)≤1; -2≤y(0)≤0.
Пусть A0 (-0,5;-1)
Приведем к стандартному виду.
sinx+0,5-y=1cosy-2+x=0
y= sinx+0,5-1x=-cosy-2

Проверим, выполняется ли условие сходимости.
∂φ1∂x=cos(x+0.5)
∂φ1∂y=0
∂φ2∂x=sin(y-2)
∂φ2∂y=0
∂φ1∂x+∂φ1∂y=cos(x+0.5)<1
∂φ2∂x+∂φ2∂y=sin(y-2)<1
Поскольку условие сходимости выполняется (сумма производных меньше единицы), используем формулу: xi(k+1)=φix1k,x2k,…,xnk. При этом условие прекращение процесса δ=maxi=1,…,nxi(k+1)-xi(k)xi(k+1)<ε. У нас ε=0,01.
x(k+1)=-cosyk-2=φ1(x,y)y(k+1)=sin(xk+0.5)-1=φ2(x,y)
x0(-1;-1.5)
δx=x(k+1)-x(k)x(k+1)
δy=y(k+1)-y(k)y(k+1)
δ=max{δx, δy}
Для расчетов воспользуемся таблицей:
k
x(k)
y(k)
δx
δy
δ
0
-0,5
-1

1
0.99 -1 1.5 0 1.5
2
0.99 -0.004 0.00001 305 305
3 0.42 -0.003 1.36 0.23 1.36
4 0.421 -0.204 0.003 0.99 0.99
5 0.423 -0.2044 0.29 0.002 0.004

Ответ: A(0.423;-0.2044)

№5. Вычислить интеграл -242x-2dx по квадратурной формуле прямоугольников (n=6).
Решение:
Делим отрезок [-2;4] на равные точки, используя формулу: xk=a+k∙b-an, k=0,1,2,…,n. У нас n=6, a=-2, b=4.
xk=-2+k∙4-(-2)6=-2+k
x0=-2+0=-2
x1=-2+1=-1
x2=-2+2=0
x3=-2+3=1
x4=-2+4=2
x5=-2+5=3
x6=-2+6=4

Для вычисления данного интеграла воспользуемся квадратурной формулой прямоугольника:
abfxdx≈b-ank=0n-1fxk+xk+12
Составим таблицу:
№k
zi=xk+xk+12
yi = f (zi)
0 -1,5
-6
1 -0,5
-4
2 0,5
-2
3 1,5
0
4 2,5
2
5 3,5
4
6
6

По формуле прямоугольников получаем:
-242x-2dx≈1∙-6+-4+-2+0+2+4+6=0

Ответ: -242x-2dx≈=0

№6. Решить задачу Коши методами Эйлера на заданном отрезке:
y’= y- x2, y(1)=0, x∈[1;2,2], h=0,3
Решение:
Точное решение имеет вид:
y’-y=-x2 (воспользуемся методом вариации произвольной постоянной)
y=uv
y’=u’v+uv’
u’v+uv’-uv=-x2
u’v+uv’-v=-x2
v’-v=0u’v=-x2
v’-v=0
v’=v
dvdx=v
dvv=dx
ln|v|=x
v=ex
u’v=-x2
u’ex=-x2
u’=-x2e-x
dudx=-x2e-x
du=-x2e-xdx
du=-x2e-xdx
du=u
-x2e-xdx=x2de-x=x2e-x-e-xdx2= x2e-x-2xe-xdx=
=x2e-x+2xde-x=x2e-x+2xe-x-2e-xdx=e-xx2+2x+2e-x+C= x2+2x+2e-x+C
y=uv=ex∙x2+2x+2e-x+C=x2+2x+2+Cex
y=x2+2x+2+Cex
y1=12+2∙1+2+Ce-1=1+2+2+Ce=0
5+Ce=0
c=-5e
y=x2+2x+2-5ex-1
fx,y=y-x2

a=1, b=2.2
h=b-am=2.2-1m=1.2m=0.3, m=4
Используем рекуррентные формулы:
x0=1, y0=0 i=0,1,2,3.
xi+1=x0+ih, yi=y0+hfxi, yi
У нас:
xi+1=xi+0,3 yi=y0+0.3∙yi-xi2, i=1,2,3,4.
Вычисления представим в виде таблицы:
i
xi
yi
yiточн
0
1 0 0
1
1,3 -0,3 -0.5
2
1,6 -0,597 -1.4
3
1,9 -0,9471 -2.9
4 2,2 -1,36713 -5.4

№7 Методом наименьших квадратов найти зависимость между x и y:
x 0 2 4 6
y -2 4 10 16
Решение:
Необходимо аппроксимировать данные линейной зависимостью в виде f=ax+b.
Найдем неизвестные параметры, используя формулы:
i=1nxiyi=ai=1nxi2+bi=1nxii=1nyi=ai=1nxi+nb
Вычислим неизвестные:
i
1 2 3 4
xi
0 2 4 6 12
yi
-2 4 10 16 28
xi∙yi
0 8 40 96 144
xi2
0 4 16 36 56

Подставим:
144=56a+12b28=12a+4b
28=12a+4b
4b=28-12a
b=7-3a
144=56a+12b
144=56a+12(7-3a)
56a+84-36a=144
20a=144-84
20a=60
a=3
b=7-3a=7-3∙3=7-9=-2

a=3b=-2
Значит, f=3x-2
Построим чертеж:

Оценим погрешность.
i
1 2 3 4
xi
0 2 4 6 12
yi
-2 4 10 16 28
f(xi)
-2 4 10 16 144
yi-f(xi)
0 0 0 0
yi-fxi2
0 0 0 0 0
σ=i=1nyi-f(xi)2=0
Ответ: f=3x-2

№8. Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи (h=0,1) y″ + y’x +2y=x y’(0,7)=0,5 y’(1)=1,2
Решение:
Определим рассматриваемы отрезок: [0.7;1].
Разбив этот отрезок на части с шагом h=0.1 получим:
x0=0.7, x1=0.8, x2=0.9, x3=1
Две точки x0, x3 являются граничными, а две другие – внутренними. Данное уравнение во внутренних точках замени конечно-разностным уравнением:
y’xi=yi+1-yi-1h y”xi=yi+1-2yi+yi-1h2
Для краевых точек:
y0’=y1-y0h
yn’=yn-1-ynh
Подставим в исходное уравнение:
yi+1-2yi+yi-1h2 + yi+1-yi-12hxi +2yi=xi
Получим:
y1-y00.1=0.5
y1-y0=0.05
yn-1-yn0.1=1.2
y2-y30.1=1.2
y2-y3=0.12
yi+1-2yi+yi-1h2 + yi+1-yi-12hxi +2yi=xi
i=1
y2-2y1+y00,01 + y2-y00,16 +2y1=0.8
16y2-32y1+16y0 + 100y2-100y0 +3200y1=1280
116y2+3168y1-84y0 =1280
27y2+792y1-21y0 =320
i=2
8y3-36y2+18y1 + y3-y1 +3600y2=1620
17y1 +3564y2+9y3=1620
Получили СЛУ:
y1-y0=0.05y2-y3=0.12-21y0+792y1+27y2=32017y1 +3564y2+9y3=1620
y1=0.05+y0y2=0.12+y3-21y0+792∙0.05+y0+27∙0.12+y3=32017∙0.05+y0 +3564∙0.12+y3+9y3=1620
-21y0+792∙0.05+y0+27∙0.12+y3=32017∙0.05+y0 +3564∙0.12+y3+9y3=1620
-21y0+39.6+792y0+3.24+27y3=320 0.85+17y0+427,68+3564y3+9y3=1620
771y0+792y0+27y3=320-39.6-3.24 17y0+3564y3+9y3=1620-0.85-427.68
1563y0+27y3=277.16 17y0+3573y3=1191.47
17y0+3573y3=1191.47
17y0=1191.47-3573y3
y0=70.09-210.18y3
1563y0+27y3=277.16
1563∙70.09-210.18y3+27y3=277.16
109 550, 67-328 511,34 y3+27y3=277.16
109 550, 67-328 484,34 y3=277.16
328 484,34 y3=109 550, 67-277.16
328 484,34 y3=109 323, 51
y3=0.33
y0=70.09-210.18y3=70.09-210.18∙0.33=0.73
y0=0.73
y1=0.05+y0=0.05+0.73=0.78
y1=0.78
y2=0.12+y3=0.12+0.33=0.45
y2=0.45
Полученные результаты запишем в виде таблицы:
i
xi
yi
0
0.7
0.73
1
0.8
0.78
2
0.9
0.45
3
1
0.33

№9. Построить интерполяционный полином (Лагранжа или Ньютона) по

Ksunya266 4.3

Высшее образование в направлении менеджмент. Среднее специальное - государственное и муниципальное управление. В школе училась хорошо. Разбираюсь в большей части предметов начиная со школьных и заканчивая профильными.Буду рада Вам помочь!

Нанять автора