Найти вероятность того что дни рождения 12 чел приходятся на различные месяца года

1
Найти вероятность того что, дни рождения 12 чел приходятся на различные месяца года.
Решение.
По классическому определению вероятности P=mn, где m – число элементарных исходов события A, т.е. в нашем случае, где событие A – дни рождения 12 чел приходятся на различные месяца года, m=12! (число всех перестановок); n=1212 – общее число исходов события, определим вероятность, то дни рождения 12 чел приходятся на различные месяца года, равна:
PA=12!1212;

P(A)≈0,537∙10-4.
2
Определить надежность системы, если известна надежность всех ее элементов?
276796520701000
329184010287022440901028700.3
6057902063750050730152813050024765279718172021520828000390144025590500
14859013271544253151803403291840180340224409018034011296651327150.60.70.9
276796526670000
0.8

Решение.
Задана электрическая схема системы, состоящей из пяти элементов. Событие
Ai отказ i – ого элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы элементов заданы:
PAi=pi.
p1=0,6;p2=0,7;p3=0,3;p4=0,8;p5=0,9.
Событие A состоит в безотказной работы всей системы за рассматриваемый промежуток времени.
Найдем вероятность P(A) безотказной работы системы.
Элементы 3 и 4 соединены параллельно, воспользуемся определением теоремы сложения вероятностей совместных случайных событий:
p3,4=p3+p4-p3p4
Или:
p3,4=1-1-p31-p4=1-q3q4
где q3=1-p3=0,7; q4=1-p4=0,2;
p3,4=1-0,7∙0,2=0,86.
Элементы 1,2,3-4 и 5 соединены последовательно, воспользовавшись определением теоремы умножения вероятностей для независимых событий, получим искомую вероятность P(A) безотказной работы системы:
PA=p1p2p3,4p5.
PA=0,6∙0,7∙0,86∙0,9=0,32508.

3.
Вероятность попадания мяча в корзину равна 0.4. составить закон распределения случайной величины Х- числа попаданий при 3 х бросках в корзину. Найти МХ и ДХ. Составить интегральную функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение.
1).
p=0,4-вероятность попадания мяча в корзину;
q=1-p=0,6-вероятность промаха;
n=3-количество произведенных бросков;
x=m-число успехов число попаданий.

По формуле Бернулли:Pnx=m=Cnmpmqn-m
0 попаданий: P3x=0=C300,400,63=0,216;
1 попадание: P3x=1=C310,410,62=0,432;
2 попадания: P3x=2=C320,420,61=0,288;
3 попадания: P3x=3=C330,430,60=0,064.
Условие нормировки выполняется:
i=14pi=1, 0,216+0,432+0,288+0,064=1,-верно.
Ряд распределения случайной величины x:
xi
0 1 2 3
pi
0,216 0,432 0,288 0,064

2).
Составим функцию распределения случайно величины x:
Наименьшая варианта равна 0, поэтому F*x=0 при x≤0,
Для значений x<1 (а именно x=0 ):F*x=0,216 при 0<x≤1,
Для значений x<2 (а именно x=0, x=1 ):F*x=0,216+0,432=0,648 при 1<x≤2,
Для значений x<3 (а именно x=0, x=1, x=2 ):F*x=0,216+0,432+0,288=0,936 при 2<x≤3,
Т.к. x=3 – наибольшая варианта, то F*x=1 при x>3.
Получим искомую функцию распределения:
F*x=0,при x≤0,0,216,при 0<x≤1,0,648,при 1<x≤2,0,936,при 2<x≤3,1,при x>3.

Построим полученную функцию распределения (ступенчатый вид):
x
F(x)
-0,5 0
0 0
0,5 0,216
1 0,216
1,5 0,648
2 0,648
2,5 0,936
3 0,936
3,5 1
4 1

3).
Математическое ожидание дискретной случайной величины x:
xi
0 1 2 3
pi
0,216 0,432 0,288 0,064

MX=i=14xi∙pi;
MX=0+0,432+0,576+0,192=1,2.
Второй начальный момент x:
MX2=i=14xi2pi=0+0,432+1,152+0,576=2,16.
Дисперсия x:
DX=MX2-MX2=2,16-1,22=0,72.
Среднее квадратическое отклонение x:
σx=DX≈0,848.

4
Х
Y 30 40 50 60 70 80 N
Y
30 3 6 12 7 2 – 30
36 – 2 8 10 2 1 23
42 – – 1 4 16 6 27
48 – – – 2 3 5 10
54 – – – – 4 6 10
N
x 3 8 21 23 27 18 N=100

γ =0.98
Решение.
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать в виде:
yx=rxyx-xσxσy+y.
Уравнение линейной регрессии с x на y будем искать в виде:
xy=rxyy-yσyσx+x.
где x,y – выборочные средние величин x и y, σx,σy – выборочные среднеквадратические отклонения, rxy – коэффициент корреляции.
xi
30 40 50 60 70 80
ni
3 8 21 23 27 18

x=i=16xi∙nii=16ni;
x=90+320+1050+1380+1890+1440100=61,7.
σ2x=i=16xi-x2∙nii=16ni;
σ2x=3014,67+3767,12+2874,69+66,47+1860,03+6028,02100=176,11;
σx=σ2x≈13,271.

yj
30 36 42 48 54
nj
30 23 27 10 10

x=j=15yj∙njj=15nj;
y=900+828+1134+480+540100=38,82.
σ2y=j=15yj-y2∙njj=15nj;
σ2y=2333,772+182,9052+273,0348+842,724+2304,324100=59,3676;
σy=σ2y≈7,705.
Ковариация равна:
covx,y=30∙90+240+600+420+140100+36∙80+400+600+140+80100+42∙50+240+1120+480100+48∙120+210+400100+54∙280+480100-61,7∙38,82;
covx,y=447+468+793,8+350,4+410,4-2395,194=74,406.
Коэффициент корреляции:
rxy=74,406176,11∙59,3676≈0,73.
Уравнение линейной регрессии с y на x:
yx=0,73∙x-61,713,271∙7,705+38,82;
yx=0,422∙x+12,752.
Уравнение линейной регрессии с x на y:
xy=0,73∙y-38,827,705∙13,271+61,7;
xy=1,253∙y+13,046.
Построим линии регрессии (в excel):
yx=0,422∙x+12,752
x
Y(x)
30 25,412
40 29,632
50 33,852
60 38,072
70 42,292
80 46,512

xy=1,253∙y+13,046
y
X(Y)
30 50,636
36 58,154
42 65,672
48 73,19
54 80,708

Поле корреляции:

Значимость коэффициента корреляции.
Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:
tнабл=rxy∙n-21-rxy2;
tнабл=0,73981-0,5329≈10,574.
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид rr≠0, поэтому критическая область – двусторонняя.
По таблице критических точек распределения Стьюдента при k=98 и доверительной вероятности γ=0,98 находим критическую точку двусторонней критической области:
tкрит(98;0,98)=2,36906.
Так как tнабл>tкр – нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергаем, другими словами, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, следовательно, случайные величины X и Y – коррелированы.

Yana7788 5.0

Имею два образования: 1. документоведение и ДОУ 2. Управление персоналом. Менеджмент

Нанять автора