Монету бросают 5 раз Написать закон распределения случайной величины Z

1. Монету бросают 5 раз. Написать закон распределения случайной величины Z, равной разности между удвоенным количеством выпадений герба и количеством выпавших «решеток». Вычислить MZ, DZ, написать выражение функции распределения F(Z), вычислить вероятность того, что Z∈-2;1,3 и Z∈3;8.

Решение:

Пусть случайная величина X- количество выпавших гербов. Эта случайная величина может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Вероятность выпадения герба при одном отдельном броске равна 0,5.
Найдем вероятности, соответствующие этим значениям, используя формулу Бернулли:
Pnk=Cnk∙pk∙qn,
в нашем случае
n=5, k=X, p=0,5, q=1-p=1-0,5=0,5.
Находим:

PX=0=P50=C50∙0,50∙0,55-0=5!0!∙5-0!∙0,50∙0,55=5!0!∙5!∙0,55=1∙0,03125=0,03125;PX=1=P51=C51∙0,51∙0,55-1=5!1!∙5-1!∙0,51∙0,54=5!1!∙4!∙0,55=5∙0,03125=0,15625;
PX=2=P52=C52∙0,52∙0,55-2=5!2!∙5-2!∙0,52∙0,53=5!2!∙3!∙0,55=4∙51∙2∙0,03125=0,3125;
PX=3=P53=C53∙0,53∙0,55-3=5!3!∙5-3!∙0,53∙0,52=5!3!∙2!∙0,55=4∙51∙2∙0,03125=0,3125;
PX=4=P54=C54∙0,54∙0,55-4=5!4!∙5-4!∙0,54∙0,51=5!4!∙1!∙0,55=5∙0,03125=0,15625;
PX=5=P55=C55∙0,55∙0,55-5=5!5!∙5-5!∙0,55∙0,50=5!5!∙0!∙0,55=1∙0,03125=0,03125.

Запишем закон распределения случайной величины X:
xi
0 1 2 3 4 5
pi
0,03125 0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125

Случайная величина Z=2X-(5-X) может принимать следующие значения:
z1=2∙0-5-0=-5;
z2=2∙1-5-1=-2;
z3=2∙2-5-2=1;z4=2∙3-5-3=4;
z5=2∙4-5-4=7;z6=2∙5-5-5=10.
Запишем закон распределения случайной величины Z:
zi
-5 -2 1 4 7 10
pi
0,03125 0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125

Находим математическое ожидание:
MZ=zipi=-5∙0,03125-2∙0,15625+1∙0,3125+
+4∙0,3125+7∙0,15625+10∙0,03125=2,5;
дисперсию:
DZ=zi2pi=-52∙0,03125+-22∙0,15625+12∙0,3125+
+42∙0,3125+72∙0,15625+102∙0,03125-2,52=11,25.
Составим функцию распределения:
FZ=0, z<-5,0,03125, -5≤z<-2,0,03125+0,15625=0,1875, -2≤z<1,0,1875+0,3125=0,5, 1≤z<4,0,5+0,3125=0,8125, 4≤z<7,0,8125+0,15625=0,96875, 7≤z<10,0,96875+0,03125=1, z≥10.
Вероятность попадания случайной величины в интервал [a;b] можно определить по формуле:
Pa≤z≤b=Fb-Fa.
Вероятность попадания случайной величины в интервал -2;1,3:
P-2≤z≤1,3=F1,3-F-2=0,5-0,1875=0,3125.

Вероятность попадания случайной величины в интервал3;8:
P3≤z≤8=F8-F3=0,96875-0,5=0,46875.

2. В коробке лежат три красных и 6 синих карандашей. Вынимаем три карандаша и X – количество красных карандашей среди них. Затем вынимают один карандаш и Y равен количеству красных карандашей. Написать закон распределения системы случайных величин X, Y.

Решение:

Случайная величина X – количество красных карандашей среди вынутых трех карандашей может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3.

Найдем вероятности, соответствующие этим значениям, используя классическое определение вероятности
PA=mn.
Количество всех элементарных исходов равно количеству способов выбрать 3 карандаша из 9:
n=С93=9!3!∙9-3!=9!3!∙6!=7∙8∙91∙2∙3=84.

1) X=0. Количество исходов, благоприятствующих этому событию равно количеству способов извлечь три карандаша из 6 синих:
m=С63=6!3!∙6-3!=6!3!∙3!=4∙5∙61∙2∙3=20.
Значит,
PX=0=2084.
2) X=1. Определим количество исходов, благоприятствующих этому событию. Количество способов выбрать один красный карандаш из 3 равно 3, при этом 2 оставшихся карандаша должны быть выбраны из 6 синих, это можно сделать С62 способами. Таким образом,
m=3∙С62=3∙6!2!∙6-2!=3∙6!2!∙4!=3∙5∙61∙2=45.
Значит,
PX=1=4584.
3) X=2. Определим количество исходов, благоприятствующих этому событию. Количество способов выбрать 2 красных карандаша из 3 равно С32, при этом 1 оставшийся карандаш должен быть выбраны из 6 синих, это можно сделать 6 способами. Таким образом,
m=С32∙6=3!2!∙3-2!∙6=3!2!∙1!∙6=3∙6=18
Значит,
PX=2=1884.

1) X=3. Количество исходов, благоприятствующих этому событию равно количеству способов извлечь 3 карандаша из 3 красных:
m=1.
Значит,
PX=3=184.

Случайная величина Y- количество красных карандашей после того, как вынули еще один карандаш может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3.
Найдем соответствующие вероятности этих значений.
1) если X=0, то в коробке осталось 3 красных и 3 синих карандаша. Вероятность того, что вынутый карандаш окажется не красным, равна 1/2 и
PX=0;Y=0=2084∙12=1084;
Вероятность того, что вынутый карандаш будет красным, равна 1/2 и
PX=0;Y=1=2084∙12=1084.
2) если X=1, то в коробке осталось 2 красных и 4 синих карандаша. Вероятность того, что вынутый карандаш окажется не красным, равна 2/3 и
PX=1;Y=1=4584∙23=1542;
Вероятность того, что вынутый карандаш будет красным, равна 1/3 и
PX=1;Y=2=4584∙13=1584.
2) если X=2, то в коробке осталось 1 красный и 5 синих карандаша. Вероятность того, что вынутый карандаш окажется не красным, равна 5/6 и
PX=2;Y=2=1884∙56=1584;
Вероятность того, что вынутый карандаш будет красным, равна 1/6 и
PX=2;Y=3=1884∙16=384.
3) если X=3, то в коробке осталось 0 красных и 6 синих карандаша. Вероятность того, что вынутый карандаш окажется не красным, равна 1 и
PX=3;Y=3=184∙1=184.
Запишем закон распределения системы случайных величин X, Y.

X
Y
0 1 2 3
0 1084
– – –
1 1084
1542
– –
2 – 1584
1584
–
3 – – 384
184

4. Плотность вероятности случайной величины задана следующим образом:
fx=0, x≤1,Alnx, 1<x<e2,0, x>e2.

Определить A. Вычислить вероятности следующих событий:
1) X∈[M;2M]; 2) из трех испытаний два раза X∈[0,5;1,5];

Решение:

Определим A из условия нормировки
-∞+∞fxdx=1:
-∞+∞fxdx=A1e2lnxdx=интегрируем по частям:u=lnx, du=dxx,dv=dx, v=x=Axlnx1e2-1e2xxdx=Ae2lne2-1ln1-1e2dx=Ae2∙2-1∙0-x1e2=A2e2-e2-1=Ae2+1=1,
значит,
A=1e2+1.
Тогда плотность распределения случайной величины:

fx=0, x≤1,1e2+1lnx, 1<x<e2,0, x>e2.
Находим математическое ожидание:
MX=-∞+∞x∙fxdx=1e2+11e2x∙lnxdx=интегрируем по частям:u=lnx, du=dxx,dv=xdx, v=x22=1e2+1x22lnx1e2-1e2x22∙dxx=1e2+1e222lne2-122ln1-121e2xdx=1e2+1e42∙2-12∙0-12∙x221e2=1e2+1e4-14(e22-12)=1e2+134e4+14=3e4+14e2+4=4,84.

Вычислим вероятности следующих событий:
1) X∈M;2M:

PM≤X≤2M=PM≤X≤e2+Pe2<X≤2M=1e2+14,84e2lnxdx+1e2+1e22M0dx=интегрируем по частям:u=lnx, du=dxx,dv=dx, v=x=1e2+1xlnx4,84e2-4,84e2xxdx=1e2+1e2∙2-4,84∙ln4,84-4,84e2dx≈0,1214,58-7,63-x4,84e2≈0,126,95-7,29-4,84≈0,54.

2) вероятность попадания случайной величины в интервал [0,5;1,5]:
P0,5≤X≤1,5=P0,5≤X≤1+P1<X≤1,5=0,510dx+1e2+111,5lnxdx=интегрируем по частям:u=lnx, du=dxx,dv=dx, v=x=1e2+1xlnx11.5-11,5xxdx=1e2+11,5ln1,5-1ln1-11,5dx≈0,120,608-1∙0-x11,5=0,120,608-1,5-1≈0,013.
Вероятность того, что из трех испытаний Х ровно два раза попадет в интервал [0,5;1,5], определим, используя формулу Бернулли:
Pnk=Cnk∙pk∙qn,
в нашем случае
n=3, k=2, p=0,013, q=1-p=1-0,013=0,987.
Находим:

P32=C32∙0,0132∙0,9873-2=3!2!∙3-2!∙0,0132∙0,9871=3!2!∙1!∙0,0132∙0,987=3∙0,0132∙0,987=0,0005.

6. Вычислить вероятность того, что из трех испытаний хотя бы один раз Х попадет в интервал [0; M], если распределено по равномерному закону R 1, 6.

Решение:

Плотность вероятности равномерно распределенной случайной величины Х:
fx=0, x<1,16-1, 1≤x≤6,0, x>6=0, x<1,0,2, 1≤x≤6,0, x>6.

Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины:
MX=a+b2=1+62=72=3,5.
Вероятность попадания Х в интервал [0; 3,5] при одном испытании равна:
P0≤X≤3,5=03,5fxdx=0,203,5dx=0,2×03,5=0,23,5-0=0,7.
Событие A – «из трех испытаний хотя бы один раз Х попадет в интервал [0; M]» противоположно событию A – «из трех испытаний Х ни разу не попадет в интервал [0; M]»
Вероятность того, что из трех испытаний хотя бы один раз Х ни разу не попадет в интервал [0; M], определим, используя формулу Бернулли:
Pnk=Cnk∙pk∙qn,
в нашем случае
n=3, k=0, p=0,7, q=1-p=1-0,7=0,3.
Находим:
PA=P30=C30∙0,70∙0,33-0=3!0!∙3-0!∙1∙0,33=3!0!∙3!∙1∙0,027=1∙1∙0,027=0,027.
Так как события A и A составляют полную группу событий, то
PA=1-PA=1-0,027=0,973.

ВМ 5.0

Выполняю работы по истории, праву, социологии, политологии, экономике, философии, психологии, менеджменту, педогогике, искусствоведению, культурологии.

Нанять автора