Из партии электроламп отобрано 400 штук для определения срока их работы

Вариант 1

Из партии электроламп отобрано 400 штук для определения срока их работы. Выборочное среднее значение этого параметра оказалось 1280 часов. Найти интервальную оценку этого параметра ламп, если среднее квадратичное отклонение их нормальной работы известно и равно 25 часов.
Взять коэффициент доверия γ=0,9;
Взять коэффициент доверия γ=0,98;

РЕШЕНИЕ

Коэффициент доверия γ=0,9 t=1,65
Предельная ошибка выборки
∆x=tσ2n=1,65252400=1,65*3510=2,06 ч.
Определим пределы, в которых ожидается средний срок работы электроламп:
x=x±∆x=1280±2,06 ч.1277,94≤x≤1282,06 ч.
Коэффициент доверия γ=0,98 t=2,34
Предельная ошибка выборки
∆x=tσ2n=2,34252400=2,93 ч.
Определим пределы, в которых ожидается средний срок работы электроламп:
x=x±∆x=1280±2,93ч.1277,07≤x≤1282,93 ч.

2) Исследовать тип регрессии между случайными переменными x и y.
X 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8
Y 1 1,456 1,84118 2,175 2,469 2,733 2,971 3,189 3,389 3,574
Если известно, что она отвечает одному из следующих типов:
Линейная функция: y=a+bx;
Нелинейные функции: y= a+b/x (гипербола);
y=a+bx+cx2 ( парабола).

РЕШЕНИЕ

Линейная функция: y=b0+b1x
Рабочая таблица.
N х Y x2 Xy
y2
1 1 1 1 1 1 1,223 -0,223 0,050 22,300
2 1,2 1,456 1,44 1,7472 2,11994 1,502 -0,046 0,002 3,187
3 1,4 1,84118 1,96 2,57765 3,38994 1,782 0,059 0,004 3,225
4 1,6 2,175 2,56 3,48 4,73063 2,061 0,114 0,013 5,232
5 1,8 2,469 3,24 4,4442 6,09596 2,341 0,128 0,016 5,200
6 2 2,733 4 5,466 7,46929 2,620 0,113 0,013 4,135
7 2,2 2,971 4,84 6,5362 8,82684 2,899 0,072 0,005 2,410
8 2,4 3,189 5,76 7,6536 10,1697 3,179 0,010 0,000 0,320
9 2,6 3,389 6,76 8,8114 11,4853 3,458 -0,069 0,005 2,042
10 2,8 3,574 7,84 10,0072 12,7735 3,738 -0,164 0,027 4,578
Сумма 19 24,797 39,4 51,723 68,0611 26,369 -0,006 0,134 52,628
Ср.знач
1,900 2,480 3,940 5,172 6,806 2,637 -0,001 0,013 5,263

.
Получено уравнение регрессии:.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Значение коэффициента корреляции больше 0,7 и отрицательно, это говорит о сильной и прямой связи.
Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5,32.
Fфакт=383,15>Fтабл=5,32, наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии не принимается на уровне 0,05, т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели можно оценить хорошее, так как не превышает 8-10%.
Нелинейные функции: y= a+b/x (гипербола)
Представим в виде

Для расчета параметров уравнения строим расчетную таблицу 4.
№ 1/х y 1/х2
y2 у/х
1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,807 0,193 19,262 0,037 4,410
2 0,833 1,456 0,694 2,120 1,213 1,478 -0,022 1,482 0,000 2,703
3 0,714 1,841 0,510 3,390 1,315 1,956 -0,115 6,251 0,013 1,585
4 0,625 2,175 0,391 4,731 1,359 2,315 -0,140 6,451 0,020 0,856
5 0,556 2,469 0,309 6,096 1,372 2,595 -0,126 5,085 0,016 0,398
6 0,500 2,733 0,250 7,469 1,367 2,818 -0,085 3,108 0,007 0,135
7 0,455 2,971 0,207 8,827 1,350 3,001 -0,030 1,001 0,001 0,084
8 0,417 3,189 0,174 10,170 1,329 3,153 0,036 1,127 0,001 0,225
9 0,385 3,389 0,148 11,485 1,303 3,282 0,107 3,159 0,011 0,084
10 0,357 3,574 0,128 12,773 1,276 3,392 0,182 5,081 0,033 0,225
Итого 0,053 24,797 3,810 68,061 12,885 24,797 0,000 52,008 0,140 10,702
Среднее значение 0,005 2,480 0,381 6,806 1,289 – – 5,201 – 1,070
σ

0,617 0,811 – – – – – – – –
σ2

0,381 0,657 – – – – – – – –
Все расчеты в таблице велись по формулам
.
Тогда

Получено уравнение регрессии:.
индекс корреляции
Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной, так как R>0,7,
Рассчитаем F-критерий Фишера:

для α=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=8.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5,32.
Fфакт=367,22>Fтабл=5,32, наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии не принимается на уровне 0,05, т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений у на 5,201%. Качество построенной модели можно оценить как хорошее, так как не превышает 8-10%.
y=a+bx+cx2 ( парабола).
По приведенным исходным данным определим оценки коэффициентов квадратичной регрессии. Применение к ней метода наименьших квадратов приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений a, b, c
ax4+bx3+cx2=x2yax3+bx2+cx=xyax2+bx+cn=y
Решение находим методом Крамера

№ х у ху
х2
у2
х3 х4
х2у
1 1 1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,035 -0,035 3,500 4,410
2 1,2 1,456 1,747 1,440 2,120 1,728 2,074 2,097 1,440 0,016 1,104 2,703
3 1,4 1,84118 2,578 1,960 3,390 2,744 3,842 3,609 1,813 0,028 1,504 1,585
4 1,6 2,175 3,480 2,560 4,731 4,096 6,554 5,568 2,156 0,019 0,888 0,856
5 1,8 2,469 4,444 3,240 6,096 5,832 10,498 8,000 2,467 0,002 0,100 0,398
6 2 2,733 5,466 4,000 7,469 8,000 16,000 10,932 2,746 -0,013 0,476 0,135
7 2,2 2,971 6,536 4,840 8,827 10,648 23,426 14,380 2,994 -0,023 0,778 0,017
8 2,4 3,189 7,654 5,760 10,170 13,824 33,178 18,369 3,211 -0,022 0,686 0,008

2,6 3,389 8,811 6,760 11,485 17,576 45,698 22,910 3,396 -0,007 0,215 0,084

2,8 3,574 10,007 7,840 12,773 21,952 61,466 28,020 3,550 0,024 0,663 0,225
Σ 19,000 24,797 51,723 39,400 68,061 87,400 203,73 114,88 24,808 -0,011 9,915 10,419

Метод Крамера

203,733 87,400 39,400

114,883 87,400 39,400

А= 87,400 39,400 19,000
В= 51,723 39,400 19,000

39,400 19,000 10,000

24,797 19,000 10,000

203,733 114,883 39,400

203,733 87,400 114,883

С= 87,400 51,723 19,000
Д= 87,400 39,400 51,723

39,400 24,797 10,000

39,400 19,000 24,797

ΔА= 27,878
ΔВ= -10,935
ΔС= 80,490
ΔД= -40,71

a=ΔВ/ΔА= -0,392
b= 2,887
с= -1,460

y=-0,392+2,887x-1,46
Рассчитаем теоретические значения у и занесем в таблицу, также определим отклонения

Индекс корреляции
Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной, так как R>0,7,
Индекс детерминации: детерминации
Рассчитаем F-критерий Фишера:

для α=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=8.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5,32.
Fфакт=19982>Fтабл=5,32, наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии не принимается на уровне 0,05, т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений у на 1,239%. Качество построенной модели можно оценить как хорошее, так как не превышает 8-10%.
Наилучшей является параболическая модель.

Построить аддитивную модель временного ряда, описывающего потребление электроэнергии за 4 года:
№
квартала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
млн Квч
8 6 4,5 5,1 9,3 7,4 4,4 6 10 8 5,6 6,4 11 8,7 6,5 10,9
Анализ провести, используя Excel;
Выделить тренд;
Графически оценить циклическую составляющую и ее период
РЕШЕНИЕ

Анализ провести, используя Excel

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,44

R-квадрат 0,19

Нормированный R-квадрат 0,13

Стандартная ошибка 2,00

Наблюдения 16

Дисперсионный анализ

  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 1 13,36 13,36 3,32 0,09
Остаток 14 56,28 4,02

Итого 15 69,64      

  Коэффи
циенты
Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 5,68 1,05 5,40 0,00 3,42 7,93
t 0,20 0,11 1,82 0,09 -0,03 0,43

Выделить тренд
Уравнение тренда
у=5,68+0,2t

Графически оценить циклическую составляющую и ее период
Циклическая составляющая
 

   
Наблюдение
У Предсказанное У
Циклическая составляющая
1 1 год 8 5,88 2,12
2
6 6,07 -0,07
3
4,5 6,27 -1,77
4
5,1 6,47 -1,37
5 2 год 9,3 6,67 2,63
6
7,4 6,87 0,53
7
4,4 7,07 -2,67
8
6 7,26 -1,26
9 3 год 10 7,46 2,54
10
8 7,66 0,34
11
5,6 7,86 -2,26
12
6,4 8,06 -1,66
13 4 год 11 8,25 2,75
14
8,7 8,45 0,25
15
6,5 8,65 -2,15
16
10,9 8,85 2,05
 Σ
117,8 117,8  0
Проверим выполнимость требований к сезонным составляющим для аддитивной модели: сумма всех сезонных компонент должна быть равна нулю. Условие выполняется.

Все отклонения находятся внутри горизонтальной полосы постоянной ширины, это говорит о независимости дисперсий от значений объясняющей переменной и выполнимости условия гомоскедастичности.

WorkerA 4.9

Педагогический опыт работы. Опыт работы в сфере менеджмента, маркетинга и экономики. Управленческий опыт работы. Большой опыт выполнения разного рода работ, в том числе диссертаций (кандидатские, докторские, PhD, MBA, DBA).

Нанять автора