I ) Получение ускорения 1 груза с помощью теоремы об изменени кинетической энергии.
VC
Рис 1 .Теорема об изменении кинетической энергии .
1
1) Сумма мощностей активных сил .
Пусть V1-cкорость центра масс 1 груза .
Wакт= W(M)+W(4mg) +W(9mg)= M ω1 – 4mg sin300 V1-
– 9mg V4.
ω1= V1/r1 . ω2=ω3=2V1/r .
ω4=( ω3(2r)+ω3 r )/(2r1) = ω3 (3r)/(3r)= ω3=2V1/r .
Cкорость центра масс 4 диска
V4=( ω3(2r)-ω3 r)/2= V1 .
Тогда Wакт= V1[ M/r1 – 2mg -9mg]= [ M/r1 -11mg] V1 .
2) Cумма кинетических энергий механической системы.
Т1+Т2+Т3+Т4= 0,75 (4m) V12 +[J ω22 ] + 0,5 (9m) V12 +
+0,5 (9m) r12 ω42 = m V12 [ 3+ 30*4 +4,5 +4,5 r12 4 /r2]=
= 168 m V12 .
dTdt =336 m V1 а1 . а1-ускорение 1 груза.
3) Теорема об изменении кинетической энергии.
dTdt =Wакт : 336 m V1 а1= [ M/r1 -11mg] V1 .
Откуда а1=[ M/(mr1) -11g] / 336.
2
II) Определение а1 с помощью уравнения Лагранжа.
Система с 1 степенью свободы.
х – обобщенная координата- перемещение центра масс 1 диска вверх по наклонной плоскости.
Рис 2. Уравнение Лагранжа.
ddt ( ∂Т∂x) – ∂Т∂x=Q .
1) Обобщенная сила Q .
δА= – 9mg δx – 4mg sin300 δx +M /r1= (M/r1-11mg ) δx.
Q=δА/δx=M/r1-11mg .
2) Кинетическая энергия Т=0,75 (4m) x2 + 30m r2 4×2 /r2+
3
+ 9 m x2/2+( 9m r12/2) 4 x2/r2 = 168 m x2 .
∂Т∂x=0, ∂Т∂x=336 m x , ddt ( ∂Т∂x)= 336 m x ,
336 m x= M/r1-11mg .
x=a1=[ M/(mr1) -11g] / 336= M/(mr1) -11g336 .
III) Oпределение ускорения 1 груза с помощью общего уравнения динамики.
Рис 3. Общее уравнение динамики.
1) Формулировка. Система с идеальными связями в каждый
4
момент времени движется таким образом , что сумма работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении равна нулю.
δАакт + δАи =0.
2) Модули сил инерции и модули моментов сил инерции, представленные на рис 3.Все параметры выражаем через а1-ускорение центра масс 1 диска.
М1и=Jz1 ϵ1= 4m r12/2 x/r1= 2m r1x=3 m r x =3ma1. (1)
F1и= 4m a1. (2)
M2и=Jz2 ϵ2= 30 m r2 *2x/r=60m r x= 60 m r a1. (3)
M3и= Jz3 ϵ3= 60 m r a1. (4)
М4и= Jz4 ϵ4= 9m/2 r12 2 x/r= 9m 9/4 r= 81/4 mr. (5)
F4 и=9m x= 9ma1. (6)
3) δАакт + δАи =0. Зададим возможное перемещение центра масс 1 диска δх>0.
М δx/r1 –(4mg) sin300 δx – (9mg) δx –M1и *δx/r1-F1и * δx –
– М2и *2 δх/r – M3и*2 δх/r –М4и*2 δх/r – F4и* δх =0. (7)
Подставим в это уравнение выражения (1)-(6) и, сокращая
на δх левую и правую части (7) , получаем после элементарных преобразований уравнение для получения а1. Из этого уравнения следует
а1= M/(mr1) -11g336 .
I V) Получение а1 с помощью общих уравнений динамики.
5
Рис 4. Общие уравнения динамики.
1) Составим уравнениe вращательного движения для 1 тела.
Jz1 ϵ1= M -T1 r1-Fтр r1, (4m) r12/2 *a1/r1= M -T1 r1-Fтр r1 .
2m r1 a1= M -T1 r1-Fтр r1 .
2) Уравнение движения центра масс 1 тела.
4m a1= -Т1 + Fтр – 4mg cos600 .
6
3) Разделив левую и правую части 1 уравнения на r1 ,
получим
2m a1= M/r1 -T1 -Fтр.
Cкладывая два последних уравнения , получим
6ma1= -2T1-2mg+ M/r1 .
Т1= M/(2r1) – 3 ma1- mg .(1)
Составим вращательное движение 2 тела.
30 m r2 *2a1/r= Т1 r –T2 (2r), 60m a1=T1 –2 T2,
в итоге:
T2=0,5T1-30 m a1= M/(4r1) – (3/2) ma1-0,5mg-30ma1=
= M/(4r1) -31,5 ma1-0,5mg . (2)
5) Дифференциальное уравнение вращения 3 тела.
30 m r2 *2a1/r = Т2*2r – Т3*2r+T4 r.(3)
6) Теорема о движении центра масс 4 тела.
9m a1=T3+T4 – 9m g(4)
7) Вращательное движение 4 тела относительно его центра масс.
9m r12/2 *2 a1/r= T3 r1 –T4 r1,
27/2m a1=T3 – T4. (5)
8)Cкладывая (4) и (5), получим
2T3=22,5 ma1+ 9m g .
7
Т3=11,25 ma1+4,5 mg(6)
9) T4= T3 – 13,5ma1=4,5 mg-2,25 ma1 .(7).
10) Подставив Т2,Т3,Т4 в (3) получим после элементарных преобразований а1= M/(mr1) -11g336 .
V) Модули реакций тросов при t=0.
Cначала представим значения реакций тросов при t , найденные в разделе I V ).
1 ) T1= M/(2r1) – 3 ma1- mg .
2) T2= M/(4r1) -31,5 ma1-0,5mg .
3) T3=11,25 ma1+4,5 mg .
4) T4=4,5 mg-2,25 ma1 .
5) mа1=M/r1 -11mg336 .
При t=0: ma1=(4/3)Mo/r -11mg336 .
T1=(2/3)(Mo/r) – 3ma1-mg,
T2=(1/3) (Mo/r) -31,5 ma1-0,5mg ,
T3=11,25 ma1+4,5 mg ,
T4=4,5 mg-2,25 ma1 .
VI ) График завиcимости М(t)=Mo (1+e-t) .
Для определенности Мо=2кНм. М=2+2 e-t .
8
VII) График зависимости S от времени .
Дано: а1= M/mr1 -11g336 = Mo[1+exp-t]/mr1 -11g336 .
Пусть для определенности Mo/mr1=20g, тогда
а1={20 g [1+ exp-t] – 11g}/336= 0,584 (1+exp-t) – 0,321.
Обозначим перемещение центра масс 1 диска через S.
Тогда приходим к дифференциальному уравнению
S = 0,584 (1+exp-t)- 0,321.
S= 0,263+ 0,584exp-t .
d S /dt =0,263+ 0,584exp-t .
S =0,263 t -0,584 exp-t +C.
По условию при t=0 cкорость S (0)=0. Тогда С находится из соотношения :
0= -0,584 +C. Откуда С=0,584 и
9
S =0,263 t -0,584 exp-t +0,584 .
dSdt =0,263 t -0,584 exp-t +0,584 .
S=0,1315 t2 + 0,584 t +0,584 exp-t +C2.
По условию С2=-0,584. Из условия S(0)=0.
S(t)=0,1315 t2 + 0,584 t +0,584 exp-t-0,584 .
KseniyaP 4.9
Имею красный диплом по менеджменту и кадровому делопроизводству. Дополнительно занимаюсь английским, интересуюсь экономикой, особо люблю исторические работы и родной язык (русский и литература). Пишу логично, без ошибок. Выбирай меня!
Готовые работы на продажу
Гарантия на работу 10 дней.
Д3 рис. 4 усл. 7 Задача на применение теоремы об изменении кинетической энергии
- Решение задач
- Теоретическая механика
- Выполнил: jaguar07zx
3 2 Данная задача на определение скорости материальной точки решается с применением теоремы об измен
- Контрольная работа
- Теоретическая механика
- Выполнил: vladmozdok
На странице представлен фрагмент
Уникализируй или напиши новое задание с помощью нейросети
Похожие работы
Определить сопротивление растеканию сложного заземления
Определить сопротивление растеканию сложного заземления, состоящего из вертикальных стержневых заземлителей и горизонтальной полосы. Исходные данные принять по варианту, номер которого совпадает с последней...
3 Заносим числовые данные по задаче в 5 столбец и 6 столбец
3. Заносим числовые данные по задаче в 5 столбец и 6 столбец. Данные столбца 5 – это данные уровня притязаний, а столбца 6 – силы воли Кодируем переменные: для этого переходим с листа «представление...