а) найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение; б) построить на графике эмпирическую функцию распределения;

17 18 19 22 24
ni
4 6 16 40 15 15 4

а) найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;
б) построить на графике эмпирическую функцию распределения;
в) построить на графике полигон относительных частот;
г) построить на графике гистограмму относительных частот.
Решение:
А) 1) Для несгруппированных данных среднее арифметическое (выборочное среднее) определяется по формуле:
,
где n- объем выборки, х1, х2, … хn – результаты измерений.
В данном случае, n=100, тогда

2) Выборочная дисперсия определяется по формуле:
Dв=i=1nni(xi-xв)2n=4(15-18.59)2+6(16-18.59)2+16(17-18.59)2+40(18-18.59)2+100
+15(19-18.59)2+15(22-18.59)2+4(24-18.59)2100 = 4.40
3) Выборочное среднеквадратическое отклонение равно:
=Dв= 4,40=2,097.
4) Исправленную выборочную дисперсию определим по формуле:
S2=nn-1 Dв=100100-1*4.40=4.44
5) Исправленное среднеквадратическое отклонение равно:
S=S2=4.44=2.107.
Б) Эмпирической функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<х:
F(x)= nxn,
где nx – число вариант, меньших х, n – объем выборки.
n = 100.
Наименьшая варианта равна 15, поэтому F(x) =0 при х≤15.
Значение Х<16, а именно х=15 наблюдалось 4 раза, следовательно F(x)=4/100=0,04 при 15<х≤16.
Значения Х<17, а именно х1=15 и х2=16 наблюдалось 4+6=10 раз, следовательно F(x)=10/100=0,1 при 16<х≤17.
Значения Х<18, а именно х1=15, х2=16 и х3=17 наблюдалось 4+6+16=26 раз, следовательно F(x)=26/100=0,26 при 17<х≤18.
Значения Х<19, а именно х1=15, х2=16, х3=17, х4=18 наблюдалось 4+6+16+40=66 раз, следовательно F(x)=66/100=0,66 при 18<х≤19.
Значения Х<22, а именно х1=15, х2=16, х3=17, х4=18, х5=19 наблюдалось 4+6+16+40+15=81 раз, следовательно F(x)=81/100=0,81 при 19<х≤22.
Значения Х<24, а именно х1=15, х2=16, х3=17, х4=18, х5=19, х6=22 наблюдалось 4+6+16+40+15+15=96 раз, следовательно F(x)=96/100=0,96 при 22<х≤24.
Т.к. х=24 – наибольшая варианта то F(x)=1 при х>24.
Напишем искомую эмпирическую функцию:
0 при х≤15,
0,04 при 15<х≤16,
0,1 при 16<х≤17,
0,26 при 17<х≤18,
0,66 при 18<х≤19,
0,81 при 19<х≤22,
0,96 при 22<х≤24,
1 при х>24.

F(x)=График этой функции представлен на рис.1.:
F(x)

1
0,81

0,5

0,26

0 12 15 18 22 24 х
Рис. 1. Эмпирическая функция распределения
В) Полигон относительных частот представляет собой ломанную, отрезки которой соединяют точки (х1, w1), …., (хi, wi) (рис. 2).
Относительные частоты для выборки представлены в таблице:
xi 15 16 17 18 19 22 24
wi=nin
0.04 0.1 0.16 0.4 0.15 0.15 0.04

Рис.2. Полигон относительных частот
Г) Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервала длины h, а высоты равны отношению wi/h. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех остальных частот, т.е. единице.
Для построения гистограммы относительных частот, разобьем вариационный ряд на интервалы. Количество интервалов определяем по формуле Стерджеса:
=1+3,32*lg100=8.
Определим шаг интервала:
=24-158=1,125
где – максимальное значение измеряемого показателя в упорядоченной (ранжированной) выборке; – минимальное значение показателя.
Нижняя граница первого интервала выбирается чуть меньшей или равной минимальному значению выборки, то есть от до .
Распределим варианты по интервалам и определим относительные частоты, результаты вычислений представлены в таблице:

№
интервала Границы
интервала Частота
ni
Относительная частота, wi=nin
Плотность частот, wi/h
1 [15-16.125] 10 10/100=0,1 0,1/1,125=0.09
2 (16.125-17.25] 16 0,16 0.14
3 (17.25-18.375] 40 0,4 0.36
4 (18.375-19.5] 15 0,15 0.13
5 (19.5-20.625] 0 0 0
6 (20.625-21.75] 0 0 0
7 (21.75-22.875] 15 0,15 0.13
8 (22.875-24] 4 0,04 0.04
Σ
100 1

wi/h
Гистограмма относительных частот представлена на рис.3.:
wi/h

0.36

0.13
0.13
0.14

0.04
0
0

0.09

x
0 15 16,125 17,25 18,375 19,5 20,625 21,75 22,875 24

Рис.3. Гистограмма относительных частот
6. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью P=0.99, зная выборочное среднее xв=11,3, объем выборки n=256 и генеральное среднеквадратическое отклонение σ=8.
Решение:
Интервальной оценкой (с надежностью Р) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней xв при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал:
xв- t(σ/n)˂ a ˂xв+t(σ/n),
где t(σ/n)=δ – точность оценки, n – объем выборки, t- значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)= P/2.
Ф(t)= P/2=0.99/2=0.495.
Тогда t=2.58
Подставляя все значения в выражение доверительного интервала, получим:
11.3-2.58*(8/256 ) ˂ a ˂ 11.3+2.58*(8/256 ).
Таким образом доверительный интервал равен:
10,01˂ a ˂12,59.
7. Для двух случайных величин Х, У проведена серия испытаний. Результаты испытаний записаны в следующую корреляционную таблицу:
Х
У -1 0 2 3 4 6
1 – 3 1 1 – –
2 1 2 3 – – –
3 – – 2 4 2 1
5 – – – 1 2 –
а) Вычислить выборочные средние, неуточненные дисперсии и среднеквадратические отклонения для обеих величин Х и У, ковариацию и коэффициент корреляции R(X, Y).
б) Проверить для доверительной вероятности P=0.9 значимость коэффициента корреляции R(X, Y), пользуясь критерием Стьюдента.
в) Написать уравнения прямых регрессии У на Х и Х на У.
г) В подходящем масштабе изобразить на графике все точки с координатами (х, у) из корреляционной таблицы и прямые регрессии.
Решение:
А) Найдем выборочные средние для величин Х и У:
х= (-1*1+0*(3+2)+2*(1+3+2)+3*(1+4+1)+4*(2+2)+6*1)/23=2.22,
у=1*(3+1+1)+2*(1+2+3)+3*(2+4+2+1)+5*(1+2)/23=2.56.
Выборочные дисперсии равны:
σ2x=М[x2]-(M[x])2= (-12*1+02*(3+2)+22*(1+3+2)+32*(1+4+1)+42*(2+2) +62*1)/23- 2.222=2.85
σ2y=М[y2]-(M[y])2=12*(3+1+1)+22*(1+2+3)+32*(2+4+2+1)+52*(1+2)/23- -2.562=1.45.
Тогда среднеквадратические отклонения равны:
σx=σх2=2.85=1.69
σу=σу2=1.45=1.2
Ковариация двух случайных величин определяется по формуле:
Cov(x,y)= M[(X-M(X))(Y-M(Y))]= (0*1*3+2*1*1+3*1*1+(-1)*2*1+0*2*2+ +2*2*3+2*3*2+3*3*4+4*3*2+6*3*1+3*5*1+4*5*2)/23-2.22*2.56=1.27
Коэффициент корреляции равен:
Rxy=Cov(x,y)σxσy=1.271.69*1.2=0.63
Б) Значимость коэффициента корреляции проверяется по критерию Стьюдента: t=Rxyn-11-Rxy2=0.63*23-11-0.632=4.9
При этом табличное значение критерия Стьюдента при 22 степенях свободы и доверительной вероятности 0,9 равно 1,7117.
Так как расчетное значение критерия Стьюдента выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой.
В) Уравнение прямой регрессии у(х) имеет вид:
ух=Rxyх-хσхσу+у=0.63((х-2.22)/1.69)*1.2+2.56=0.45х+1.57
Уравнение прямой регрессии х(у) имеет вид:
ху=Rxyу-уσуσх+х=0.63((у-2.56)/1.2)*1.69+2.22=0.88у-0.06
Г) Построим на графике прямые регрессии и отобразим все точки с координатами (х, у)

y
x

Вариант 29
1. Найти вероятность того, что в 150 бросаниях игральной кости шестерка выпадет не менее 20 раз и не более 40 раз.
Решение:
Вероятность выпадения шестерки в каждом бросании постоянна и равна р=1/6. А вероятность не появления q=5/6
Для отыскания вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Р (k1, k2) = Ф(х’’) – Ф(x’).
где Ф(х) – функция Лапласа,
x’= (k1-np)/npq = (20-150*(1/6))/ 150*16*(56)=-1.1
x’’= (k2-np)/npq=(40-150*(1/6))/ 150*16*(56)=3.29
Ф(-1,1)= – Ф(1,1)= -0,3643
Ф(3,29) = 0,49931+ 0,49966-0,499313,40-3,20*(3,29-3,20)=0.49947
Р(20, 40) = 0,49947- (-0,3643)=0,86.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х1 и х2, причем х1< х2. Известны вероятность р1=0,3 возможного значения х1, математическое ожидание М(Х)=3,7 и дисперсия D(Х)= 0,21. Найти закон распределения случайной величины.
Дано:
р1=0,3,
М(Х)=3,7,
D(Х)= 0,21,
х1< х2.
Найти закон распределения случайной величины.

Решение:
Сумма вероятностей всех возможных значений X равна 1, поэтому вероятность P2 того, что X примет значение X2 , равна P2 = 1 – P1  = 1 – 0,3 = 0,7Напишу закон распределения:
Х Х1
Х2
Р
0,3 0,7
Для отыскания х1 и х2 составлю систему из двух уравнений:
М(х)= х1р1+ х2р2,
D(x)= M(x2) – [M(x)]2.
Но М(х2)= хр1+ хр2 .
М(х)= х1р1+ х2р2,
D(x)= хр1+ хр2 – [M(x)]2.
3,7= 0,3х1+ 0,7х2,
0,21=0,3х+0,7х-3,72.
х1= (3,7-0,7х2)/0,3,
0,21=0,3((3,7-0,7х2)/0,3)2+0,7х-13,69,
0,21=(13,69-5,18х2+0,49 х)/0,3+0,7х-13,69,
0,7 х-5,18х2+ 9,52=0,
х= (5,18+))/(2*0,7)=4,
х= (5,18-))/(2*0,7)=3,4,
х= (3,7-0,7*4)/0,3=3,
х= (3.7-0,7*3,4)/0,3=4,4.
Учитывая условие х1<х2 верными для Х будут значения х1=3, х2=4.
Закон распределения:
Х 3 4
Р
0,3 0,7

3. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, х≤0;
F(X)= , 0<х≤2;
1, х>2.
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение:
Плотность распределения вероятностей есть производная функции распределения и равна:
0, х≤0;
f(x)= F'(x)= , 0<х≤2;
0, х>2.
Математическое ожидание случайной величины равно:
М(х) = ====1,33
Дисперсия случайной величины определяется следующим образом:
D(х)= – [M(x)]2= – 1.332=-1.332 =-1.332=0,23
4. Известны математическое ожидание а=4 и среднеквадратическое отклонение σ=1,3 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал (3;4).
Решение:
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β) равна:
Р(α<Х<β)= Ф () – Ф (),
где Ф(х)= – функция Лапласа.
Подставляя значения, получим:
Р(3<Х<4)= Ф () – Ф ()= Ф(0)+Ф(0,77).
По таблице найдем значения функции: Ф(0)=0
Ф(0,77)=0,2794,
Р(3<Х<4)=0+0,2794=0,2794.
5. Задан вариационный ряд выборки:
xi 12,5 13 13,5 14 14,5 15 15,5
ni
5 15 40 25 8 4 3

а) найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;
б) построить на графике эмпирическую функцию распределения;
в) построить на графике полигон относительных частот;
г) построить на графике гистограмму относительных частот.
Решение:
А) 1) Для несгруппированных данных среднее арифметическое (выборочное среднее) определяется по формуле:
,
где n- объем выборки, х1, х2, … хn – результаты измерений.
В данном случае, n=100, тогда

2) Выборочная дисперсия определяется по формуле:
Dв=i=1nni(xi-xв)2n=5(12,5-13,7)2+15(13-13,7)2+40(13,5-13,7)2+25(14-13,7)2+100
+8(14,5-13,7)2+4(15-13,7)2+3(15,5-13,7)2100 =0,4
3) Выборочное среднеквадратическое отклонение равно:
=Dв= 0,4=0,63
4) Исправленную выборочную дисперсию определим по формуле:
S2=nn-1 Dв=100100-1*0,4=0,404
5) Исправленное среднеквадратическое отклонение равно:
S=S2=0,404=0,636.
Б) Эмпирической функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<х:
F(x)= nxn,
где nx – число вариант, меньших х, n – объем выборки.
n = 100.
Наименьшая варианта равна 12,5, поэтому F(x) =0 при х≤12,5.
Значение Х<13, а именно х=12,5 наблюдалось 5 раз, следовательно F(x)=5/100=0,05 при 12,5<х≤13.
Значения Х<13,5, а именно х1=12,5 и х2=13 наблюдалось 5+15=20 раз, следовательно F(x)=20/100=0,2 при 13<х≤13,5.
Значения Х<14, а именно х1=12,5, х2=13 и х3=13,5 наблюдалось 5+15+40=60 раз, следовательно F(x)=60/100=0,6 при 13,5<х≤14.
Значения Х<14,5, а именно х1=12,5, х2=13, х3=13,5, х4=14 наблюдалось 5+15+40+25=85 раз, следовательно F(x)=85/100=0,85 при 14<х≤14,5.
Значения Х<15, а именно х1=12,5, х2=13, х3=13,5, х4=14, х5=14,5 наблюдалось 5+15+40+25+8=93 раза, следовательно F(x)=93/100=0,93 при 14,5<х≤15.
Значения Х<15,5, а именно х1=12,5, х2=13, х3=13,5, х4=14, х5=14,5, х6=15 наблюдалось 5+15+40+25+8+4=97 раз, следовательно F(x)=97/100=0,97 при 15<х≤15,5.
Т.к. х=15,5 – наибольшая варианта то F(x)=1 при х>15,5.
Напишем искомую эмпирическую функцию:
0 х≤12,5,
0,05 при 12,5<х≤13,
0,2 при 13<х≤13,5
0,6 при 13,5<х≤14,
0,85 при 14<х≤14,5,
0,93 при 14,5<х≤15,
0,97 при 15<х≤15,5,
1 при х>15,5.

F(x)=График этой функции представлен на рис.1.:
F(X)

1

0.85

0.6

0.2

0
х
14,5
15,5
15
14
13
13,5
12,5

14,5

Рис. 1. Эмпирическая функция распределения
В) Полигон относительных частот представляет собой ломанную, отрезки которой соединяют точки (х1, w1), …., (хi, wi) (рис. 2).
Относительные частоты для выборки представлены в таблице:
xi 12,5 13 13,5 14 14,5 15 15,5
wi=nin
0,05 0,15 0,4 0,25 0,08 0,04 0,03
Рис.2. Полигон относительных частот

Г) Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервала длины h, а высоты равны отношению wi/h. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех остальных частот, т.е. единице.
Для построения гистограммы относительных частот, разобьем вариационный ряд на интервалы. Количество интервалов определяем по формуле Стерджеса:
=1+3,32*lg100=8.
Определим шаг интервала:
=15,5-12,58=0,375
где – максимальное значение измеряемого показателя в упорядоченной (ранжированной) выборке; – минимальное значение показателя.
Нижняя граница первого интервала выбирается чуть меньшей или равной минимальному значению выборки, то есть от до .
Распределим варианты по интервалам и определим относительные частоты, результаты вычислений представлены в таблице:

№
интервала Границы
интервала Частота
ni
Относительная частота, wi=nin
Плотность частот, wi/h
1 [12,5-12,875] 5 5/100=0,05 0,05/0,375=0.13
2 (12.875-13,25] 15 0,15 0.4
3 (13.25-13.625] 40 0,4 1,07
4 (13.625-14] 25 0,25 0.67
5 (14-14.375] 0 0 0
6 (14.375-14.75] 8 0,08 0,21
7 (14.75-15.125] 4 0,04 0.11
8 (15.125-15.5] 3 0,03 0.08
Σ
100 1

1,07
Гистограмма относительных частот представлена на рис.3.:
wi/h

0.67

0.4

0.21

0.08
0.11
0
0.13

x
0 12.5 12,875 13,25 13,625 14 14.375 14,75 15.125 15.5
Рис.3. Гистограмма относительных частот
6. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью P=0.95, зная выборочное среднее xв=75,1, объем выборки n=169 и генеральное среднеквадратическое отклонение σ=13.
Решение:
Интервальной оценкой (с надежностью Р) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней xв при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал:
xв- t(σ/n)˂ a ˂xв+t(σ/n),
где t(σ/n)=δ – точность оценки, n – объем выборки, t- значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)= P/2.
Ф(t)= P/2=0.95/2=0.475.
Тогда t=1.96
Подставляя все значения в выражение доверительного интервала, получим:
75.1-1.96*(13/169 ) ˂ a ˂ 75.1+1.96*(13/169 ).
Таким образом доверительный интервал равен:
73.14˂ a ˂75.06.
7. Для двух случайных величин Х, У проведена серия испытаний. Результаты испытаний записаны в следующую корреляционную таблицу:

Х
У 0 1 2 3 4 6
1 – 3 1 1 – –
3 1 2 3 – – –
4 – – 2 4 3 1
5 – – 1 4 2 –
а) Вычислить выборочные средние, неуточненные дисперсии и среднеквадратические отклонения для обеих величин Х и У, ковариацию и коэффициент корреляции R(X, Y).
б) Проверить для доверительной вероятности P=0.95 значимость коэффициента корреляции R(X, Y), пользуясь критерием Стьюдента.
в) Написать уравнения прямых регрессии У на Х и Х на У.
г) В подходящем масштабе изобразить на графике все точки с координатами (х, у) из корреляционной таблицы и прямые регрессии.
Решение:
А) Найдем выборочные средние для величин Х и У:
х= (0*1+1*(3+2)+2*(1+3+2+1)+3*(1+4+4)+4*(3+2)+6*1)/28=2.71,
у=1*(3+1+1)+3*(1+2+3)+4*(2+4+3+1)+5*(1+4+2)/28=3.5.
Выборочные дисперсии равны:
σ2x=М[x2]-(M[x])2=(02*1+12*(3+2)+22*(1+3+2+1)+32*(1+4+4)+42*(3+2)+ +62*1)/28- 2.712=0.87
σ2y=М[y2]-(M[y])2=12*(3+1+1)+32*(1+2+3)+42*(2+4+3+1)+52*(1+4+2)/28- -3.52=1.82.
Тогда среднеквадратические отклонения равны:
σx=σх2=0.87=0.93
σу=σу2=1.82=1.35
Ковариация двух случайных величин определяется по формуле:
Cov(x,y)= M[(X-M(X))(Y-M(Y))]= (1*1*3+2*1*1+3*1*1+0*3*1+1*3*2+ +2*3*3+2*4*2+3*4*4+4*4*3+6*4*1+2*5*1+3*5*4+4*5*2)/28-2.71*3.5=0.44
Коэффициент корреляции равен:
Rxy=Cov(x,y)σxσy=0.440.93*1.35=0.35
Б) Значимость коэффициента корреляции проверяется по критерию Стьюдента: t=Rxyn-11-Rxy2=0.35*28-11-0.352=2.07
При этом табличное значение критерия Стьюдента при 27 степенях свободы и доверительной вероятности 0,95 равно 2.0564.
Так как расчетное значение критерия Стьюдента выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой.
В) Уравнение прямой регрессии у(х) имеет вид:
ух=Rxyх-хσхσу+у=0.35((х-2.71)/0.93)*1.35+3.5=0.51х+2.12
Уравнение прямой регрессии х(у) имеет вид:
ху=Rxyу-уσуσх+х=0.35((у-3.5)/1.35)*0.93+2.71=0.24у+1.87
Г) Построим на графике прямые регрессии и отобразим все точки с координатами (х, у)

annayou 5.0

Обучалась в аспирантуре. Работала в различных компаниях, что позволило мне приобрести обширный опыт в маркетинге. Поэтому мои работы сильны практической частью и имеют реальную прикладную ценность.Опыт в написании научных работ - 7 лет.

Нанять автора

Готовые работы на продажу

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Нажимая "Купить" вы будете перенаправлены на страницу карточки работы.

Гарантия на работу 10 дней.

Найти числовые характеристики выборки и найти (при ) выборочное уравнение регрессии на

70₽

• Контрольная работа
• Статистика
• Выполнил: vladmozdok

Купить

1) Определите функциональную форму трендовых уравнений регрессии для изучаемых признаков и рассчитай

110₽

• Решение задач
• Эконометрика
• Выполнил: vladmozdok

Купить