4 2000 Сырье 1 20 15 20 15000 Сырье 2 10 15 20 7400 Оборудование 0 3 5 1500 Цена 6 10 9 4)Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план

4 2000
Сырье 1 20 15 20 15000
Сырье 2 10 15 20 7400
Оборудование 0 3 5 1500
Цена 6 10 9
4)Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 24?
5)Целесообразно ли выпускать изделие четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.?

Решение:
1) Математическая модель:
max f(x) = 6 х1 + 10х2 + 9х3
3×1 + 6×2 + 4×3 ≤2000
20×1 + 15×2 + 20×3 ≤15000
10×1 + 15×2 + 20×3 ≤7400
3×2 + 5×3 ≤1500
х1 ≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0.
2) Канонический вид
max f(x) = 6 х1 + 10х2 + 9х3
3×1 + 6×2 + 4×3 + x4 = 2000
20×1 + 15×2 + 20×3 + x5 = 15000
10×1 + 15×2 + 20×3 + x6 = 7400
3×2 + 5×3 + x7 = 1500
х1 ≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0, х4≥ 0, х5≥ 0, х6≥ 0, х7≥ 0.
Первая симплекс таблица
      c= 6 10 9 0 0 0 0    
s Ns Cns   a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7  
  4 0 2000 3 6 4 1 0 0 0 333,33  
0 5 0 15000 20 15 20 0 1 0 0 1000 k=2
  6 0 7400 10 15 20 0 0 1 0 493,33 l=1
  7 0 1500 0 3 5 0 0 0 1 500  
      0 -6 -10 -9 0 0 0 0    

Вторая симплекс таблица
      c= 6 10 9 0 0 0 0    
s Ns Cns   a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7  
  2 10 333,33 0,5 1 0,67 0,17 0 0 0 500  
1 5 0 10000 12,5 0 10 -2,5 1 0 0 1000 k=3
  6 0 2400 2,5 0 10 -2,5 0 1 0 240 l=4
  7 0 500 -1,5 0 3 -0,5 0 0 1 166,67  
      3333,33 -1,00 0,00 -2,33 1,67 0,00 0,00 0,00    

Третья симплекс таблица
      c= 6 10 9 0 0 0 0    
s Ns Cns   a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7    
  2 10 222,22 0,83 1,00 0,00 0,28 0,00 0,00 -0,22 266,67  
2 5 0 8333,33 17,50 0,00 0,00 -0,83 1,00 0,00 -3,33 476,19 k=1
  6 0 733,33 7,50 0,00 0,00 -0,83 0,00 1,00 -3,33 97,778 l=3
  3 9 166,67 -0,50 0,00 1,00 -0,17 0,00 0,00 0,33    
      3722,22 -2,17 0,00 0,00 1,28 0,00 0,00 0,78    

Четвертая симплекс таблица
      c= 6 10 9 0 0 0 0    
s Ns Cns   a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7    
  2 10 140,74 0,00 1,00 0,00 0,37 0,00 -0,11 0,15 950  
3 5 0 6622,22 0,00 0,00 0,00 1,11 1,00 -2,33 4,44 1490 k=7
  1 6 97,78 1,00 0,00 0,00 -0,11 0,00 0,13 -0,44   l=1
  3 9 215,56 0,00 0,00 1,00 -0,22 0,00 0,07 0,11 1940  
      3934,07 0,00 0,00 0,00 1,04 0,00 0,29 -0,19    

Пятая симплекс таблица
      c= 6 10 9 0 0 0 0
s Ns Cns   a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
  7 0 950 0,00 6,75 0,00 2,50 0,00 -0,75 1,00
4 5 0 2400 0,00 -30,00 0,00 -10,00 1,00 1,00 0,00
  1 6 520 1,00 3,00 0,00 1,00 0,00 -0,20 0,00
  3 9 110 0,00 -0,75 1,00 -0,50 0,00 0,15 0,00
      4110 0,00 1,25 0,00 1,50 0,00 0,15 0,00

y1 y2 y3 y4

Ответ: Х*=(520, 0, 110)
520 изделий 1-го типа
110 изделий 3-го типа
не израсходовано 950 единиц оборудования
не израсходовано 2400 единиц сырья 1
f(X*)=4110
3. Двойственная задача
Min q(Y)=2000y1 + 15000y2 + 7400y3+ 1500y3
3y1 +20y2 + 10y3≥6
6y1 + 15y2 + 15y3+ 3y4≥10
4y1 + 20y2 + 20y3+ 5y4≥9
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ 0

4. а) из симплекс-таблицы решения прямой задачи
Из последней строки симплекс-таблицы видно, что оптимальный план ДЗ имеет вид
Y*=(1,5; 0; 0,15; 0)
б) по решению прямой задачи с помощью теоремы о дополнительной нежёсткости
Найдём этот план, воспользовавшись теоремой о дополняющей нежёсткости: (X*(A’Y*-C)=0, Y*(AX*-b)=0)
x1(3y1 +20y2 + 10y3-6)=0, так как х1=520>0, то
3y1 +20y2 + 10y3-6=0
x3(4y1 + 20y2 + 20y3+ 5y4-9)=0, так как х3=110>0, то
4y1 + 20y2 + 20y3+ 5y4-9=0
y2(20×1 + 15×2 + 20×3 -15000)=0, так как 20×1 + 15×2 + 20×3 -15000=-2400 не равно нулю, то y2 = 0
y4(3×2 + 5×3 -1500)=0, так как 3×2 + 5×3 -1500=-950 не равно нулю, то y4 = 0
Решая полученную систему уравнений, получаем: Y*=(1,5; 0; 0,15; 0)

5. Ценности ресурсов – это теневая цена ресурсов. Они равны:
Труд- y1= 1,5,
Сырье 1 – y2=0,
Сырье 2 – y3=0,15,
Оборудование – y4=0
Приоритеты, соответственно, равны:
1 – Труд
2 – Сырье 2
3 – Сырье 1 и Оборудование

6. Суммарная стоимостная оценка ресурсов, используемых при производстве единицы каждого изделия
Труд- y1= 1,5,
Сырье 1 – y2=0,
Сырье 2 – y3=0,15,
Оборудование – y4=0
Нерентабелен выпуск 2-ой продукции, так как оценка этого изделия больше стоимости.
1-ый вид изделий
3y1 + 20y2 + 10y3 + 0y4 =3*1,5+20*0+10*0,15+0*0=6>c1=6
оценка 1-го вида изделий – с1= 6-6=0= ∆1
∆1 – это потери при принудительном выпуске 1 ед. продукции № 1
2-ый вид изделий
6y1 + 15y2 + 15y3 + 3y4 =6*1,5+15*0+15*0,15+3*0=11,25>c2=10
оценка 2-го вида изделий – с2= 10-11,25=-1,25= ∆2
∆2 – это потери при принудительном выпуске 1 ед. продукции № 2
3-ый вид изделий
4y1 + 20y2 + 20y3 + 5y4 =4*1,5+20*0+20*0,15+5*0=9>c3=9
оценка 3-го вида изделий – с3= 9-9=0= ∆3
∆3 – это потери при принудительном выпуске 1 ед. продукции № 3

7. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли.
Х5=2400, поэтому запасы второго сырья можно снизить на 2400 ед. без уменьшения прибыли
Х7=950, поэтому запасы четвертого сырья можно снизить на 950 ед. без уменьшения прибыли
Определить максимальный интервал изменения запасов каждого из ресурсов, в пределах которого структура оптимального решения, т.е. номенклатура выпускаемой продукции, остается без изменения.
Пусть b1(новое=b1(старое)+∆1=2000+∆1
2,50 0,00 -0,75 1,00
2000+∆1
Тогда X(новое)=B^(-1)*X(новое)=

-10,00 1,00 1,00 0,00 * 15000 =

1,00 0,00 -0,20 0,00   7400  

-0,50 0,00 0,15 0,00
1500

2000

1
950
2,50
0
= B^(-1)* 15000 +∆1 *B^(-1)* 0 = 2400 +∆1* -10,00 >= 0

7400

0
520
1,00
0

1500

0
110
-0,50
0

∆1>= -380

∆1<= 240

∆1>= -520

∆1<= 220

-380 <=∆1<= 220
В отчёте по устойчивости – эти же числа
Пусть b2(новое=b2(старое)+∆2=15000+∆2
2,50 0,00 -0,75 1,00
2000
Тогда X(новое)=B^(-1)*X(новое)=

-10,00 1,00 1,00 0,00 * 15000+∆2 =

1,00 0,00 -0,20 0,00   7400  

-0,50 0,00 0,15 0,00
1500

2000

0
950
0,00
0
= B^(-1)* 15000 +∆2 *B^(-1)* 1 = 2400 +∆2* 1,00 >= 0

7400

0
520
0,00
0

1500

0
110
0,00
0

∆2<= беск

∆2>= -2400

∆2<= беск

∆2<= беск

-2400 <=∆2<= беск

В отчёте по устойчивости – эти же числа

Пусть b3(новое=b3(старое)+∆3=7400+∆3
2,50 0,00 -0,75 1,00
2000
Тогда X(новое)=B^(-1)*X(новое)=

-10,00 1,00 1,00 0,00 * 15000 =

1,00 0,00 -0,20 0,00   7400+∆3  

-0,50 0,00 0,15 0,00
1500

2000

0
950
-0,75
0
= B^(-1)* 15000 +∆3 *B^(-1)* 0 = 2400 +∆3* 1,00 >= 0

7400

1
520
-0,20
0

1500

0
110
0,15
0

∆3<= 1266,67

∆3>= -2400

∆3<= 2600

∆3>= -733,33

-733,33 <=∆3<= 1266,67

В отчёте по устойчивости – эти же числа

Пусть b4(новое=b4(старое)+∆4=1500+∆4
2,50 0,00 -0,75 1,00
2000
Тогда X(новое)=B^(-1)*X(новое)=

-10,00 1,00 1,00 0,00 * 15000 =

1,00 0,00 -0,20 0,00   15000  

-0,50 0,00 0,15 0,00
1500+∆4

2000

0
950
1,00
0
= B^(-1)* 15000 +∆4 *B^(-1)* 0 = 2400 +∆4* 0,00 >= 0

7400

0
520
0,00
0

1500

1
110
0,00
0

∆4>= -950

∆4<= беск

∆4<= беск

∆4<= беск

-950 <=∆4<= беск

В отчёте по устойчивости – эти же числа

8. Определим максимальный интервал изменения цены каждого изделия, в пределах которого оптимальное решение остается без изменения.
Пусть C1= 6+∆

a1 – базисный, тогда

с1=c3=c5=с7=0

c2=1,25+3∆ >= 0,

c4=1,5+1∆ >= 0,

c6 = 0,15-0,2∆ >= 0,

Решая систему, получаем -0,417 <= ∆<= 0,75
В отчёте по устойчивости – эти же числа

Пусть C2=10+∆

a2 не базисный, следовательно, изменится только
∆2=1,25-∆ >=0, откуда ∆ >=-1,25

Пусть C3= 9+∆

с1=c3=c5=с7=0

c2=1,25-0,75∆ >= 0,

c4=1,5-0,5∆ >= 0,

c6 = 0,15+0,15∆ >= 0,

Решая систему, получаем -1 <= ∆<= 1,67
В отчёте по устойчивости – эти же числа

9. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 24?
Изменение целевой функции
∆f* = ∆b1 y1+ ∆b2 Y2 + ∆b3 Y3 + ∆b4 Y4 = 24*0,15 = 3,6

2000+∆1

2000

∆1

X = B^(-1) * 15000+∆2 = B^(-1) * 15000 +   B^(-1) * ∆2 =

7400+∆3

7400

∆3

1500+∆4

1500

∆4

950
2,50 0,00 -0,75 1,00
0
950
-18
932
х7
= 2400 + -10,00 1,00 1,00 0,00 * 0 = 2400 + 24 = 2424
х5

520
1,00 0,00 -0,20 0,00
24
520
-4,8
515,2
х1

110
-0,50 0,00 0,15 0,00
0
110
3,6
113,6
х3

Следовательно, общая стоимость выпускаемой продукции увеличится на 3,6 ден.ед., а план выпуска первой продукции составит 515,2 ед. (снизится выпуск на 4,8 ед.), третьей – 113,6 ед. (увеличится выпуск на 3,6 ед.).

10. Целесообразно ли выпускать изделие четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц?
Стоимостная оценка одной единицы продукции 4 вида равна
8y1 + 4 y2 + 20 y3 + 6 y3 = 8*1,5+4*0+20*0,15+6*0 = 15> 11.
Следовательно, изделия 4 вида ценой 11 ед. нецелесообразно включить в план производства
Проверим решение с помощью надстройки EXCEL ПОИСК РЕШЕНИЙ:
Результаты решения:

Отчет по результатам
Отчет по устойчивости

Из отчетов по устойчивости и результатов видно, что проведенный анализ совпадает с расчетами в программе Excel.

Домашнее задание №14

Из четырех видов кормов необходимо составить рацион, в состав которого должно входить не менее в1 ед. вещества А, в2 ед. вещества В и в3 ед. вещества С. Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида, указано в соответствующей таблице. В ней же приведена цена 1 кг корма каждого вида.

1. Составить рацион, содержащий не менее нужного количества указанных питательных веществ и имеющий минимальную стоимость.
2. Определите, все ли виды кормов входят в рацион, ценность дополнительной единицы каждого питательного вещества и его приоритет при решении задач уменьшения стоимости рациона.
3. Определите суммарную стоимостную оценку питательных веществ в единице каждого корма. Использование какого вида корма нерентабельно.
4. Содержание какого из питательных веществ превышает

Vachpomoshnik100 4.5

Закончила известную лингвистическую школу английского языка Lenark. Ориентируюсь по многим предметам, связанные с языками и финансовыми, экономическими дисциплинами( психология, социология, экономика, менеджмент и т.д.)

Нанять автора